Wyklad z matematyki
Szeregi liczbowe, funkcyjne i pot¸
egowe
Spis treści
1 Szeregi liczbowe 1
1.1 Podstawowe twierdzenia o szeregach liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Kryteria zbieżności szeregów liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Kryteria rozbieżności szeregów liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Szeregi funkcyjne 2
2.1 Szeregi pot¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
egowe
2.1.1 Szereg pot¸ o Å›rodku w punkcie x0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
egowy
2.1.2 Funkcje klasy C", rozwini¸ Taylora, przedstawienia w postaci rozwini¸Ä‡ w
ecia e
szeregi pot¸
egowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Szeregi liczbowe
Dla ciagu liczbowego {ak} tworzymy ciag sum cz¸Å›ciowych: s0:= a0, s1 := a0 + a1, . . .,
¸ ¸ e
sn := a0 + ... + an itd. Jeżeli ciag {sk} jest zbieżny to jego granic¸ nazywamy sum¸ szeregu
¸ e a
"
ak i mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny.
k=0
1.1 Podstawowe twierdzenia o szeregach liczbowych
Twierdzenie 1 1. Jeżeli szereg o wyrazach ak jest zbieżny to ci¸ {ak} posiada granic¸ 0.
ag e
Zatem gdy ci¸ {ak} nie posiada granicy równej 0 to szereg o takich wyrazach jest rozbieżny.
ag
2. Gdy ak e" 0, dla każdego k=0,1,.... to ci¸ {sn} jest niemalej¸
ag acy.
3. Na zbieżność szeregu nie ma wplywu skończona ilość wyrazów - lecz na wartość sumy szeregu
ma wplyw.
4. Gdy szereg o wyrazach |ak| jest zbieżny to szereg o wyrazach ak jest również zbieżny.
5. Gdy 0d" ak d" bk, dla każdego k=0,1,... to sumy odpowiednich szeregów s¸ w tej samej relacji.
a
1.2 Kryteria zbieżności szeregów liczbowych
Twierdzenie 2 (kryterium porównawcze)
Gdy wyrazy ak e" 0, dla każdego k=0,1,... oraz szereg o tych wyrazach jest zbieżny to również zbieżny
jest szereg o wyrazach bk takich , że |bk| d" ak, dla każdego k=0,1,... .
Twierdzenie 3 (kryterium D Alamberta)
Gdy istnieje K > 1 oraz p " (0, 1), że dla każdego k > K, ak > 0 oraz ak+1/ak d" p < 1 to szereg o
wyrazach ak jest zbieżny.
Twierdzenie 4 (kryterium Cauchy ego)
"
k
Gdy istnieje K > 1 oraz p "[0,1), że dla każdego k > K, ak e" 0 i ak d" p < 1 to szereg o wyrazach
ak jest zbieżny.
1
Gdy wyrazy szeregu spelniaj¸ warunek ak · ak+1 < 0, to taki szereg nazywamy przemiennym.
a
Twierdzenie 5 (Tw. Leibnitza o zbieżności szeregów przemiennych)
Zalożenia: szereg jest przemienny, istnieje K > 1 , że dla każdego k > K |ak+1| d" |ak|, oraz ci¸
ag
{ak} jest zbieżny do 0. Teza: wtedy szereg jest zbieżny.
1.3 Kryteria rozbieżności szeregów liczbowych
Twierdzenie 6 (kryterium D Alamberta)
Gdy istnieje K >1, że dla każdego k>K , ak >0 oraz ak+1/ak e" 1 to szereg o wyrazach ak jest
rozbieżny.
Twierdzenie 7 (kryterium Cauchyego)
Gdy istnieje K>1, że dla każdego k >K , ak e" 0 oraz istnieje podci¸ którego wszystkie wyrazy
ag,
1
k
spelniaj¸ nierównoÅ›ci ak e" 1 to szereg o wyrazach ak jest rozbieżny.
a
1.4 Szereg geometryczny
Wyrazy s¸ postaci ak = A qk. Sumy cz¸Å›ciowe : sn=A (1 - qn+1)/(1 - q)
a e
Gdy |q| < 1 to szereg geometryczny jest zbieżny i jego suma jest równa A/(1 - q).
