WYKA
AD Nr 14
3. SZEREGI FOURIERA
Def.14.1. (szereg trygonometryczny)
Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci:
a0 +"
nĄx
öÅ‚
+ an cos + bn sin
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ nÄ„x
2 l l
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1
gdzie: l > 0 , zaś a0 , an , bn - pewne stałe (n = 1,2, ... ).
Uwaga 1: Wyrazami szeregu trygonometrycznego są sinusy i cosinusy kątów, będących wielokrotno-
Ä„x
ściami kąta , a suma tych wyrazów S(x) , jeśli istnieje, jest funkcją okresową zmiennej x o okresie 2l:
l
S(x) = S(x + 2l) .
Def.14.2. (szereg Fouriera)
Szeregiem Fouriera odpowiadającym danej funkcji f (x) , całkowalnej w przedziale - l,l nazywamy
szereg trygonometryczny o postaci:
a0 +"
nĄx
öÅ‚
+ an cos + bn sin ,
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ nÄ„x
2 l l
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1
w którym współczynniki an i bn są obliczane według wzorów Fouriera:
l
1 nĄx
an = f (x) cos dx dla n = 0,1, 2, ...
+"
l l
-l
l
1 nĄx
bn = f (x) sin dx dla n = 1, 2, ...
+"
l l
-l
Fakt ten zapisujemy w następujący sposób:
a0 +"
nĄx
öÅ‚
f (x) ~ + an cos + bn sin
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ nÄ„x
2 l l
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1
Uwaga 2: Szereg Fouriera odpowiadający funkcji f (x) może być zbieżny lub rozbieżny. Ale nawet wte-
dy, gdy jest zbieżny, suma jego nie musi być równa funkcji f (x) , dla której został zbudowany. Znak  ~
można zastąpić znakiem  = tylko wtedy, gdy wykażemy, że szereg Fouriera stojący po prawej stronie
jest zbieżny i jego suma jest równa funkcji f (x) . Istnieją warunki wystarczające, które pozwalają stwier-
dzić, do czego, zbieżny jest szereg Fouriera odpowiadający danej funkcji.
187
Def.14.3. (warunki Dirichleta)
Mówimy, że funkcja f (x) spełnia na przedziale a,b warunki Dirichleta, jeżeli:
1° f (x) przedziaÅ‚ami monotoniczna na przedziale (a,b) tj. przedziaÅ‚ ten można podzielić na skoÅ„czonÄ…
liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja f (x) jest monotoniczna;
2° f (x) jest ciÄ…gÅ‚a na przedziale (a,b), z wyjÄ…tkiem, co najwyżej skoÅ„czonej liczby punktów nieciÄ…gÅ‚o-
ści pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości x0 spełniony jest warunek:
1
îÅ‚ Å‚Å‚
f ( x ) = lim f ( x ) + lim f ( x )
0
ïÅ‚ śł
x x0 - x x0 +
2
ðÅ‚ ûÅ‚
3° na kraÅ„cach przedziaÅ‚u a,b speÅ‚nione sÄ… równoÅ›ci:
1
îÅ‚
f (a) = f (b) =
ïÅ‚xlim f (x) + lim f (x)Å‚Å‚
śł
ðÅ‚ a+ xb- ûÅ‚
2
Funkcja f (x) spełniająca na przedziale a,b warunki Dirichleta, jest całkowalna w sensie Riemanna na
tym przedziale.
Tw.14.1. (kryterium zbieżności szeregu Fouriera)
Szereg Fouriera funkcji f (x) spełniającej na przedziale - l,l warunki Dirichleta jest zbieżny przy
wszystkich wartościach x, przy czym jego suma s jest określona następująco:
w przedziale (- l, l):
1° s(x) = f (x) , gdy x jest punktem ciÄ…gÅ‚oÅ›ci;
f (x + 0) + f (x - 0)
2° s(x) = , gdy x jest punktem nieciÄ…gÅ‚oÅ›ci pierwszego rodzaju,
2
gdzie f (x + 0), f (x - 0)  oznaczajÄ… odpowiednio granice prawo  i lewostronne funkcji f (x)
w punkcie x;
na końcach przedziału (- l, l):
f (-l + 0) + f (l - 0)
s(l) = s(-l) = .
