PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Szeregi Fouriera
Opracował
(6 rozwiązanych zadań +dodatek)
Dr Czesław Michalik
Zad. 1. Znalez
ć okres następujących sygnałów:
a) y = 3cos(2É0t) + 5cos(7É0t) + 4cos(12.5É0t),
b) y = 10cos(É0t) + 5cos(1.41É0t).
Zad. 2. Znalez
ć wykładniczy szereg Fouriera sygnałów pokazanych na rysunku a, b, c, d.
u(t)
u(t)
Um
Um
t t
-T -T/2 0 T/2 T
0
-T -3T/4 -T/2 -T/4 T/4 T/2 3T/4 T
-Um
-Um
a) b)
u(t) u(t)
funkcja sin(x) funkcja sin(x)
Um Um
t t
c) -T -T/2 0 T/2 T
d) -2T -T 0 T 2T
Zad. 3. Zapisać w postaci wykładniczego szeregu Fouriera następujący przebieg okresowy
f (t)=4sin(4t)-2cos(3t) .
Zad. 4. Dany jest następujący wykładniczy szereg Fouriera
f (t) = (1- j)e-j2t + (2 + j)e-jt - 2 + (2 - j)ejt + (1+ j)ej2t .
Wyznaczyć wartość skuteczną tego sygnału.
Zad. 5. Wyznaczyć zależności analityczne pozwalające znalez
ć przebieg napięcia ustalonego
na induktorze w układzie zastępczym pokazanym na rys. a pobudzanym SEM e(t) o przebiegu
trójkątnym (rys. b).
e(t)
Em
-T/4
u(t)
e(t) R = 1 &!
t
-T/2 T/4
T/2
L=1H
Em=1V, T=1s
-Em
Rys. a Rys. b
Zad. 6. Oblicz moc czynną wydzieloną w dwójniku N przez 5-tą harmoniczną sygnału u(t)
przyłożonego do zacisków tego dwójnika. Sygnał u(t) ma postać podaną na rysunku poniżej.
u(t)
N
10Ä„
L = 1 H
U(t) R = 2 &!
t[s]
-5Ä„ 0 5Ä„ 10Ä„
1
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Rozwiązania zadań
Ad. 1
Załóżmy, że w obwodzie działa n okresowych pobudzeń o okresach kolejno
T1, T2, ..., Tn, przy czym dla każdego i, j = 1, ..., n stosunek Ti/Tj jest liczbą wymierną.
Oznacza to, że istnieje taka liczba rzeczywista T " R i takie liczby naturalne qi " N, że
T = qiTi ( i = 1, ..., n). Jeśli przez T0 oznaczymy najmniejszą z liczb T spełniających powyższe
równości, to w ogólnym przypadku wszystkie prądy i napięcia w układzie będą okresowe o
okresie równym T0 (okres podstawowy). Jeśli w obwodzie działa n okresowych pobudzeń o
okresach kolejno T1, T2, ..., Tn, przy czym istnieje co najmniej para liczb i, j taka, że stosunek
Ti/Tj jest liczbą niewymierną. W tym przypadku prądy i napięcia nie będą okresowe.
2Ä„ Ä„ 2Ä„ 2Ä„ 4Ä„
a) T1= = , T2= , T3= = ,
2É0 É0 7É0 12,5É0 25É0
Należy teraz znalez
ć takie qi " N, aby
T=q1T1, T=q2T2, T=q3T3.
Ä„ Ä„ 2Ä„ 2Ä„ 4Ä„ 4Ä„
Zatem T=q1 =4 , T=q2 =14 , T=q3 =25 .
É0 É0 7É0 7É0 25É0 25É0
4Ä„ 2Ä„ 1
Tak wiÄ™c T= , czyli É= = É0 . Inaczej można stwierdzić, że É jest najwiÄ™kszym
É0 T 2
1
wspólnym podzielnikiem liczb 2É0, 7É0, 12 É0 . W programie DERIVE jest to funkcja
2
GCD  Greatest Common Divisor, wykonanie rozkazu GCD(2,7,12,5) = 0,5.
