Metoda Ritza
w zastosowaniu do belek na sprÄ™\
ystych podporach
Przykład liczbowy
Leszek Chodor
Dla belki pokazanej na rys. 1 wyznaczyć przybli\
oną linię ugięcia metodą Lagrange a-Ritza
Ograniczyć się do II przybli\
enia.
Rys.1. RozwiÄ…zywana belka
1. Funkcjonał energii potencjalnej Lagrange a
Funkcjonał energii potencjalnej Lagrange a  dla belki pryzmatycznej na podło\
u sprÄ™\
ystym
ze stałą sprę\
ystości k(x) , obcią\
onej rozło\
onym obciÄ…\
eniem q(x) i ściskanej siłą N(x) ,
ze sprÄ™\
ystymi podporami skupionymi ze stałymi sprę\
ystości [pionowa,
M
obrotowa]=[CV ,C ](xk )]oraz z obciÄ…\
eniem skupionym [V , M ](xk ) zlokalizowanym w
punkcie o współrzędnej xk , mo\
na zapisać w postaci:
l
EJ N k
 = { [w"(x)]2 - [w'(x)]2 + [w'(x)]2 - q(x)w(x)}dx +
+"
2 2 2
0
(1)
CV
+ { [w(xk )]2 CM [w'(xk )]2 -Vk w(xk ) - Mk w'(xk )},
"
2 2
k
gdzie w(x)- funkcja ugięcia belki, EJ  sztywność giętna belki względem głównej osi zginania.
Uwaga: W przyjętym układzie współrzędnych pokazany na rys.1, oś w skierowana jest do dołu, więc kąty obrotu
i momentu zginające są dodatnie, jeśli są zgodne z ruchem wskazówek zegara (ogólnie z ruchem od osi x do w).
2. Metoda Ritza minimalizacji funkcjonału
W metodzie Ritza poszukuje się funkcji realizującej minimum funkcjonału w klasie
wielomianów:
n
w(x) = Õ0 + aiÕi (x)
"
(2)
i=1
Strona 1 z 3
Funkcje aproksymujące muszą być dopuszczalne, czyli spełniać warunki brzegowe.
Warunkiem koniecznym stacjonarności funkcjonału  jest zerowanie się jego pochodnych
funkcjonału podług stałych w funkcjach Ritza:
"  " 
= ... = = 0,
(3)
"a1 "ai
który prowadzi do układu równań , z których wyznacza się stałe funkcji aproksymujących.
3. Metodologia podejścia w zadaniu
Warunek stacjonarności (3) zastosowany do funkcji podcałkowych (1) z podstawioną
aproksymacją (2), doprowadzi do układu równań Ritza ze współczynnikami wyra\
onymi
stosownymi całkami.
W niniejszym zadaniu, w celu zwiększenia przejrzystości metody  stosuje się podejście
bezpośrednie bez przygotowania ogólnych formuł.
3.1. Przypuszczenie funkcji aproksymujÄ…cej Ritza
W danych zadania, warunki brzegowe, które powinna spełniać funkcja Ritza, to:
1) : dla x = x3(= 1,5m) w3 = 0 ,
2) innych stabilnych warunków brzegowych nie ustalimy, poniewa\
nie sÄ… znane reakcje na
podporach sprÄ™\
ystych, w tym podło\
a sprÄ™\
ystego. Dlatego w węzłach tych pozostawiamy
swobodÄ™.
Uwaga:
Jeśliby reakcje na podporach sprę\
ystych mo\
na było ustalić, to wówczas, znając stałe
sprÄ™\
ystości podpór wyznaczymy równie\
stabilne przemieszczenia i mielibyśmy dodatkowe
warunki brzegowe. Jednym zdaniem zamienilibyśmy statyczne warunki brzegowe na warunki
kinematyczne. W ten sposób, ograniczając ilość mo\
liwych funkcji rozwiÄ…zujÄ…cych ,
zwiększylibyśmy dokładność rozwiązania przybli\
onego
Przy zadanych wy\
ej warunkach brzegowych, przypuszczamy następujące funkcje Ritza:
1) Õ0 = 0,
2), Õ1(x) = (x - x3)2 ,
3)Õ2(x) = (x - x3)3,
4) pozostałe człony rozwinięcia pomija się (w myśl zlecenia zadania)
Przypuszczona funkcja ugięcia Ritza ma więc postać:
w(x) = a1(x - x3)2 + a2(x - x3)3.
3.2. Wyznaczenie funkcjonału  dla przyjętej funkcji Ritza
Pochodne funkcji ugięcia, występujące w funkcjonale , wynoszą:
w'(x) = 2a1(x - x3) + 3a2(x - x3)2, w"(x) = 2a1 + 6a2(x - x3).
Na poszczególnych odcinkach belki mamy:
1) na całej długości belki (x0=0xl=7m)
xl
2 2
EJ
1) = [w"(x)]2 dx =50 Å" (28a1 + 336a1a2 + 2037a2 ),
+"
2
x0
na dwóch pierwszych elementach (x0=0; xl=1,5m)
Strona 2 z 3
xl
2 2
N k
2) = {- [w'(x)]2 + [w'(x)]2}dx =14950Å"(4,5a1 -15,1875a1a2 +13,6688a2 ).
+"
2 2
x0
3
) na czterech środkowych elementach (x0=1,5m; xl=5,5m)
xl
3) = {- q(x)w(x)}dx = -6(21.333a1 + 64a2),
+"
x0
4) w punktach przyło\
enia sił i sprę\
ystych podpór kupionych(xC=5,5m;xV=0m i 7m,
xM=5,5m)
C
4) = [w(5,5)]2 -V (w(0) + w(7) + Mw'(5,5) =
2
= 4000(16a1 + 64a2) -10(32,5a1 +163a2) +15(7 a1 + 36.75 a2)
3.2. Wyznaczenie punktu stacjonarności funkcjonału 
" 
= -333+14950(9a1 - 15,1875a2) + 50(56a1 + 336a2) +128000(16a1 + 64a2) = 0,
"a1
" 
=-1294 (-15.1875a +64a2)
+14950 +27.3375a+50 (336a1+4074a)+512000(16a =0
1 2 2 1
"a2
Rozwiązanie tego układu równań, daje
a1 = 0,0000852087,
a2 = 0,0000183906.
Linię ugięcia aproksymowano więc funkcją:
w(x) = 0.0000852087(x -1,5)2 + 0.0000183906(x -1,5)3
3.3. Wykres linii ugięcia
Na rys.2 pokazano wykres aproksymowanej linii ugięcia oraz kątów obrotu.
0.0025
0.0025
0.002
0.002
0.0015
0.0015
0.001
0.001
0.0005
0.0005
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
Rys.2. Wykres linii ugięcia i kątów obrotu
Strona 3 z 3