Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 11
Szeregi liczbowe
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 11.1:
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów
"

1
(a)
3n + 1
n=1
1 1
" an = , n0 = 1, więc f(x) = , x 1
3n + 1 3x + 1
3

" f(x) 0 i nierosnÄ…ca (f (x) = - 0) dla x 1
(3x + 1)2
" "

dx f(x) 1
" f(x)dx = rozbieżna do " z kryterium ilorazowego, bo lim = = k > 0
1
x"
3x + 1 3
x
1 1
"

dx
i jest rozbieżna do " (p = 1)
x
1
" Z kryterium całkowego badany szereg jest rozbieżny do "
"

n
(b)
2
en
n=1
n
2
" an = , n0 = 1, więc f(x) = xe-x , x 1
2
en
2
" f(x) 0 i nierosnÄ…ca (f (x) = -(2x2 - 1)e-x 0) dla x 1

" "
2
T
2 2 e-T e-1 e-1
" f(x)dx = xe-x dx = lim xe-x dx = lim - + = - całka zbieżna
T " T "
2 2 2
1 1 1
" Z kryterium całkowego badany szereg jest zbieżny
Przykłady do zadania 11.2:
Korzystając z kryterium porównawczego lub ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów
"

n + 1
(a)
n2 - n
n=2
n + 1
" an = , n0 = 2
n2 - n
1
" hipoteza: szereg rozbieżny do ", bo an jest bliskie
n
1 n n + 1
" 0 bn = = = an dla n 2
n n2 n2 - n
" "

1
" szereg bn = jest rozbieżny do " (p = 1)
n
n=2 n=2
" Wniosek: Z kryterium porównawczego badany szereg jest także rozbieżny do ".
2
"

3n - 2n
(b)
4n - 3n
n=1
3n - 2n
" an = , n0 = 1
4n - 3n
" an 0 dla n 1
n
1-(2/3)n
3
an
4 1-(3/4)n
n
" lim = lim = 1 = k > 0
n" n" 3
bn
4

" "

3 n
3
" szereg bn = jest zbieżny (szereg geometryczny z ilorazem x = , |x| < 1)
4
4
n=1 n=1
" Wniosek: Z kryterium ilorazowego badany szereg jest także zbieżny.
Przykłady do zadania 11.3:
Korzystając z kryterium d Alemberta lub Cauchy ego zbadać zbieżność podanych szeregów
"

2n
(a)
n2
n=1
2n
" an = , n0 = 1
n2

2n+1

an+1 (n+1)2 2 · 2n · n2 2 2

" = = = = 2 = q
2 -

2n
1
an 2n(n + 1)2 1 + (1 + 0)2

n2
n
" q = 2 > 1, zatem z kryterium d Alemberta badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ", bo an > 0)
"

(n!)3
(b)
(2n)!
n=1
(n!)3
" an = , n0 = 1
(2n)!
2

((n+1)!)3
1

an+1 (2(n+1))! (n!(n + 1))3 · (2n)! (n + 1)2 n 1 + n

-
" = = = =

(n!)3
1
an (2n)!(2n + 1)(2n + 2)(n!)3 2(2n + 1)

2 2 +
(2n)! n
" · (1 + 0)2
- = " = q
2(2 + 0)
" q = " > 1, zatem z kryterium d Alemberta badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ", bo an > 0)
"

ln n
(c)
Ä„n
n=2
ln n
" an = , n0 = 2
Ä„n



ln(n + 1) ëÅ‚ öÅ‚

1 1 1
ln 1 +

an+1 Ä„n+1 ln n 1 + n ln n + ln 1 + n 1
n
íÅ‚ Å‚Å‚
" = = = = 1 + -

an ln n Ä„ ln n Ä„ ln n Ä„ ln n


Ä„n

1 0 1
- 1 + = = q
Ä„ " Ä„
1
" q = < 1, zatem z kryterium d Alemberta badany szereg jest zbieżny
Ä„
3

"

3 n
(d) n
5
n=1

3 n
" an = n , n0 = 1
5


"
3 n 3 3 3
n
n n

" |an| = n = · n - · 1 = = q

5 5 5 5
3
" q = < 1, zatem z kryterium Cauchy ego badany szereg jest zbieżny
5
2

"

n + 2 n
(e)
n + 3
n=1
2

n + 2 n
" an = , n0 = 1
n + 3



2 n+3 -3


n + 2 n n + 2 n 1 1

n
n
" |an| = = = 1 - · 1 - -

n + 3 n + 3 n + 3 n + 3
1
- e-1 · 1-3 = = q
e
1
" q = < 1, zatem z kryterium Cauchy ego badany szereg jest zbieżny
e

"

1
(f) lnn 10 +
n
n=2

1
" an = lnn 10 + , n0 = 2
n




1 1
n n

" |an| = lnn 10 + = ln 10 + - ln 10 = q

n n
" q = ln 10 > 1, zatem z kryterium Cauchy ego badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ", bo an > 0)
4
Przykłady do zadania 11.4:
Korzystając z kryterium Leibniza uzasadnić zbieżność podanych szeregów
"

1
(a) (-1)n - jest to tzw. szereg anharmoniczny
n
n=1
"

1
" jest to szereg naprzemienny postaci (-1)nbn, gdzie bn = , n0 = 1
n
n=1
" bn to ciÄ…g malejÄ…cy
" lim bn = 0
n"
" Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
"

n + 2
(b) (-1)n
n2 + 3
n=1
"

n + 2
" jest to szereg naprzemienny postaci (-1)nbn, gdzie bn = , n0 = 1
n2 + 3
n=1
" bn to ciÄ…g malejÄ…cy, bo:
n + 3 n + 2 (n + 3)(n2 + 3) - (n + 2)(n2 + 2n + 4)
bn+1 - bn = - = =
(n + 1)2 + 3 n2 + 3 (n2 + 3)((n + 1)2 + 3)
(n3 + 3n2 + 3n + 9) - (n3 + 4n2 + 8n + 8) -n2 - 5n + 1
= = < 0
(n2 + 3)((n + 1)2 + 3) (n2 + 3)((n + 1)2 + 3)
(licznik jest mniejszy od -1 - 5 + 1 < 0, a mianownik zawsze dodatni)
1 2
n + 2 + 0 + 0
n n2
" lim bn = lim = lim = = 0
3
n" n" n"
n2 + 3 1 + 1 + 0
n2
" Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
"

ln n
(c) (-1)n+1
n
n=3
"

ln n
" jest to szereg naprzemienny postaci (-1)n+1bn, gdzie bn = , n0 = 3
n
n=3
" bn to ciÄ…g malejÄ…cy, bo:
ln x
bn = f(n) dla f(x) = ,
x
1 - ln x

a dla takiej funkcji f (x) = < 0 dla x > e,
x2
więc f(x) jest malejąca na półprostej [3, "), zawierające wszystkie n 3;
" lim bn = 0, bo:
n"

1
ln x " H x
lim f(x) = lim = = lim = 0
x" x" x"
x " 1
" Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
5