200Ä„ 1
b) T= , É= É0.
É0 100
Ad. 2
a) Jednokrotne różniczkowanie (dwa ciągi delt Derica) daje jeśli u(t)"!U , to
k
2Um 2Um jÉ0k T 2Um k
2
u'(t) "! jÉ0kU = - e =
(-1
)
k (1- ). Zatem
T T T
Um îÅ‚ k
U = j
(-1 , k `" 0, U0 = 0 . Wstępują tylko nieparzyste harmoniczne.
)-1Å‚Å‚
k
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„k
b) Należy dwukrotnie różniczkować. JeÅ›li u(t)"!U , to u'(t)"!jÉ0kU , druga pochodna
k k
T T
jÉ0k -jÉ0k
T
4 4
-jÉ0k
îÅ‚ Å‚Å‚
8Um jÉ0k T 16 jUm e - e 16 jUm Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
2
u ''(t) "! -É0 k2U = = = sin k .
k ïÅ‚e 4 - e 4 śł ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
T T 2 j T 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„k
ëÅ‚ öÅ‚
4Um sin
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Stąd U = - j , k `" 0 . Występują tylko nieparzyste harmoniczne.
k
Ä„2k2
c) Należy dwukrotnie różniczkować. Wynik jest następujący:
k
Um 1+
(-1
)
( ), k `"1, U1 = - j 1Um .
U = -
k
4
2Ä„ k2 -1
( )
Występują parzyste harmoniczne oraz pierwsza harmoniczna.
2Um
d) Należy dwukrotnie różniczkować. Wynik jest następujący:U =-
k
Ä„4k2-1
( )
2
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Ad. 3
Najpierw należy znalez
ć okres funkcji f(t) (jeśli nie istnieje, to również nie istnieje szereg
Fouriera). GCD(4,3) = 1. Zatem É0 = 1. StosujÄ…c znany wzór Eulera, można zapisać
j 4t j3t
e - e-j4t e + e-j3t
j 4t j3t
f (t) = 4 - 2 = j2e-j4t - e-j3t - j2e - e .
2 j 2
Zatem F-4=j2, F-3=-1, F =-j2, F3=-1.
4
Ad. 4
"
2
Zgodnie z pkt.3 podpunktem 4 (dodatek) Fsk= . Zatem
"F k
k=-"
2 2 2 2
2
Fsk = 1- j + 2 + j + 22 + 2 - j + 1+ j = 2 + 5 + 4 + 5 + 2 = 18 . Tak więc Fsk= 18=3 2 .
Ad. 5
Funkcja transmitancji tego układu wynosi (dzielnik napięcia)
jÉL jÉ
H (É)= = .
j
R+jÉL 1+jÉ
Rozkładając nieparzystą funkcję e(t) w szereg wykładniczy Fouriera ze współczynnikami Ek
(np. poprzez dwukrotne różniczkowanie e(t), patrz Ad. 2b) otrzymuje się:
Ä„k
ëÅ‚ öÅ‚
4Em sin
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ek = - j
Ä„2k2
oraz Éo=2Ä„. Jeżeli u(t)"!Uk, wówczas Uk = H(jkÉo) Ek wyznacza siÄ™ ze wzoru:
Ä„ k Ä„ k
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
4Em sin 4sin
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
jÉ0kL j2Ä„ k
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
U = - j = - j =
k
2 2
Ä„ k2 R + jÉ0kL Ä„ k2 1+ j2Ä„ k
Ä„ k Ä„ k Ä„ k
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
8Ä„ k sin 8sin 16sin
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= = - j
2 2
2
Ä„ k2 1+ j2Ä„ k 4Ä„ k2 +1
( ) Ä„ k 4Ä„ k2 +1
( )
Dla k = 1, 3 i 5 otrzymamy początkowe współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera
napięcia na wejściu
Ä„ Ä„ Ä„
-j j -j
2 2 2
E1H"0, 4e , E3H"0,045e , E5H"0,016e , .