2
Jeśli funkcja f (x) jest wszędzie ciągła, to szereg jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny.
Tw.14.2. (tw. Dirichleta)
Jeżeli funkcja f (x) spełnia na przedziale - l,l warunki Dirichleta to jest rozwijalna na tym przedziale
w szereg trygonometryczny Fouriera:
a0 +"
nĄx
öÅ‚
f (x) = + an cos + bn sin
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ nÄ„x
2 l l
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1
dla każdego x " - l, l ; jeżeli ponadto funkcja f (x) jest okresowa i ma okres 2l, to powyższa równość
zachodzi dla każdego x z dziedziny tej funkcji.
188
Uwaga 3: Jeżeli funkcja f (x) jest całkowalna na przedziale - l,l , gdzie l > 0 , to:
l
f (x)dx = 0 gdy f (x) jest funkcjÄ… nieparzystÄ…
+"
-l
l l
f (x)dx = 2 f (x)dx gdy f (x) jest funkcjÄ… parzystÄ…
+" +"
-l 0
Uwaga 4: Iloczyn dwóch funkcji parzystych lub dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją parzystą.
Uwaga 5: Iloczyn funkcji parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcjÄ… nieparzystÄ….
SZEREG FOURIERA FUNKCJI NIEPARZYSTEJ
Jeśli funkcja f (x) jest nieparzysta (tzn. f (x) = - f (-x) )
to wszystkie współczynniki an = 0 ,
l
2 nĄx
natomiast bn = f (x) sin dx, n = 1, 2, 3, ... (patrz Uwaga 3, 4, 5)
+"
l l
0
Szereg Fouriera funkcji nieparzystej zawiera wyłącznie sinusy i jest nazywany szeregiem sinusów.
SZEREG FOURIERA FUNKCJI PARZYSTEJ
Jeśli funkcja f (x) jest parzysta (tzn. f (x) = f (-x) )
to wszystkie współczynniki bn = 0 ,
l
2 nĄx
natomiast an = f (x) cos dx, n = 0, 1, 2, ... (patrz Uwaga 3, 4, 5)
+"
l l
0
Szereg Fouriera funkcji parzystej składa się ze stałej i cosinusów i jest nazywany szeregiem cosinusów.
Przykład: Rozwinąć na przedziale - Ą, Ą w szereg Fouriera funkcję f (x) = x .
RozwiÄ…zanie:
W tym przypadku l = Ä„ .
Funkcja f (x) = x jest funkcjÄ… parzystÄ… (patrz Szereg Fouriera funkcji parzystej); jej wykres wraz
z okresowym przedłużeniem przedstawia Rys.1.
y
x
-2Ä„ -Ä„ Ä„ 2Ä„
Rys.1.
Przedłużona funkcja jest ciągła, spełnia warunki Dirichleta.
189
Stąd na podstawie Tw.14.2. szereg Fouriera jest zbieżny do funkcji f (x) = x wszędzie w przedziale
- Ą, Ą i do jej okresowego przedłużenia na zewnątrz tego przedziału.
Ponieważ przy x > 0 jest x = x , więc:
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 x 1 - 2 2 2
Ä„
ìÅ‚
an = x cos nxdx = sin nx - = (cos nĄ - 1)=
+" +"sin nxdx÷Å‚ = +"sin nxdx = cos nx 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„ Ä„ n n Ä„ n
Ä„ n2 Ä„ n2
0
0 íÅ‚ 0 Å‚Å‚ 0
2
n
= [(- 1) - 1]
Ä„ n2
2
n
Stąd an = [(- 1) - 1] dla n `" 0 , czyli współczynnik a0 ( n = 0 ) musimy obliczyć osobno:
Ä„ n2
Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
2 0 Å"Ä„x 2 2 2 x2
a0 = x cos dx = x cos 0 dx = x dx = Å" = Ä„
+" +" +"
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ 2
0 0 0 0
Wynika stąd, że:
dla n parzystych mamy: an = 0 ,
4
dla n nieparzystych mamy: an = - ,
Ä„ n2
a0 = Ä„ .
