ÿþZ a d a n i a n a p i e r w s z a k a r t k ó w k e
1 . L o s u j e m y 1 0 0 l i c z b a 1 , a 2 , . . . , a 1 0 0 z e z b i o r u { 0 , 1 , 2 } . O b l i c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o
t e g o , |e k a |d a z l i c z b 0 , 1 , 2 p o j a w i s i e w c i a g u ( a 1 , a 2 , . . . , a 1 0 0 ) .
2 . L o s u j e m y p u n k t y A , B , C z o k r e g u O . W y z n a c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e t r ó j k a t
A B C j e s t r o z w a r t o k a t n y .
3 . D z i e s i e o s ó b , w [r ó d k t ó r y c h s a o s o b y A , B , C , s i a d a l o s o w o p r z y o k r a g s t o l e . W y -
l y m
z n a c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e |a d n e d w i e s p o [r ó d A , B , C n i e b e d a s i e d z i a o b o k
l y
s i e b i e .
4 . W u r n i e z n a j d u j e s i e p i e p r a w i d l s z y w a , z
l o w y c h s z e [c i e n n y c h k o s t e k o r a z j e d n a f a
s a m y m i s z ó s t k a m i . L o s u j e m y k o s t k e i w y k o n u j e m y n i a r z u t .
a ) J a k i e j e s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e w y r z u c i m y s z ó s t k e ?
b ) Z a ó |m y , |e w y r z u c i l i [m y s z ó s t k e . J a k i e j e s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e r z u c a j a c t a
l
k o s t k a j e s z c z e r a z z n o w u w y r z u c i m y s z ó s t k e ?
5 . Z t a l i i 5 2 k a r t l o s u j e m y b e z z w r a c a n i a 5 k a r t . O b l i c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e
m a m y d o k j e d n e g o a s a , d o k j e d n e g o k r ó l a i c o n a j m n i e j j e d n a d a m e , j e [l i w i a d o m o ,
l a d n i e l a d n i e
|e m a m y d o k c z t e r y p i k i .
l a d n i e
6 . S t r z e l e c A t r a f i a w c e l z p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m 3 / 5 , a s t r z e l e c B - z p r a w d o p o d o -
b i e Ds t w e m 4 / 5 . O s o b y A i B o d d a j a 1 0 s t r z a ó w d o t a r c z y : p r z e d k a |d y m s t r z a r z u c a j a
l l e m
s y m e t r y c z n a m o n e t a i j e [l i w y p a d n i e o r z e - s t r z e l a A , w p r z e c i w n y m r a z i e - B .
l
a ) O b l i c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e c e l z o s t a n i e t r a f i o n y d o k 7 r a z y .
l a d n i e
b ) Z a ó |m y , |e c e l z o s t a t r a f i o n y d o k 7 r a z y . j a k i e j e s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e
l l l a d n i e
A s t r z e l a c o n a j m n i e j 2 r a z y ?
l
c ) J a k a j e s t n a j b a r d z i e j p r a w d o p o d o b n a l i c z b a t r a f i e D?
7 . Z p r z e d z i a [ 0 , 1 ] l o s u j e m y d w i e l i c z b y , d z i e l a c e g o n a t r z y p o d p r z e d z i a ( b y m o |e
l u l y
z d e g e n e r o w a n e ) . O b l i c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e n a j k r ó t s z y z n i c h m a d w i e k s z a
l u g o [
n i | 1 / 4 .
8 . L i c z b y 1 , 2 , . . . , 2 n ( n " { 1 , 2 , . . . } u s t a l o n e ) u s t a w i o n o l o s o w o w c i a g ( a 1 , a 2 , . . . , a 2 n ) .
Z b a d a n i e z a l e |n o [ z d a r z e D { a 1 < a 2 n } , { a 2 < a 2 n - 1 } , . . . , { a n < a n + 1 } .
9 . L i c z b y p 1 , p 2 , . . . , p n s a p a r a m i r ó |n y m i l i c z b a m i p i e r w s z y m i ( n " { 1 , 2 , . . . } u s t a l o n e ) .