Dla k = 1, 3 i 5 otrzymamy początkowe współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera
napiÄ™cia na wyjÅ›ciu U1 = 0.06290955131 - 0.3952723685·j,
U3 = -0.002382297627 + 0.04490525235·j, U5 = 0.0005155022379 - 0.01619498043·j.
j1.623rad
U1H"0, 4e-j1.4129rad , U H"0,045e , U H"0,016e-j1.5389rad .
3 5
Na rysunku poniżej pokazano początkowe prążki widma amplitudowego i fazowego napięcia
wejściowego dla k e" 0. Początkowe prążki widma amplitudowego pokrywają się z prążkami
widma amplitudowego na wejściu, natomiast prążkowe widmo fazowe jest podobne ciąg
{-1, 4129, 1,623,-1,5389 rad .
}
3
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Õ3= Ä„/2
U1H"0.4 V
0 1 2 3 4 5 k
U3H"0.045 V
U5H"0.016 V
Õ5= - Ä„/2
Õ1= - Ä„/2
0 1 2 3 4 5 k
Ad. 6
Rozkładając napięcie u(t) w zespolony szereg Fouriera otrzymamy:
k ="
5 2
j
0
u(t)= j eÉkt , U0=5Ä„, przy czym É0= . Współczynnik U =j . Aby wyznaczyć
" 5
k 5
k =-", k `"0
moc czynną wydzieloną w dwójniku N przez 5-tą harmoniczną sygnału, należy do wejścia
dwójnika N podłączyć z
ródło napięcia o wartości skutecznej równej wartości skutecznej 5-tej
harmonicznej, tzn. E5= 2U = 2 j . Wówczas moc czynną wydzieloną w dwójniku N
5
można wyznaczyć z zależności
*
2
Å„Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ E5 üÅ‚
E5 üÅ‚ Å„Å‚ Å„Å‚ üÅ‚
2 1
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
P5h = Re E5 I* = Re = Re = Re = W .
{ } òÅ‚E ÷Å‚ żł òÅ‚ żł òÅ‚ żł
5 5 ìÅ‚
R + j5É0L R - j5É0L
ół2 - j2þÅ‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
DODATEK
1. Wykładniczy szereg Fouriera
Sygnał f(t) nazywa się okresowym (periodycznym), jeżeli istnieje taka najmniejsza
liczba T > 0 (zwana okresem), że dla dowolnego t:
f(t) = f(t + kT), k = 0, Ä…1, Ä…2,... . (1)
Sygnał okresowy f(t), spełniający warunki Dirichleta , czyli:
- mający w okresie skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju,
- mający skończoną liczbę ekstremów (przedziałami monotoniczny)
może być zapisany w postaci wykładniczego szeregu Fouriera :
"
0
f (t)= ejkÉt , (2)
"F k
k=-"
gdzie
t0 +T
1
k
F = (t) e- jkÉotdt=F ejÕ (3)
k k
+"f
T
t0
przy czym
to+T
1
F0= (t)dt jest skÅ‚adowÄ… staÅ‚Ä… (wartoÅ›ciÄ… Å›redniÄ…) , a Éo=2Ä„/T  pulsacjÄ… podstawowÄ…,
+"f
T
to
zaś t0 może być wybrane dowolnie (wartość całki nie zależy od wyboru t0).
4
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
0
BazÄ… rozwiniÄ™cia w wykÅ‚adniczy szereg jest zbiór funkcji ortogonalnych typu ejkÉt , dla
k = 0, ą1, ą2, ... oraz dowolnego przedziału o długości równej okresowi. W skrócie operację
rozwinięcia (2) można zapisać f (t)"!F .
k
Szereg (2) jest zbieżny prawie wszędzie do f(t), tzn. dla każdego t, z wyjątkiem
punktów nieciągłości pierwszego rodzaju sygnału f(t). W tych punktach nieciągłości szereg
jest zbieżny do średniej:
1
f (ti- )+f (ti+ ) .