Gdy |q| e" 1 to szereg jest rozbieżny.
"
Przyklad 1 ak = k-ą (k > 0) wtedy szereg k-ą jest zbieżny gdy ą > 1.
k=1
Opiszemy teraz zastosowanie calek niewlaściwych 1 - go rodzaju do szacowania sum szeregów.
Zakladamy, że funkcja f e" 0 i jest nierosn¸ na pólprostej [m,"), m e" 0.
aca
"
"
Lemat 1 Szereg f(k) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżna jest calka niewlaściwa fdx
m
k=m
"
" "
oraz zachodz¸ nierównoÅ›ci f(k) d" fdx d" f(k).
a
m
k=m+1 k=m
2 Szeregi funkcyjne
Funkcje un, n " N , s¸ okreÅ›lone na tej samej dziedzinie D. Szereg funkcyjny, dla którego {un} jest
a
"
ciagiem skladników oznaczymy przez uk.
¸
k=1
n
OkreÅ›lamy ciag sum cz¸Å›ciowych sn(x) := uk(x); n " N , x " D.
¸ e
k=1
Definicja 1 Mówimy, że szereg funkcyjny jest zbieżny punktowo (jednostajnie) na D jeżeli na D jest
zbieżny punktowo (jednostajnie) odpowiadaj¸ mu ci¸ sum cz¸Å›ciowych.
acy ag e
Wszystkie wczeÅ›niej podane fakty odnosz¸ si¸ do ciagów funkcyjnych maj¸ swoje odpowiedniki dla
ace e ¸ a
szeregów funkcyjnych.
Z teorii szeregów liczbowych jako bezpośrednie wnioski uzyskujemy:
2
Fakt 1 Warunkiem koniecznym punktowej zbieżnoÅ›ci szeregu funkcyjnego jest by ci¸ skladników
ag
{un} byl punktowo zbieżny do 0.
"
Fakt 2 Jeżeli szereg jest zbieżny punktowo wtedy ci¸ reszt rn := uk jest punktowo zbieżny do 0.
ag
k=n
Również poniższy fakt jest oczywisty:
Fakt 3 Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie na D to jest też zbieżny punktowo na D.
Twierdzenie 8 (Kryterium Cauchy ego dla szeregów funkcyjnych) Szereg funkcyjny jest
jednostajnie zbieżny na D wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego µ > 0 istnieje K " N ,
n
że | uk(x)| < µ, dla wszystkich n > m > K, oraz x " D.
k=m
Jako wnioski wyprowadzamy:
Wniosek 1 Aby szereg funkcyjny byl jednostajnie zbieżny na D to ci¸ skladników musi być jednos-
ag
tajnie zbieżny do 0 na D.
Wniosek 2 Jeżeli szereg jest jednostajnie zbieżny to ci¸ jego reszt jest jednostajnie zbieżny do 0 na
ag
tym samym zbiorze.
Definicja 2 Mówimy, że szereg funkcyjny jest w punkcie x " D bezwzgl¸ zbieżny jeżeli zbieżny
ednie
"
jest szereg |uk(x)|.
k=1
Z teorii szeregów liczbowych wnioskujemy, że gdy szereg jest bezwzgl¸ zbieżny to suma tego
ednie
szeregu nie zależy od kolejności sumowania jego skladników. Szeregi dla, których suma szeregu nie
zależy od kolejnoÅ›ci sumowania jego skladników nazywaja si¸ absolutnie zbieżnymi.
¸ e
Wobec powyższego możemy sformulować wniosek:
Fakt 4 Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzgl¸ to jest też zbieżny absolutnie.
ednie
Twierdzenie 9 (Kryterium porównawcze Weierstrassa) Jeżeli dla każdego x " D,
" "
|uk(x)| d" ak, i szereg ak jest zbieżny to szereg uk jest jednostajnie oraz bezwzgl¸ (a wi¸ i
ednie ec
k=1 k=1
absolutnie) zbieżny na D.
