Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadania z szeregów funkcyjnych (potęgowych):
n 1
Zadanie 1. x2n+1
(-1
)
"
2n +1
n=0
Zadanie 2. n -1 xn-2
( )
"n
n=2
n +1 n + 2
Zadanie 3.
"( )( )
3n
n=0
Zadanie 4. 2n +1 x2n
( )
"
n=1
1
Zadanie 5.
"(n +1)2n
n=0
n n +1
( )
Zadanie 6.
"
4n
n=1
n
Zadanie 7. x2 -1
( )
"
n=1
nx
Zadanie 8.
"(3)
n=1
1
nn
Zadanie 9.
(-1 x - 2
) ( )
"
n
n=1
1
n
Zadanie 10. tg
"x 2n
n=1
n 1
Zadanie 11. x -1 sin
( )
"
n
n=1
n
Zadanie 12.
(-1
)xn
"
n �"3n
n=1
xn
Zadanie 13. ln n
"
n!
n=1
3n+1
Zadanie 14. x2n
"
4n �" n
n=1
n
32n 4x +1
( )
Zadanie 15.
"
n2
n=1
n
1 3x +1
�# ś#
Zadanie 16.
" ś# ź#
n 2
�# #
n=1
n
4x +1
Zadanie 17.
"( 2n +1)
n=1
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 1.
n 1
Obliczyć promień zbieżności oraz sumę szeregu x2n+1
(-1
)
"
2n +1
n=0
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
an+1 2n +1
 = lim = lim = lim 1 = 1
n"
an n" 2n + 3n"
1 1
R = = = 1
 1
'
n
""
Ą#ń#
(-1
)
n
(-1 x2n = x2n+1 - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów
) ó#Ą#
""
n=0
ó#Ś#
Ł#n=0 2n +1 Ą#
potęgowych
"
n
(-1 x2n =1- x2 + x4 - x6 +... , jest to szereg geometryczny, w którym
)
"
n=0
a1 =1, q = -x2
a1
S = , q < 1
1- q
q =-x2 �!-x2 < 1, x " - przedział zbieżności
(-1,1
)
a1 11
S = = �!
+"1+ x2 dx = arctg x - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu
1- q 1+ x2
szeregów potęgowych
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu wynosi R=1, a suma szeregu
wynosi S=arctg x
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 2.
Obliczyć promień zbieżności oraz sumę szeregu n -1 xn-2
( )
"n
n=2
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
n +1 n
an+1 ( )
 = lim = lim = lim 1 = 1
n" n"
an n" n -1 n
( )
1 1
R = = = 1
 1
"
"
ń#
xn - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów
( )
"n n -1 xn-2 = Ą#"
ó# Ą#
n=2 Ł#n=0 Ś#
potęgowych
"
n
"x =1+ x + x2 + x3 + ... = S - suma szeregu potęgowego, w którym a1 = 1, q = x
n=0
a1 1
S = = , q < 1
1- q 1- x
q = x �! x < 1, x " - przedział zbieżności
(-1,1
)
"
"
"
ń# 12
Ą# ń#
xn =
( )
"n n -1 xn-2 = Ą#"= - z twierdzenia o różniczkowaniu i
ó# Ą# 3
ó#1- x Ą#
Ł# Ś# 1- x
n=2 Ł#n=0 Ś# ( )
całkowaniu szeregów potęgowych
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu wynosi R=1, a suma szeregu
2
wynosi S =
3
1- x
( )
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 3.