[ ]
2
Rozwinięcie (2) można zapisać w równoważnej postaci:
"
f (t) = F0 + F cos(kÉot + arg F ) . (4)
{ }
"2 k k
n=1
Do powyższego wzoru można dojść korzystając z zależności:
jkÉ0t
0
F e + F e-jkÉ t = 2 F cos(kÉ t + Õ ). (5)
k -k k 0 k
Zależność (4) ma prostą interpretację fizyczną. Wskazuje ona na to, że funkcję
okresową o okresie T można traktować jako sumę składowej stałej F0 i nieskończenie wielu
przebiegów sinusoidalnych o pulsacjach będących wielokrotnościami pulsacji podstawowej
É0 (harmonicznych). Współczynniki 2 F =Fm,k (k = 1, 2, 3,...) sÄ… amplitudami tych
k
skÅ‚adowych, współczynniki Õk ich fazami poczÄ…tkowymi.
2. Podstawowe właściwości wykładniczego szeregu Fouriera.
Niech funkcje f(t) i g(t) majÄ… tÄ™ sam okres T i niech f (t)"!F , g(t)"!Gk . Zbiory
k
współczynników szeregów Fouriera mają następujące właściwości:
1. liniowość: Ä… f (t) + ² g(t) "! Ä… F + ²Gk ,
k
0 0
2. przesuniÄ™cie w dziedzinie czasu: f (t - t0) "! F e-jkÉt ,
k
n
d
3. różniczkowanie w dziedzinie czasu: f (t) "! jkÉ0 n F ,
{ } ( )
k
dtn
4. F*=F-k , gdzie (.)* oznacza operację sprzężenia; z tej własności wynika, że
k
F =F-k - dyskretne widmo amplitudowe jest parzystÄ… funkcjÄ… k,
k
Õk=-Õ-k - dyskretne widmo fazowe jest nieparzystÄ… funkcjÄ… k,
"
5. Współczynniki okresowego ciÄ…gu delt Diraca: A´T (t)=A
"´(t-nT ) sÄ… równe
n=-"
A
F = .
k
T
Definicje:
1. Zbiór współczynników F nazywany jest dyskretnym widmem
{ }
k
częstotliwościowym sygnału okresowego f(t).
2. Zbiór współczynników F nazywany jest dyskretnym (prążkowym) widmem
{ }
k
amplitudowym sygnału okresowego f(t).
5
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Å„Å‚ üÅ‚
Ä„sign Im F ëÅ‚ öÅ‚ôÅ‚
{ }
( ) Re F
{ }
ôÅ‚ k
k
3. Zbiór współczynników = arg F = - arctg
òÅ‚Õ ìÅ‚ ÷Å‚
k k
ìÅ‚ ÷łżł
2 Im F
{ }
k
ôÅ‚ ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ół þÅ‚
nazywany jest dyskretnym widmem fazowym sygnału okresowego f(t).
3. Wartość średnia i skuteczna funkcji okresowej. Twierdzenie Parsevala.
Dla sygnałów okresowych można podać następujące stwierdzenia:
1. Wartość średnia (składowa stała) sygnału okresowego f(t) jest równa:
t0+T
1
Fsr=F0= (t)dt .
+"f
T
t0
2. Wartość średnia sumy sygnałów okresowych o tym samym okresie T jest równa
sumie wartości średnich tych sygnałów.
3. Twierdzenie Parsevala dla szeregów Fouriera
to +T
"
1
"F k k
+"f (t)g(t)dt= G*.
T
n=-"
t0
to +T
"
1 2
2
Z twierdzenia Parsevala wynika, że
"F k
+"f (t)dt= .
T
n=-"
t0
4. Wartość skuteczna sygnału okresowego f(t) jest równa:
t0 +T
" "
1 2
2 2
Fsk = = F02 +
"F k "F ,
k ,sk
+"f (t)dt =
T
k =-" k =1
t0
2 F
k
Fsk jest wartością skuteczną sygnału, Fk ,sk= jest wartością skuteczną k  tej
2
harmonicznej sygnału.