Współczynniki bn = 0 , n = 1, 2, ..., (ponieważ dana funkcja jest parzysta).
Ostatecznie:
Ä„ 4 cos 3x cos 5x
ëÅ‚
x = - ìÅ‚ ÷Å‚
cos x + + + ...öÅ‚ - Ä„ d" x d" Ä„
2 Ä„
íÅ‚ 32 52 Å‚Å‚
Uwaga 6: Funkcję f (x) , daną w przedziale 0, l można w dowolny sposób przedłużyć na sąsiedni
przedział - l, 0), a tym samym można ją przedstawić za pomocą różnych szeregów Fouriera. Zwykle
funkcję taką przedstawiamy niepełnym szeregiem Fouriera, zawierającym sinusy lub cosinusy.
Szereg zawierający tylko cosinusy otrzymujemy przy parzystym przedłużaniu danej funkcji na sąsiadują-
cy z lewej strony przedział - l, 0).
W tym przypadku wykres danej funkcji przedłużamy poprzez symetrię względem osi OY. (patrz Rys.2).
y
- l l x
Rys.2. Przedłużenie parzyste
190
Szereg zawierający tylko sinusy otrzymujemy przy nieparzystym przedłużaniu danej funkcji na sąsiadu-
jący z lewej strony przedział - l, 0).
W tym przypadku wykres danej funkcji przedłużamy poprzez symetrię względem początku układu
współrzędnych (patrz Rys.3)
y
- l
l
x
Rys.3. Przedłużenie nieparzyste
Uwaga 7: Jeżeli funkcję f (x) w różnych częściach przedziału - l,l określają różne wzory, to przy
rozwijaniu jej w szereg Fouriera w celu obliczenia współczynników, czyli odpowiednich całek, przedział
całkowania należy podzielić na części za pomocą punktów, w których wyrażenie analityczne funkcji ule-
ga zmianie, a następnie te całki obliczyć jako sumę całek po poszczególnych przedziałach.
Przy rozwijaniu w szereg Fouriera funkcji f (x) w przedziale 0, 2l granicami całek będą 0 i 2l,
a w przypadku dowolnego przedziału a, b o długości 2l granicami będą liczby a i a+2l.
x gdy 0 d" x d" 1
Å„Å‚
Przykład: Rozwinąć w szereg Fouriera względem sinusów funkcję: f (x) = .
òÅ‚
2 - x gdy 1 < x d" 2
ół
RozwiÄ…zanie:
Wykres funkcji f (x) wraz z nieparzystym przedłużeniem na przedział - 2, 0 ) i dalszym okresowym
przedłużeniem na całą oś OX przedstawia Rys.4.
y
-5 -4 -3 -2 -1 5 x
1 2 4
3
Rys.4.
191
Kryterium zbieżności można zastosować dla wszystkich x.
Korzystając ze wzorów na współczynniki dla szeregów Fouriera funkcji nieparzystej mamy:
an = 0 , n = 0,1, 2, ...
2 1 2
2 nĄx nĄx nĄx
bn = f (x) sin dx = x sin dx + - x)sin dx , n = 1, 2, ...
+" +" +"(2
2 2 2 2
0 0 1
xĄ
Podstawiając = t i zmieniając granice całkowania otrzymamy:
2
Ä„ Ä„
Ä„
Ä„
2 2
2
4 4 4 t cos nt 4
öÅ‚
bn = sin nt dt + +
ìÅ‚-
÷Å‚
+"t +"(Ä„ - t)sin nt dt = ëÅ‚ +"cos nt dt +
n
Ä„2 Ä„2 Ä„2 íÅ‚ Å‚Å‚ Ä„2n
Ä„ 0
0 0
2
Ä„
Ä„
4 (Ą - t)cos nt 4 8 nĄ
îÅ‚ Å‚Å‚
+ -
śł +"cos nt dt = sin
Ä„
Ä„2 ïÅ‚- n 2
ðÅ‚ ûÅ‚ Ä„2n Ä„2n2
Ä„
2
2
StÄ…d
8 Ä„x 1 3Ä„x 1 5Ä„x
ëÅ‚
f (x) = sin - sin + sin - ...öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
Ä„2 íÅ‚ 32 52 Å‚Å‚
Szereg ten jest zbieżny do funkcji przedstawionej na rysunku dla wszystkich x " R .