n +1 n + 2
( )( )
Obliczyć promień zbieżności oraz sumę szeregu
"
3n
n=0
Rozwiązanie:
n-2 n-2
n +1 n + 2 n -1 n
n-2
n
( -1 n �"�# ś# = n -1 n�"�# ś# = n -1 n�" x ,
)11 ( ) ( )
( )
"( )( ) = "( 3n-2) = """
ś# ź# ś# ź#
3n n=2 n=2 n=2
3 3
�# # �# #
n=0 n=2
1
gdzie x =
3
Obliczanie promienia zbieżności:
n +1 n
an+1 ( )
 = lim = lim = lim 1 = 1
n" n"
an n" n -1 n
( )
1 1
R = = = 1
 1
"
"
ń#
xn - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów
"n(n -1) xn-2 = Ą#"
ó# Ą#
n=2 Ł#n=0 Ś#
potęgowych
"
n
"x =1+ x + x2 + x3 + ... = S - suma szeregu potęgowego, w którym a1 = 1, q = x
n=0
a1 1
S = = ,
1- q 1- x
q = x �! x < 1, x " - przedział zbieżności
(-1,1
)
"
"
"
ń# 12
Ą# ń#
xn =
( )
"n n -1 xn-2 = Ą#"= - z twierdzenia o różniczkowaniu i
ó# Ą# 3
ó#1- x Ą#
Ł# Ś# 1- x
n=2 Ł#n=0 Ś# ( )
całkowaniu
1
szeregów potęgowych, gdzie x =
3
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
"
Ą# ń#
"
n-2
n
"
Ą# ń# ó# Ą#
1 2 27
== ==
"n(n -1)�# 1 ś# ó#"1 Ą# ó# Ą#
ś# ź#
3
1
3
�# #
n=2
�#1- 1
ś#4
Ł#n=0 3 Ś#
ó# Ą#
1-
ś# ź#
Ł# 3 Ś#
3
�# #
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu wynosi R=1, a suma szeregu
27
wynosi S =
4
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 4.
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu lub różniczkowaniu znalez
ć sumę i promień
zbieżności szeregu 2n +1 x2n
( )
"
n=1
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
an+1 2n + 3
 = lim = lim = lim 1 = 1
n"
an n" 2n +1n"
1 1
R = = = 1
 1
'
"
ń#
x2n+1Ą# - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów
"(2n +1) x2n = Ą#"
ó#
n=1 Ł# n=1 Ś#
potęgowych
"
2n+1
"x = x3 + x5 + x7 + ..., jest to szereg geometryczny, w którym a1 = x3, q = x2
n=1
a1
S = , q < 1
1- q
q = x2 �! x2 <1, x " - przedział zbieżności
(-1,1
)
'
Ą# ń# - x4
a1 x3 x3 3x2
S = = �! = - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu
1- q 1- x2 ó#1- x2 Ą# 1- x2 2
Ł# Ś#
( )
szeregów potęgowych
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu wynosi R=1, a suma szeregu
3x2 - x4
wynosi S =
2
1- x2
( )
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 5.
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu lub różniczkowaniu znalez
ć sumę szeregu
1
"
n +1 2n
( )
n=0
Rozwiązanie:
n+1
11
=
"(n +1)2n = 2�""(n +1)2n+1 = 2�""(n1 ) �# 1 ś# 2�""(n1 ) �" xn+1 , gdzie x = 1
ś# ź#
+1 2 +1 2
�# #
n=0 n=0n=0 n=0
n
"(n1 ) �" xn+1 = �#"x ś# dx - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów
ś# ź#
+"�# #
+1
n=0 n=0
potęgowych
"
n
"x =1+ x + x2 + x3 + ... = S - suma szeregu geometrycznego, w którym a1 =1, q = x
n=0
a1 1
S = = , q < 1
1- q 1- x
q = x �! x < 1, x " - przedział zbieżności
(-1,1
)
�# ś# 1
n
"x
ś# ź#
+"�# # dx = +"1- x dx = -ln 1- x - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu
n=0
szeregów
potęgowych
1 1
= 2�" 1- x , gdzie x =
(-ln
)
"
n +1 2n 2
( )
n=0
1 �# 1
= -2ln = 2ln 2
"(n +1)2n = 2�"ś# - ln 1- 1 ś#
2ź# 2
n=0 �# #
Odpowiedz
: Suma szeregu wynosi S = 2ln 2
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 6.