Teraz zostan¸ sformulowane twierdzenia, które maj¸ swoje odpowiedniki dla ciagów.
a a ¸
Twierdzenie 10 Zbiór D jest ograniczony. Skladniki szeregu uk, k " N , s¸ funkcjami ci¸ na
a aglymi
D i szereg funkcyjny o tych skladnikach jest jednostajnie zbieżny na D. Wtedy suma tego szeregu jest
funkcj¸ ci¸ ¸ na D.
a agla
Twierdzenie 11 Zbiór D jest ograniczony. Skladniki szeregu uk, k " N , s¸ funkcjami ci¸ na
a aglymi
D i uk e" 0 dla każdego k " N . Jeżeli szereg o takich skladnikach jest punktowo zbieżny na D i jego
suma jest funkcj¸ ci¸ ¸ na D to jest on na tym zbiorze zbieżny jednostajnie.
a agla
3
Twierdzenie 12 Obszar D jest ograniczony. Jeżeli skladniki uk, k " N , s¸ funkcjami calkowalnymi
a
na D i szereg o takich skladnikach jest jednostajnie zbieżny na D to:
ëÅ‚ öÅ‚
" "
íÅ‚
uk(x)dx dxłł = uk(x) dx.
k=1 k=1
D D
"
Twierdzenie 13 Funkcje uk, k " N , s¸ różniczkowalne na [a,b]. Szereg u k jest jednostajnie
a
k=1
"
zbieżny na [a,b], a szereg uk jest zbieżny przynajmniej w jednym punkcie x " [a, b]. Wtedy szereg
k=1
" " "
d
uk jest zbieżny jednostajnie na [a,b] oraz uk = u k na [a,b]. Szereg pochodnych jest na
dy
k=1 k=1 k=1
odcinku [a,b] jednostajnie zbieżny do pochodnej sumy szeregu.
" "
Lemat 2 Jeżeli szeregi funkcyjne uk, vk s¸ jednostajnie zbieżne odpowiednio na odcinkach
a
k=1 k=1
[a1, b1], [a2, b2], wtedy na cz¸Å›ci wspólnej tych odcinków (pod warunkiem, że nie jest ona zbiorem
e
pustym) zachodzi równość:
" " "
uk Ä… vk = (uk Ä… vk),
k=1 k=1 k=1
i szereg stoj¸ po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny na cz¸Å›ci wspólnej odcinków.
acy e
2.1 Szeregi pot¸
egowe
"
SpoÅ›ród wszystkich szeregów funkcyjnych wyróżnia si¸ klas¸ szeregów pot¸
e e egowych postaci akxk,
k=0
ak - stale. Zmienna x przyjmuje wartoÅ›ci zespolone; w naszych rozważaniach ograniczymy si¸ do
e
x " R. Stale ak, k e" 0 nazywane s¸ wspólczynnikami szeregu pot¸
a egowego.
Oznaczamy przez D ‚" R dziedzin¸ na której szereg pot¸ jest punktowo zbieżny. Oczywistym
e, egowy
jest, że 0 " D. Interesować nas b¸ a szeregi takie, że D jest zbiorem istotnie wi¸ niż {0}.
ed¸ ekszym
Określimy wielkość:
n
Ä… := lim sup |an|
n"
n
Dla ciagu liczbowego {rn} poprzez lim sup |rn| rozumiemy
¸
n"
sup{x : że istnieje podciag {rn } zbieżny do x}.
¸
k
Jeżeli zbiór sup{x : że istnieje podciag {rn } zbieżny do x} jest nieograniczony od góry, to jako jego
¸
k
kres górny bierzemy +".
Określamy teraz:
Á = +" gdy Ä… = 0
1
Á = gdy 0 < Ä… < "
Ä…
Á = 0 gdy Ä… = +"
Stosujac kryterium Cauchy ego zbieżności szeregów liczbowych oraz kryterium porównawcze
¸
zbieżności szeregów funkcyjnych uzyskujemy:
4
Twierdzenie 14 (o zbieżnoÅ›ci szeregów pot¸
egowych) Jeżeli Á = 0, to D = {0}. Jeżeli Á > 0,
to szereg pot¸ jest jednostajnie zbieżny na każdym odcinku [-a,a], 0 < a < Á. Prócz tego jest
egowy
zbieżny bezwzgl¸ w każdym punkcie x, że |x| < Á. Jeżeli |x| > Á, to szereg jest rozbieżny w punkcie
ednie
x.