4. Reakcja układu na pobudzenie okresowe
Reakcję układu na pobudzenie okresowe można wyznaczyć:
" "
0 0
r(t)= ejkÉt= ( jkÉ0)PkejkÉt , (6)
"Rn "H
k=-" k=-"
gdzie
"
0
p(t)= ejkÉt ,
"Pk
k=-"
H jkÉ0 - wartość transmitancji ukÅ‚adu stabilnego w sensie BIBO dla É=kÉ0 .
( )
Moc czynna wydzielona w rezystancji 1 &! przy pobudzeniu prądem lub napięciem
okresowym jest równa
t0 +T
"
1
2 2
P =
"F ,
k ,sk
+"f (t)dt = F02 +
T
k =1
t0
gdzie u(t) lub i(t)"!F
k
6
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
Przykłady
Przykład 1.
Oblicz wykładniczy szereg Fouriera sygnału okresowego f(t) podanego poniżej na rysunku:
f(t)
A
t
T
2Ä„
Pulsacja podstawowa jest równaÉ0= .
T
Współczynniki Fn wykładniczego szeregu Fouriera dla przykładu wyznaczymy bezpośrednio
z definicji (całkowanie przez części):
T
T T
îÅ‚ Å‚Å‚
1 A A A 1
jkÉ0t jkÉ0t jkÉ0t
F = te dt =
( )śł
k
2 2
+"T +"te dt = ïÅ‚ ) 1-(1+ jkÉ0t)e śł
T T T
jkÉ0 2
ïÅ‚(
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0
2
A jT A
= = j , k `" 0
2
T 2Ä„ k 2Ä„ k
A
gdy k = 0 (wartość średnia) F0= .
2
Najszybciej zadanie to rozwiążemy wykorzystując właściwości szeregu Fouriera. Załóżmy, że
funkcja okresowa pokazana na rysunku ma f (t)"!F . Różniczkując funkcję f(t)
k
A A
'
otrzymujemy f (t)= -A´T (t)=g(t)-A´T (t) (g(t) = - wartość staÅ‚a,
T T
(funkcja g(t) ma współczynniki Gk = 0 dla k `"0, gdyż
0 dla k `" 0
t0 +T Å„Å‚
T
1 1 A
ôÅ‚
jkÉot jkÉot
Gk =
+"g(t) e- dt = +"T e- dt = òÅ‚ A dla k = 0 ).
T T
t0 0
ôÅ‚T
ół
Stosując zależność 5 (podpunkt 2 dodatek) dla k `" 0 można zapisać:
A
'
f (t) "! jkÉ0 F = - ,stÄ…d
n
T
A
F = j .
n
2Ä„ k
Przykład 2
Wyznacz wykładniczy szereg Fouriera sygnału okresowego u(t) podanego poniżej na
rysunku:
u(t)
funkcja sin(x)
Um
t
-2T -T 0 T 2T
7
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
2Ä„
Pulsacja podstawowa jest równa É0= .
T
Okres funkcji u(t) w przedziale od 0 do T można zapisać analitycznie:
2Ä„ É0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
uT (t) = Um sin t îÅ‚1(t) -1 t Å‚Å‚ = Um sin t îÅ‚1(t) -1 t Å‚Å‚ .