POSTAĆ ZESPOLONA SZEREGU TRYGONOMETRYCZNEGO FOURIERA
jÄ…
Na podstawie wzoru Eulera: e = cos Ä… + j sin Ä…
mamy:
nĄx nĄx
j - j
nĄx nĄx nĄx nĄx
l l
e = cos + j sin oraz e = cos - j sin
l l l l
Dodając i odejmując od siebie powyższe równości otrzymamy:
nĄx nĄx nĄx nĄx
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
- j - j
nĄx 1 nĄx 1
ìÅ‚e j l l ÷Å‚ ìÅ‚e j l l ÷Å‚
cos = + e oraz sin = - e
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
l 2 l 2 j
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem po wstawieniu powyższych wzorów do wyrażenia występującego w szeregu Fouriera
i pogrupowaniu mamy:
nĄx nĄx
an
nĄx nĄx - jbn j l an + jbn - j l
an cos + bn sin = e + e
l l 2 2
192
Po wprowadzeniu następujących oznaczeń:
a0 an - jbn an + jbn
c0 = , cn = , c = , n = 1, 2, ...
-n
2 2 2
szereg trygonometryczny Fouriera:
a0 +"
nĄx
öÅ‚
+ an cos + bn sin
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ nÄ„x
2 l l
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1
możemy zapisać w postaci:
nĄx nĄx
+"
ëÅ‚ öÅ‚
j - j
l l ÷Å‚
c0 + e + c e
"ìÅ‚cn -n
ìÅ‚ ÷Å‚
n=1
íÅ‚ Å‚Å‚
lub krótko
nĄ x
+"
j
l
e .
"cn
-"
Tw.14.3. (o rozwijaniu funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej w zespolony szereg Fouriera)
Jeśli funkcja rzeczywista f (x) spełnia w przedziale - l,l warunki Dirichleta, to jest rozwijalna na tym
przedziale w szereg zespolony Fouriera:
nĄ x
+"
j
l
f (x) = e
"cn
n=-"
przy czym:
nĄ x
l
- j
1
l
cn = f (x) e dx , n = 0, Ä… 1, Ä… 2, ...
+"
2l
-l
Jeśli 2l jest okresem funkcji f (x) to ostatni wzór można przekształcić do postaci następującej:
nĄ x
2l
- j
1
l
cn = f (x) e dx , n = 0, Ä… 1, Ä… 2, ...
+"
2l
0
Przykład: Rozwinąć funkcję f (x) = e-x w zespolony szereg Fouriera w przedziale (- Ą, Ą).
RozwiÄ…zanie:
W tym przypadku l = Ä„ .
Funkcja f (x) spełnia w przedziale (- Ą, Ą) warunki Dirichleta.
193
Zatem
-Ä„
Ä„ Ä„
jnĄ
1 1 e-(1+ jn )x e(1+ jn )Ą - e-(1+ jn )Ą eĄe - e-Ąe- jnĄ
-x jnx -(1+ jn
cn = = =
+"e e- dx = +"e )xdx =
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„(1 + jn) 2Ä„(1 + jn) 2Ä„(1 + jn)
-Ä„ -Ä„ Ä„
Zgodnie ze wzorami Eulera: eą jnĄ = cos nĄ ą j sin nĄ
czyli eą jnĄ = (-1)n .
Wobec tego:
(-1)n(eĄ - e-Ą)
cn =
2Ä„(1+ jn)
n
jnx
eĄ - e-Ą +" (- 1) e
e-x = .
"
2Ä„ 1 + jn
n=-"
W przedziale (- Ą, Ą) szereg ten przedstawia funkcję e-x , natomiast w punktach x = ąĄ (krańce prze-
1
działu) szereg jest zbieżny do sumy równej (eĄ + e-Ą).
2
194