Z e z b i o r u { 1 , 2 , . . . , p 1 · p 2 · . . . · p n } l o s u j e m y l i c z b e k . R o z w a |m y z d a r z e n i a A m = { l i c z b a k
d z i e l i s i e p r z e z p m } , m = 1 , 2 , . . . , n . Z b a d a n i e z a l e |n o [ z d a r z e D A 1 , A 2 , . . . , A n .
1 0 . R o z d a n o 2 0 p a c z k ó w d z i e c i o m D 1 , D 2 , . . . , D 1 0 . J a k i e j e s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o ,
|e d z i e c k o D 1 0 o t r z y m a c o n a j m n i e j j e d n e g o p a c z k a , j e [l i d z i e c i D 1 i D 2 o t r z y m a p o d w a
l o l y
p a c z k i ?
1 1 . Z e z b i o r u { 1 , 2 , . . . , 1 0 } l o s u j e m y b e z z w r a c a n i a d w i e l i c z b y . C z y i s t n i e j e t a k a l i c z b a
k " { 3 , 4 , . . . , 1 9 } , d l a k t ó r e j z d a r z e n i a A = { s u m a o c z e k w y n o s i k } o r a z B = { w [r ó d
w y c i a g n i e t y c h l i c z b j e s t 9 } , s a n i e z a l e |n e ?
1 2 . W u r n i e z n a j d u j e s i e 2 0 k u l p o n u m e r o w a n y c h l i c z b a m i o d 1 d o 2 0 . Z u r n y l o s u j e m y z e
z w r a c a n i e m 1 0 k u l . O b l i c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o t e g o , |e n a j m n i e j s z a w y l o s o w a n a l i c z b a j e s t
1 1 .
W s k a z ó w k a : b y m o |e w a r t o r o z w a |y z d a r z e n i a A k - n a j m n i e j s z a w y l o s o w a n a l i c z b a j e s t
n i e m n i e j s z a n i | k , k = 1 1 , 1 2 .
2
X
1
g ( x ) = x 3 1 [ 0 , 2 ] ( x ) .
4
Y = m a x ( X , 1 )
Z = ( X - 1 ) 3
X Y X [ 0 , 2 ]
1
Y P ( Y = - 1 ) = P ( Y = 1 ) =
2
X + Y
( X , Y )
2
g ( x , y ) = C ( x 2 + y 2 ) 1 { x + y 2 d"1 } .
C
X
X + Y
"
Y
2
"
2
X 2 + Y X / Y
F X X F ( t ) + F ( - t ) = 1
t " R A †" R
P ( X " A ) = P ( X " - A ) - A = { x : - x " A }
X Y X
1
2 Y
3
m i n { X , 2 }
P ( X = Y )
X Y X “( », 2 )
Y µ », µ > 0
X
Y
X + Y
X Y X X Y
[ 0 , 1 ] Y
1
[ 0 , 1 ] a 1 a 2 . . .
1 ( a n )
X 1 X 2 . . . n e" 1
1
X n n ,
n + 1
1 X 2 X 3 . . .
X 1
X
X
| X |
| X |
( X , Y )
g ( x , y ) = C x 1 { | y | d"x d"1 } .
C
Y / X X
X + Y
X 1 X 2 . . .
[ 0 , 1 ]
Ä = i n f { n : X 1 + X 2 + . . . + X n e" 1 } .
Ä
Z a d a n i a n a t r z e c i a k a r t k ó w k e
1 . Z m i e n n a l o s o w a X m a r o z k g e o m e t r y c z n y z p a r a m e t r e m 2 / 3 . O b l i c z y E e X , E ( 3 X + 5 )
l a d
o r a z u d o w o d n i , |e d l a k a |d e g o 0 < p < ", z m i e n n a X m a s k o Dc z o n y m o m e n t r z e d u p .
2 . Z m i e n n a l o s o w a X m a r o z k j e d n o s t a j n y n a p r z e d z i a l e ( 0 , 1 0 ) . O b l i c z y C o v ( [ X ] , { X } ) .
l a d
C z y [ X ] , { X } s a n i e z a l e |n e ?