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu lub różniczkowaniu znalez
ć sumę szeregu
n n +1
( )
"
4n
n=1
Rozwiązanie:
nn-1
n n +1
( ) 1 1 1 1 1
= n +1 �"�# ś# = �" n +1 �"�# ś# = �" n +1 �" xn-1 , gdzie x =
( ) ( ) ( )
""n �# # "n �# # "n
ś# ź# ś# ź#
4n n=0 n=1 4 4 4
4 4
n=0 n=1
"
ń#
xn+1Ą# - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów
"n(n +1)�" xn-1 = Ą#"
ó#
n=1 Ł#n=0 Ś#
potęgowych
"
n+1
"x = x + x2 + x3 + ... = S - suma szeregu geometrycznego, w którym a1 = x, q = x
n=0
a1 x
S = = , q < 1
1- q 1- x
q = x �! x < 1, x " - przedział zbieżności
(-1,1
)
"
"
Ą# ń# x 2
Ą# ń#
xn+1Ą# == - z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów
"
ó# 3
ó#1- x Ą#
Ł# Ś# 1- x
Ł#n=0 Ś# ( )
1
potęgowych, gdzie x =
4
2 2 2 128
== =
33 3
27
1- x
( ) �#1- 1 3
ś# �# ś#
ś# ź# ś# ź#
4 4
�# # �# #
n n +1
( ) 1 128 32
= �" =
"
4n 4 27 27
n=1
32
Odpowiedz
: Suma szeregu wynosi S =
27
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 7.
n
Wyznaczyć sumę szeregu funkcyjnego x2 -1
( )
"
n=1
Rozwiązanie:
n 23
x2 -1 = x2 -1 + x2 -1 + x2 -1 + ... = S , jest to suma szeregu
( ) ( ) ( ) ( )
"
n=1
geometrycznego,
w którym a1 = x2 -1, q = x2 -1
a1
S = , q < 1
1- q
q = x2 -1�! x2 -1 < 1
-1< x2 -1<1
0 < x2 < 2 �! 0 < x < 2 lub - 2 < x < 0
a1 x2 -1 x2 -1 x2 -1
S = = = =
1- q 1- x2 +1 2 - x2
1- x2 -1
( )
x2 -1
Odpowiedz
: Suma szeregu funkcyjnego wynosi S = , gdzie
2 - x2
0 < x < 2 lub - 2 < x < 0
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 8.
nx
Wyznaczyć sumę szeregu funkcyjnego
"(3)
n=1
Rozwiązanie:
nx
"(3) = 3x + 32x + 33x + ... = S , jest to suma szeregu geometrycznego, w którym
n=1
a1 = 3x, q = 3x
a1
S = , q < 1
1- q
q = 3x �! 3x <1
3x < 1 �! x < 0
a1 3x
S = =
1- q 1- 3x
3x
Odpowiedz
: Suma szeregu funkcyjnego wynosi S = , gdzie x < 0
1- 3x
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 9.
Wyznaczyć zbiór wszystkich liczb x " R , dla których szereg potęgowy
1
nn
(-1 x - 2 jest:
) ( )
"
n
n=1
1) zbieżny
2) zbieżny bezwzględnie
3) rozbieżny
oraz obliczyć promień zbieżności.
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
1
n
n
n
 = lim
(-1 = lim n2 = 1
)1
n" n"
n
1 1
R = = = 1
 1
x - 2 = 0 �! x = 2 �! 1,3 - przedział zbieżności
( )
dla punktów x = 1 i x = 3 badamy zbieżność i rodzaj zbieżności szeregu:
Punkt x = 1:
11
nn n 2n 1 1 1 1
(-1 x - 2 = , gdzie
) ( ) (-1n
) (-1 =
) (-1 = = :
)
"" " " " "
1
ną
nn n n
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
n2
1 nn
1
ą = <1 - na podstawie kryterium porównawczego szereg
(-1 x - 2 jest
) ( )
"
2
n
n=1
rozbieżny w punkcie x = 1
Punkt x = 3:
11
nn n n n 1
(-1 x - 2 =
) ( ) (-1 1 =
) ( ) (-1
)
"" "
nn n
n=1 n=1 n=1
Badamy zbieżność szeregu za pomocą kryterium Leibniz a :
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
�#
1
o
1. Cn = > 0, n > 0 �#
n
�#
�#
1
�# założenia kryterium Leibniz a są
2o. lim Cn = lim = 0
Ź#
n" n"
n
�#
�#
Cn+1 nn
3o. d"1 �! = < 1 �#
Cn n +1
n +1 �#
�#
spełnione,
więc szereg na podstawie kryterium Leibniz a jest zbieżny.