Wielkość Á wyżej okreÅ›lon¸ nazywamy promieniem zbieżnoÅ›ci szeregu pot¸
a egowego.
"
"
n
Szereg zlożony z pochodnych poszczególnych wyrazów ma postać kakxk-1. Ponieważ lim n = 1,
n"
k=1
n
wi¸ wnioskujemy, że lim sup n|an| = Ä…. Zatem szereg pochodnych ma ten sam promieÅ„ zbieżnoÅ›ci
ec
n"
co i szereg pierwotny.
Wobec twierdzenia(13) sformulujemy wniosek:
"
Wniosek 3 Jeżeli Á > 0, to odnoÅ›nie zbieżnoÅ›ci szeregu kakxk-1 stosuje si¸ te same tezy co dla
e
k=1
"
szeregu akxk, a prócz tego:
k=0
" "
d
akxk = kakxk-1 |x| < Á
dxk=0
k=1
"
Lemat 3 Zakladamy dodatniość promieni zbieżnoÅ›ci Áa i Áb szeregów pot¸
egowych akxk
k=0
"
oraz bkxk. Wtedy na każdym odcinku [-a, a], 0 < a < Á = min{Áa, Áb} zachodzi równość:
k=0
" " " n
akxk bkxk = ( akbn-k)xn .
k=0 k=0 n=0 k=0
PromieÅ„ zbieżnoÅ›ci szeregu stoj¸ po prawej stronie jest równy Á.
acego
2.1.1 Szereg pot¸ o Å›rodku w punkcie x0.
egowy
"
Postać szeregu ak(x - x0)k. W oparciu o wspólczynniki {an} za pomoc¸ znanej formuly okreÅ›lamy
a
k=0
promieÅ„ zbieżnoÅ›ci Á tego szeregu. Jeżeli Á > 0 to szereg ten b¸ jednostajnie zbieżny na każdym
edzie
odcinku [x0 - a, x0 + a], 0 < a < Á.
2.1.2 Funkcje klasy C", rozwini¸ Taylora, przedstawienia w postaci rozwini¸Ä‡ w
ecia e
szeregi pot¸
egowe
Mówimy, że f " C"(a, b) jeżeli funkcja f posiada na odcinku (a, b) pochodne dowolnego rz¸ ciagle.
edu, ¸
Funkcja f klasy C"(a, b) posiada rozwini¸ Taylora dowolnego rz¸ o Å›rodku w dowolnym punkcie
ecie edu
n
f(k)(x0)
x0 " (a, b). Przypomnijmy, że rozwini¸ rz¸ n ma postać f(y) = (y - x0)k + Rn+1(y) ,
ecie edu
k!
k=0
y " (a, b) .
Twierdzenie 15 a) Jeżeli ci¸ reszt {Rn(y)} jest zbieżny do 0, y " (a, b), to wartość f(y) jest równa
ag
"
f(k)(x0)
sumie szeregu (y - x0)k .
k!
k=0
5
b) Jeżeli ci¸ reszt {Rn} jest na odcinku [c, d] ‚" (a, b) jednostajnie zbieżny do 0 to na tym odcinku
ag
"
f(k)(x0)
szereg pot¸ (y - x0)k jest zbieżny jednostajnie i jego suma jest równa funkcji f.
egowy
k!
k=0
"
f(k)(x0)
c) Jeżeli promieÅ„ zbieżnoÅ›ci Á szeregu pot¸ (y - x0)k o Å›rodku w punkcie x0 " (a, b)
egowego
k!
k=0
jest dodatni to na każdym odcinku [x0 - d, x0 + d], 0 < d < min{Á, x0 - a, b - x0} funkcja f jest
równa sumie tego szeregu.
6