U w a g a : D l a x " R , s y m b o l e [ x ] , { x } o z n a c z a j a , o d p o w i e d n i o , c z e [ c a
l k o w i t a i c z e [
u
l a m k o w a l i c z b y x .
3 . Z m i e n n a l o s o w a X m a r o z k “( », r ) , », r > 0 . W y z n a c z y p - t y m o m e n t z m i e n n e j X ,
l a d
0 < p < ".
4 . D z i e s i e c i u c h i d z i e s i e d z i e w c z y n e k u s t a w i a s i e l o s o w o w p a r y . W y z n a c z y w a r t o [
l o p c ó w
o c z e k i w a n a i w a r i a n c j e l i c z b y p a r z
l o |o n y c h z s a m y c h d z i e w c z y n e k .
5 . G r u p a n o s ó b ( n e" 2 ) , w [r ó d k t ó r y c h s a o s o b y A i B , u s t a w i a s i e l o s o w o w k o l e j c e .
W y z n a c z y w a r t o [ o c z e k i w a n a i w a r i a n c j e l i c z b y o s ó b s t o j a c y c h m i e d z y A i B .
6 . Z e z b i o r u { 1 , 2 , . . . , 1 0 0 } l o s u j e m y z e z w r a c a n i e m l i c z b y a | d o m o m e n t u , g d y j a k a [
l i c z b a s i e p o w t ó r z y . W y z n a c z y w a r t o [ o c z e k i w a n a i w a r i a n c j e l i c z b y l o s o w a D.
7 . Z m i e n n a l o s o w a X j e s t c a
l k o w a l n a . U d o w o d n i , |e d l a t > 0 ,
E | X |
P ( X - | E X | e" t ) d" .
t
8 . Z m i e n n a l o s o w a X n a p r z e s t r z e n i p r o b a b i l i s t y c z n e j ( &!, F , P ) m a r o z k P o i s s o n a z
l a d
p a r a m e t r e m 2 .
a ) D l a j a k i c h a > 0 z m i e n n a a X n a l e |y d o L 3 ( &!, F , P ) ?
b ) U d o w o d n i , |e d l a t > 2 ,
t
2
P ( X e" t ) d" e t - 2 .
t
9 . Z m i e n n a l o s o w a X m a s c e n t r o w a n y r o z k n o r m a l n y ( t z n . o [r e d n i e j 0 ) o w a r i a n c j i Ã2 .
l a d
U d o w o d n i , |e d l a l i c z b y c a
l k o w i t e j d o d a t n i e j n ,
0 j e [l i n j e s t n i e p a r z y s t e ,
E X n =
( n - 1 ) ! ! Ãn j e [l i n j e s t p a r z y s t e .
1 0 . Z m i e n n a l o s o w a ( X , Y ) m a r o z k z g e s t o [c i a
l a d
g ( x , y ) = ( x + y ) 1 { x , y "[ 0 , 1 ] } .
a ) W y z n a c z y [r e d n i a w e k t o r a ( X , Y ) o r a z j e g o m a c i e r z k o w a r i a n c j i .
b ) O b l i c z y E X 2 Y .
c ) O b l i c z y C o v ( X + Y , X - Y ) . C z y z m i e n n e X + Y , X - Y s a n i e z a l e |n e ?
1 1 . Z m i e n n a l o s o w a ( X , Y ) m a r o z k z g e s t o [c i a
l a d
1 y 2
g ( x , y ) = e x p - x 2 - x y - .
2 À 2
a ) W y z n a c z y m a c i e r z k o w a r i a n c j i z m i e n n e j ( X , Y ) .
b ) W y z n a c z y t a k a l i c z b e a " R , b y z m i e n n e X + Y , X + a Y b y n i e z a l e |n e .
l y
1 2 . Z m i e n n e l o s o w e X , Y m a j a t e w l k o w a l n e z
l a s n o [, |e X + Y o r a z X + 1 1 s a c a
k w a d r a t e m . U d o w o d n i , |e Y j e s t t a k |e c a
l k o w a l n a z k w a d r a t e m .