Sprawdzamy czy szereg w punkcie x = 3 jest zbieżny względnie czy bezwzględnie:
1
nn
W tym celu badamy zbieżność szeregu: an =
(-1 x - 2 w punkcie x = 3
) ( )
" "
n
n=1 n=1
11 1 1
nnn nn 1
(-1 x - 2 = , gdzieą = <1
) ( ) (-1 1 =
) ( ) (-1 = :
)1
"" " " "
ną 2
nn n
n
n=1 n=1 n=1 n=1
n=1
1
nn
Na podstawie kryterium porównawczego szereg
(-1 x - 2 jest rozbieżny
) ( )
"
n
n=1
w punkcie x = 3
W punkcie x = 3:
1
nn
�#
(-1 x - 2 szereg zbieżny
) ( )
"
�#
n
n=1 �#
�! Szereg jest zbieżny warunkowo w punkcie
Ź#
1
nn
(-1 x - 2 szereg rozbieżny�#
) ( )
"
�#
n
n=1
�#
x = 3
Odpowiedz
: Szereg jest:
1) zbieżny w przedziale : 1,3
( ]
2) zbieżny bezwzględnie w przedziale: 1,3
( )
3) rozbieżny w przedziałach
(-",1 *" 3, +"
) ( )
oraz promień zbieżności szeregu wynosi R=1
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 10.
1
n
Obliczyć promień zbieżności i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu tg
"x 2n
n=1
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
1
n
 = lim tg - do obliczenia tej granicy dobieramy 2 ciągi, których granicę łatwiej
n"
2n
jest
policzyć i które ograniczają nasze wyrażenie z góry i dołu.
1 1
n
n
- ciąg o wyrazach mniejszych od tg (ograniczający z dołu)
2n 2n
1
n
n
1 - ciąg o wyrazach większych od tg (ograniczający z góry)
2n
11
n
n
n
< tg < 1
2n 2n
1
'"tg > 0
n>0
2n
11 1
n
n n
n
< tg < 1 - na podstawie twierdzenia o 3 ciągach  = lim tg = 1
n"
2n 2n 2n
�!
�!
1
1
1 1
R = = = 1
 1
x = 0 �!
(-1,1 - przedział zbieżności
)
dla punktów x =-1 i x = 1 badamy zbieżność i rodzaj zbieżności szeregu:
Punkt x =-1:
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
n 1
Badamy zbieżność szeregu
(-1 tg za pomocą kryterium Leibniz a :
)
"
2n
n=1
�#
�#
�#
1
o
1. Cn = tg > 0, n > 0 �#
2n
�#
�#
1
2o. lim Cn = lim tg = 0 założenia kryterium Leibniz a są spełnione,
Ź#
n" n"
2n
�#
1 �#
tg
�#
Cn+1
2n +1
3o. d"1 �! <1
�#
1
Cn
�#
tg
2n �#
1
n
więc szereg tg na podstawie kryterium Leibniz a jest zbieżny w punkcie
"x 2n
n=1
x = -1.
Punkt x = 1:
n 11 1
1 tg = , gdzie ą = 1 - na podstawie kryterium porównawczego
( )
""tg 2n : "
2n ną
n=1 n=1 n=1
1
n
szereg tg jest rozbieżny w punkcie x = 1
"x 2n
n=1
1
n
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu tg wynosi R=1, a
"x 2n
n=1
przedział zbieżności
)
[-1,1
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 11.
Obliczyć promień zbieżności i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
n 1
x
( -1 sin
)
"
n
n=1
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
1
n
 = lim sin - do obliczenia tej granicy dobieramy 2 ciągi, których granicę łatwiej
n"
n
jest
policzyć i które ograniczają nasze wyrażenie z góry i dołu.
1 1
n
- ciąg o wyrazach mniejszych od sin (ograniczający z dołu)
2 n n
sin x d" x
n"
1
sin 0+ - możemy, więc usunąć moduł, gdyż wyrażenie te będzie zawsze
n
nieujemne.