(-T
)ûÅ‚ (-T
)ûÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ðÅ‚ ðÅ‚
2T 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczmy pierwszÄ… i drugÄ… pochodnÄ… uT(t):
É0 É0 É0
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
'
uT (t) = Um cosëÅ‚ t îÅ‚1(t) -1 t Å‚Å‚ +Um sin t îÅ‚´ (t) -´ t Å‚Å‚
(-T
)ûÅ‚ (-T
)ûÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ðÅ‚ ðÅ‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
É0 É0
öÅ‚
= Um cosëÅ‚ t îÅ‚1(t) -1 t Å‚Å‚
(-T
)ûÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ðÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
É0 É0
ëÅ‚ öÅ‚
''
uT (t) = -Um sin t îÅ‚1(t) -1 t Å‚Å‚ +Um cosëÅ‚ t îÅ‚´ (t) -´ t Å‚Å‚
(-T
)ûÅ‚ É0 ìÅ‚ É0 öÅ‚ ðÅ‚ (-T
)ûÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
ðÅ‚
4 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
É0 É0 É0
ëÅ‚ öÅ‚
= -Um sin t îÅ‚1(t) -1 t Å‚Å‚ +Um ´ (t) +Um ´ t
(-T
)ûÅ‚ É0 (-T
)
ìÅ‚ ÷Å‚
ðÅ‚
4 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
É0 É0 É0
= - uT (t) +Um ´ (t) +Um ´ t
(-T
)
4 2 2
Zatem druga pochodna funkcji u(t) wynosi (dla jednego okresu występują dwie delty Diraca -
É0 É0
Um ´ (t) +Um ´ t , które jeÅ›li okresowo  powielimy utworzÄ… jeden ciÄ…g delt Diraca
(-T
)
2 2
UmÉ0´T (t) )
2
É0
u''(t) = - u(t) +UmÉ0´T (t) ,
4
2
2 É0 UmÉ0
jeÅ›li u(t)"!F , wiÄ™c u''(t) "! jÉ0k F = - F + . Z tego wyrażenia wyznaczamy
( )
k k k
4 T
UmÉ0
2
T
F = =-Um .
k
2
É0 2
Ä„ 4k2-1
( )
-É0 k2
4
-2Um "
j
0
Ostatecznie : u(t)=
"4k1 eÉkt .
2
Ä„ -1
k=-"
Powyższe zależności staną się jaśniejsze, jeśli posłużymy się interpretacją graficzną podaną poniżej
8
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
f (t )"! F
k
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 Ä„ É 2 Ä„
0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
fragment U sin t = U sin t , É =
÷Å‚ ÷Å‚
m ìÅ‚ m ìÅ‚ 0
÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ T
2T 2
A
t
0 T/2
T
f '(t )"! jÉ0 k F
k
ëÅ‚ öÅ‚
É0 É0 ìÅ‚É0 ÷Å‚
U fragment U c o s t
÷Å‚
m m ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
t
É0
-U
m
2
2
É0 U É0
2 2
m
f ''(t ) "! -É0 k F = - F +
k k
4 T
ciÄ…g U É ´ (t )
m 0 T
t
2
É0
-U
m
2
4
É0 É0
ëÅ‚ öÅ‚
fragment -U sin t
m ìÅ‚ ÷Å‚
4 2
íÅ‚ Å‚Å‚
UZUPEA
NIENIA
Do samodzielnych obliczeń, poniżej podano funkcje okresowe i ich współczynniki Fk.
1. Parabola 1
f(t)
k
2-1
( )
fragment t2 Fk=
Ä„2k2
t
9
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
2. Parabola 2
f(t)
fragment -(t2-1)
k
2-1
( )
Fk=-
Ä„2k2
t
3. Funkcja trójkątna 1
k
f(t)
(-1
)-1
Fk=
1
Ä„2k2
t
-2 -1 0 1 2 3 4
4. Funkcja trójkątna 2
k k
f(t)
(-1
)-1
(-1
)-1
Fk= +j
1
Ä„2k2 2Ä„k
t
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
5. Funkcja schodkowa
f(t) 1 k
îÅ‚
Fk = j-(k+1)+ j 2
(-1
)-1
( )Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2Ä„k
2
1
t
-3 -2 -1 0 2 3 4
1
10
PWR ITA
Zakład Teorii Obwodów
5. Funkcja sinus-A
f(t)
t
Å„Å‚ Ä„k
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚3cosíÅ‚ 2 Å‚Å‚
ôÅ‚ , k `" Ä…3,
ôÅ‚
F = 9 - k2
( )
òÅ‚Ä„
k
ôÅ‚
ôÅ‚"1 ,
k = Ä…3
ôÅ‚
ół 4
6. Funkcja sinus-B
f(t)
t
Å„Å‚ Ä„k
ëÅ‚ öÅ‚
sin
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
, k `" Ä…2,
ôÅ‚2j
F = Ä„ k2 - 4
( )
òÅ‚
k
ôÅ‚
ôÅ‚"1 j,
k = Ä…2
ôÅ‚
ół 4
11