2
Z a d a n i a n a c z w a r t a k a r t k ó w k e
1 . Z m i e n n a l o s o w a X j e s t c a l k o w a l n a , a F 1 , F 2 s a Ã- c i a l a m i t a k i m i , |e X j e s t n i e z a l e |n a
o d F 2 . U d o w o d n i , |e
E ( X | Ã( F 1 , F 2 ) ) = E ( X | F 1 ) .
1
2 . Z m i e n n a l o s o w a X m a r o z k l a d B e r n o u l l i e g o z p a r a m e t r a m i 1 0 0 , . O b l i c z y E ( X | X 2 )
4
o r a z E ( X | 1 { X = 0 } ) .
3 . Z m i e n n a l o s o w a ( X , Y ) m a r o z k l a d z g e s t o [c i a
g ( x , y ) = C e - x 1 { 0 d"y d"x } .
O b l i c z y E ( Y | X ) o r a z E ( X | Y ) .
4 . Z m i e n n e l o s o w e µ1 , µ2 , µ3 s a n i e z a l e |n e i m a j a t e n s a m r o z k l a d z a d a n y p r z e z
P ( µ1 = - 1 ) = P ( µ1 = 1 ) = 1 / 2 .
W y z n a c z y E ( µ1 + µ2 µ3 | µ1 µ2 + µ3 ) .
5 . D a n y j e s t c i a g ( »n ) l i c z b d o d a t n i c h z b i e |n y d o 0 o r a z c i a g ( X n ) z m i e n n y c h l o s o w y c h
( n i e k o n i e c z n i e n i e z a l e |n y c h ) t a k i , |e d l a n e" 1 z m i e n n a X n m a r o z k l a d P o i s s o n a z p a r a m e t r e m
»n . U d o w o d n i , |e ( X n ) z b i e g a d o 0 p . n . C z y z b i e g a o n w L 2 ?
6 . C i a g ( X n ) z b i e g a w e d l u g p r a w d o p o d o b i e Ds t w a d o X , a c i a g ( Y n ) z b i e g a w L 2 d o z m i e n n e j
s t a l e j , r ó w n e j 1 . C z y c i a g ( X n Y n ) j e s t z b i e |n y w L 1 ?
7 . D a n y j e s t c i a g ( X n ) z m i e n n y c h n i e u j e m n y c h c a l k o w a l n y c h , z b i e |n y p . n . d o z m i e n n e j X .
a ) U d o w o d n i , |e X j e s t c a l k o w a l n a .
b ) Z a l ó |m y d o d a t k o w o , i | l i m n ’! " E X n = E X . U d o w o d n i , |e ( X n ) z b i e g a d o X w L 1 .
8 . D a n y j e s t c i a g ( X n ) n i e z a l e |n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h , z k t ó r y c h k a |d a m a r o z k l a d
B e r n o u l l i e g o z p a r a m e t r a m i 1 0 0 , 1 / 2 . U d o w o d n i , |e c i a g
X 1 + X 2 + . . . + X n
, n = 1 , 2 , . . .
2 2
2
X 1 + X 2 + . . . + X n + 1
j e s t z b i e |n y p . n . i w y z n a c z y j e g o g r a n i c e .
9 . D a n y j e s t c i a g ( µn ) n i e z a l e |n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h o t y m s a m y m r o z k l a d z i e , z a d a n y m
p r z e z
1
P ( µ1 = - 1 ) = P ( µ1 = 1 ) = .
2
U d o w o d n i , |e c i a g
1
µk µl , n = 0 , 1 , 2 , . . .
n 2
1 d"k < l d"n
j e s t z b i e |n y p . n . i w y z n a c z y j e g o g r a n i c e .
1 0 . D a n y j e s t c i a g ( X n ) n i e z a l e |n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h , p r z y c z y m d l a n e" 1 , z m i e n n a
X n m a r o z k l a d j e d n o s t a j n y n a p r z e d z i a l e [ - 3 n , 3 n ] . U d o w o d n i , |e c i a g
X 1 + X 2 + . . . + X n
, n = 1 , 2 , . . .
n
n i e j e s t z b i e |n y p . n .
2
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