11 1
< sin d"
2 nn n
n
�#
11 1
n
== = 1�#
n
1
2 n
2 n
�# 1
n
na podstawie twierdzenia o 3 ciągach  = lim sin = 1
Ź#
n n"
n
1 1 1
�#
n
= = =1
�#
n
1
n
n
�#
1 1
R = = = 1
 1
x -1 = 0 �! x = 1 �! 0, 2 - przedział zbieżności
( )
dla punktów x = 0 i x = 2 badamy zbieżność i rodzaj zbieżności szeregu:
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Punkt x = 0 :
n 1
Badamy zbieżność szeregu x -1 sin za pomocą kryterium Leibniz a :
( )
"
n
n=1
�#
�#
�#
1
o
�#
1. Cn = sin > 0, n > 0
�#
n
�#
1
�#
2o. lim Cn = lim sin = 0 założenia kryterium Leibniz a są spełnione,
Ź#
n" n"
n
�#
�#
1
sin
�#
Cn+1
n +1
�#
3o. d" 1 �! < 1
1
Cn �#
sin
�#
n
�#
więc szereg na podstawie kryterium Leibniz a jest zbieżny.
Punkt x = 2 :
11 1
nn 1 1
x
( -1 sin = 1 sin = : , gdzie ą = <1 �!
) ( )
"" "sin 1n : " "1 "
ną 2 ną
nn 2 n
n=1 n=1 n=1
n=1 n=1 n=1
11
jest szeregiem rozbieżnym i < sin tak, więc na podstawie kryterium
2 nn
porównawczego
n 1
szereg x -1 sin jest rozbieżny w punkcie x = 1
( )
"
n
n=1
n 1
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu x -1 sin wynosi R=1, a
( )
"
n
n=1
przedział zbieżności 0, 2
[ )
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 12.
n
Obliczyć promień zbieżności i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
"(-1) nxn
�"3n
n=1
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
n
(-1
) 1
 = lim n =
n"
n �"3n 3
1 1
R = = = 3
1

3
x = 0 �!
(-3,3 - przedział zbieżności
)
dla punktów x =-3 i x = 3 badamy zbieżność i rodzaj zbieżności szeregu:
Punkt x =-3:
nn
nn n 2n 1
= , gdzie ą = 1 - na
"(-1) nxn "(-1) (-3) = "(-1) (-1) = "(-1) 1 : "
�"3n n=1 n �"3n n=1 n n ną
n=1 n=1 n=1
n
podstawie kryterium porównawczego szereg jest rozbieżny w punkcie
"(-1) nxn
�"3n
n=1
x =-3
Punkt x = 3:
n
Badamy zbieżność szeregu za pomocą kryterium Leibniz a :
(-1
)xn
"
n �"3n
n=1
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
�#
�#
�#
1
o
1. Cn = > 0, n > 0 �#
n
�#
�#
1
2o. limCn = lim = 0 założenia kryterium Leibniz a są spełnione,
Ź#
n" n"
n
�#
1 �#
�#
Cn+1
n +1
3o. d"1 �! <1
�#
1
Cn
�#
n �#
n
więc szereg na podstawie kryterium Leibniz a jest zbieżny w punkcie
(-1
)xn
"
n �"3n
n=1
x = 3.
n
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu
"(-1) nxn wynosi R=3, a
�"3n
n=1
przedział zbieżności
(-3,3
]
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 13.
xn
Obliczyć promień zbieżności i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu ln n
"
n!
n=1
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
ln n +1 �"n!
an+1 ( ) 1
 = lim = lim = lim = 0
n" n"
an n" ln n�" n +1 ! n +1
( )
1 1
R = = = " �! Szereg bezwzględnie zbieżny w przedziale +"
(-",
)
 0
xn
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu ln n wynosi R =", a
"
n!
n=1
przedział zbieżności +"
(-",
)
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 14.
