Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2009/10, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 2: Prawdopodobieństwo warunkowe.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.
Wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń.
Definicja.
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem,
że zaszło zdarzenie B, gdzie A, B " F, P (B) > 0, dane jest wzorem
P (A )" B)
P (A|B) = .
P (B)
Dla B takiego, że P (B) = 0, można przyjąć P (A|B) = 0.
Przy ustalonym B, P (B) > 0, oznaczyć możemy P (A|B) = PB(A). PB to nowe prawdo-
podobieństwo na (&!, F), tzn. (&!, F, PB) jest nową przestrzenią probabilistyczną.
P (A) - prawdopodobieństwa a priori (przed faktem)
PB(A) - prawdopodobieństwa a posteriori (po fakcie).
Własności prawdopodobieństwa warunkowego:
P (A)
1. JeÅ›li A ‚" B, A, B " F, P (B) > 0, to P (A|B) = .
P (B)
2. JeÅ›li B ‚" A, A, B " F, P (B) > 0, to P (A|B) = 1. W szczególnoÅ›ci, P (B|B) = 1.
3. Jeśli A )" B = ", A, B " F, P (B) > 0, to P (A|B) = 0.
4. Jeśli A, B " F, P (B) = 1, to P (A|B) = P (A).
1
Definicja.
Rozbiciem zbioru &! nazywamy rodzinÄ™ {Bn, n " T ‚" N} zdarzeÅ„ losowych parami
rozłącznych (tzn. Bi )" Bj = " dla i = j) taką, że Bn = &!.
n"T
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:
Niech {Bn, n " T ‚" N} bÄ™dzie rozbiciem zbioru &! takim, że P (Bn) > 0 dla każdego n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A mamy
P (A) = P (A|Bn)P (Bn).
n"T
Wzór Bayesa:
Niech {Bn, n " T ‚" N} bÄ™dzie rozbiciem zbioru &! takim, że P (Bn) > 0 dla każdego n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A takiego, że P (A) > 0, i dla każdego n " T
mamy
P (A|Bn)P (Bn)
P (Bn|A) = .
P (A)
P (A) możemy wyliczyć z tw. o prawdopodobieństwem całkowitym.
Przykłady do zad. 1.4
2
Definicja.
Zdarzenia A i B z przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P ) nazywamy niezależnymi, gdy
P (A )" B) = P (A)P (B).
Własności zdarzeń niezależnych.
1. Jeśli A i B są niezależne i P (B) > 0, to P (A|B) = P (A).
2. Jeśli A )" B = ", P (A) > 0, P (B) > 0, to A i B nie są niezależne.
3. JeÅ›li A ‚" B, P (A) > 0, P (B) < 1, to A i B nie sÄ… niezależne.
4. Jeśli A i B są niezależne, to niezależne są także zbiory
" A i Bc,
" Ac i B,
" Ac i Bc.
5. Jeżeli P (A) = 1, tzn. A jest zdarzeniem prawie pewnym, to A i dowolne zda-
rzenie B są niezależne. W szczególności, &! i dowolne zdarzenie B są niezależne.
6. Jeżeli P (A) = 0, to A i dowolne zdarzenie B są niezależne. W szczególności, " i
dowolne zdarzenie B są niezależne.
Definicja.
Zdarzenia A, B i C z przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P ) nazywamy niezależnymi
(wzajemnie niezależnymi), gdy
P (A )" B )" C) = P (A)P (B)P (C),
P (A )" B) = P (A)P (B),
P (A )" C) = P (A)P (C),
P (B )" C) = P (B)P (C).
Definicja.
Zdarzenia z rodziny A = {At, t " T} z przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P ) nazywamy
niezależnymi (wzajemnie niezależnymi), gdy dla dowolnego n " N i dla dowolnych
różnych t1, t2, . . . , tn " T zachodzi
P (At )" At )" . . . )" At ) = P (At )P (At ) . . . P (At ).
1 2 n 1 2 n
A to rodzina zdarzeń niezależnych.
Uwaga.
Jeżeli dla dowolnych t1, t2 " T zachodzi P (At )" At ) = P (At )P (At ), to mówimy, że A
1 2 1 2
jest rodziną zdarzeń parami niezależnych.
Przykłady do zad. 1.5
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
R Pr MAP1151 wyklad2 prawdop warunkoweR Pr MAEW104 wyklad6 prawdop warunkoweR Pr MAP1151 wyklad8 CTG(1)R Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretneR Pr MAP1151 wyklad8 CTGR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probabR Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretneR Pr MAP1151 wyklad5 rozklady ciagleR Pr MAP1151 wyklad7 wektory losoweR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probabR Pr MAP1151 wyklad6 sredniaR Pr MAP1151 wyklad3 zmienna los dystrybuantaR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probab(1)R Pr MAP1151 wyklad6 srednia(1)R Pr MAP1151 wyklad6 sredniaR Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretne(1)R Pr MAP1151 wyklad8 CTGR Pr MAP1151 przyklady wektory losowe PWL lista5(1)więcej podobnych podstron