3n+1
Obliczyć promień zbieżności i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu x2n
"
4n �" n
n=1
Rozwiązanie:
3n+1 3n+1
x2n : xn , gdzie an =
""a
n
4n �" n 4n �" n
n=1
Obliczanie promienia zbieżności:
11
1
3n+1 �# 3n+1 ś#2 �# 3�"3n ś#2 3 3
�# ś#2
n n nn
 = lim an = lim = lim ś#ź# ś#ź# = =
= lim
ś# ź#
n" n" n" ś#ź# ś#ź#
n"
4n �"n 4n �"n 4n �" n 4 2
�# #
�# # �# #
1 1 2 �# 2 2 ś#
R = = = �! Szereg zbieżny w przedziale - ,
ś#ź#

3 3 3 3
�# #
2
3n+1
Badamy zbieżność szeregu x2n
"
4n �" n
n=1
2
w punkcie x =- :
3
3n+1 n 3n �"3�"4n 3 1 1
3n+1 4
�# ś#
x2n = = = 3 : , gdzie ą = 1 - szereg
""=" " "
ś# ź# "
4n �"n 4n �" n 3 4n �" n �"3n n=1 n n ną
�# #
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
2
rozbieżny w punkcie x =- na mocy kryterium porównawczego.
3
2
w punkcie x = :
3
3n+1 n 3n �"3�"4n 3 1 1
3n+1 4
�# ś#
x2n = = = 3 : , gdzie ą = 1 - szereg
""=" " "
ś# ź# "
4n �"n 4n �" n 3 4n �" n �"3n n=1 n n ną
�# #
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
2
rozbieżny w punkcie x = na mocy kryterium porównawczego.
3
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
3n+1 2
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu x2n wynosi R = , a
"
4n �" n
3
n=1
�# 2 2 ś#
przedział zbieżności - ,
ś#ź#
3 3
�# #
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 15.
Obliczyć promień zbieżności i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
n
32n 4x +1
( )
"
n2
n=1
Rozwiązanie:
Obliczanie promienia zbieżności:
32n
n
 = lim = 9
n"
n2
1 1
R = =
 9
11 1108 52
4x +1 < �! - < 4x +1< �! - < 4x < - �! - < x < -
99 9 9 918 9
5 2
dla punktów x =- i x =- badamy zbieżność i rodzaj zbieżności szeregu:
18 9
5
Punkt x =- :
18
n
32n 4x +1
( )
Badamy zbieżność szeregu za pomocą kryterium Leibniz a :
"
n2
n=1
n
nn
�# 5 ś#
ś#
ś# ś#
32n ś# 4�# - +1ź# 11
n 32n �# - 32n �# - n
ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
32n 4x +1
( ) 18
�# # 932 = -1
�# # �# # �# #
== =
"" " ""( )
n2 n2 n2 n=1 n2 n2
n=1 n=1 n=1 n=1
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
�#
�#
�#
1
o �#
1. Cn = > 0, n > 0
�#
n2
�#
1
�#
2o. lim Cn = lim = 0 założenia kryterium Leibniz a są spełnione,
Ź#
n" n"
n2
�#
1 �#
2
�#
n +1
Cn+1 ( )
�#
3o. d" 1 �! < 1
1 �#
Cn
�#
n2 �#
n
więc szereg na podstawie kryterium Leibniz a jest zbieżny w punkcie
"(-1) nxn
�"3n
n=1
x = 3.
2
Punkt x =- :
9
n
nn
�# 2 ś#
ś#
32n ś# 4�# - +1ź# 11
n 32n �# ś# 32n �# ś# n
ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
32n 4x +1
( ) 9 1 1
�# # 932 = 1 = :
�# # �# #
==�# #
=
"" " " "( ) " "
n2 n2 n2 n=1 n2 n=1 n2 n=1 n2 n=1 ną
n=1 n=1 n=1
2
gdzie ą = 2 > 1 - szereg zbieżny w punkcie x = -
9
n
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu
"(-1) nxn wynosi R = 1 , a
�"3n 9
n=1
5 2
Ą# ń#
przedział zbieżności , -
ó#-18 9 Ą#
Ł# Ś#
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 16.
n
1 3x +1
�# ś#
Obliczyć promień zbieżności i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
" ś# ź#
n 2
�# #
n=1
Rozwiązanie:
nn n n
1 3x +1 1 1 n 1 3 1
�# ś# �# ś#3x +1 = �# ś# �# ś#
x + ,
( )
"" " ś# ź# ś# ź# "a xn , gdzie an = 1 �" 3n
ś# ź#= ś# ź# n
n 2 n 2 n 2 3 n 2n
�# # �# # �# # �# #
n=1 n=1 n=1 n=1
Obliczanie promienia zbieżności:
1 3n 3
n
n
 = lim an = lim �" =
n" n"
n 2n 2
1 2
R = =
 3
1 2 2 1 2 1
x + < �! - < x + < �! -1< x <
3 3 3 3 3 3
1
dla punktów x =-1 i x = badamy zbieżność i rodzaj zbieżności szeregu:
3
Punkt x =-1:
1 3x +1n
�# ś#
Badamy zbieżność szeregu za pomocą kryterium Leibniz a :
" ś# ź#
n 2
�# #
n=1
1 3x +1nn 1
1 3 2 n
�# ś# �# ś# �# ś#
=- =
(-1
)
"" "
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
n 2 n 2 3 n
�# # �# # �# #
n=1 n=1 n=1
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
�#
�#
�#
1
o
�#
1. Cn = > 0, n > 0
�#
n
�#
1
�#
2o. lim Cn = lim = 0 założenia kryterium Leibniz a są spełnione,
Ź#
n" n"
n
�#
1 �#
�#
n +1
Cn+1 ( )
�#
3o. d"1 �! < 1
1
Cn �#
�#
n �#
n
1 3x +1
�# ś#
więc szereg na podstawie kryterium Leibniz a jest zbieżny w punkcie
" ś# ź#
n 2
�# #
n=1
x = -1.
1
Punkt x = :
3
nn n
1 3x +1 1 3 2 1 1
�# ś# �# ś# �# ś#
, gdzie ą = 1 - szereg rozbieżny w
""= :
ś# ź#= ś# ź# ś# ź# " "
n 2 n 2 3 n ną
�# # �# # �# #
n=1 n=1n=1 n=1
punkcie
1
x =
3
n
1 3x +1 2
�# ś#
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu wynosi R = , a
" ś# ź#
n 2 3
�# #
n=1
1
Ą# ś#
przedział zbieżności
ó#-1, 3 ź#
Ł# #
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
Zadanie 17.
n
4x +1
Obliczyć promień zbieżności i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
"( 2n +1)
n=1
Rozwiązanie:
n
1
ś#
n 4n �# x +
ś# ź#
4x +1
4n
4
�# #
,
"( 2n +1) = " "a xn , gdzie an = 2n +1
n
2n +1
n=1 n=1 n=1
Obliczanie promienia zbieżności:
4n
n
n
 = lim an = lim = 4
n" n"
2n +1
1 1
R = =
 4
1 1 1 1 1 1
x + < �! - < x + < �! - < x < 0
4 4 4 4 4 2
1
dla punktów x =- i x = 0 badamy zbieżność i rodzaj zbieżności szeregu:
2
1
Punkt x =- :
2
n
4x +1
( )
Badamy zbieżność szeregu za pomocą kryterium Leibniz a :
"
2n +1
n=1
nn
4x +1 -2 +1
n
"( 2n +1) = "( 2n +1) = "(-1) 2n1+1 , Cn = 2n1+1
n=1 n=1 n=1
�#
�#
�#
1
o
1. Cn = > 0, n > 0 �#
2n +1
�#
�#
1
2o. lim Cn = lim = 0 założenia kryterium Leibniz a są spełnione,
Ź#
n" n"
2n +1
�#
1 �#
�#
Cn+1
2n + 3
3o. d" 1 �! <1
�#
1
Cn
�#
2n +1 �#
� OKnO WIL PG. All rights reserved.
Matematyka
Szeregi funkcyjne WIL sem. 3
n
4x +1
więc szereg
"( 2n +1) na podstawie kryterium Leibniz a jest zbieżny w punkcie
n=1
1
x = - .
2
Punkt x = 0 :
nn
4x +1 1
( ) 1 1 1
=, an = , bn = - rozbieżny
"( 2n +1) = " "
2n +1 2n +1 2n +1 n
n=1 n=1 n=1
an 1 nn 1
lim = lim �" = lim = = k - na mocy kryterium ilorazowego szereg jest
n" n" n"
bn 2n +1 1 2n +1 2
rozbieżny w punkcie x = 0
n
4x +1
Odpowiedz
: Promień zbieżności szeregu
"( 2n +1) wynosi R = 1 , a
4
n=1
1
Ą#
przedział zbieżności ,0ś#
ó#- 2 ź#
Ł# #
� OKnO WIL PG. All rights reserved.