Temat wykładu:
Modele wzrostu populacji
w czasie ciągłym
1
1
1
1
Anna Rajfura, Matematyka
Zagadnienia
1. Interpretacja pochodnej
2. Model Malthusa
3. Model Verhulsta
2
2
2
2
Anna Rajfura, Matematyka
Wprowadzenie
Niech
y = f (t ) - wielkość populacji w chwili t
f (t )
0 T czas t
3
3
3
3
Anna Rajfura, Matematyka
Wprowadzenie cd.
f (t1)  wielkość pop. w chwili t1
f (t2)  wielkość pop. w chwili t2
f (t2)  f (t1) zmiana wielkości
populacji (przyrost, spadek)
w czasie od t1 do t2
4
4
4
4
Anna Rajfura, Matematyka
Wprowadzenie cd.
wielkość populacji y = f (t )
f (t2)
f (t1)
t1 t2
0
czas t
5
5
5
5
Anna Rajfura, Matematyka
Wprowadzenie cd.
6
6
6
6
Anna Rajfura, Matematyka
Wprowadzenie cd.
f(t2) - f(t1)
t2 - t1
szybkość zmiany
wielkości populacji
7
7
7
7
Anna Rajfura, Matematyka
Wprowadzenie cd.
f(t2) - f(t1)
Gdy t2 t1, to
jest
t2 - t1
szybkością zmiany wielkości
populacji w chwili t1
f (t2 )
f (t1 )
t1 t2
0
czas t
8
8
8
8
Anna Rajfura, Matematyka
Wprowadzenie cd.
f(tn) - f(t0)
2
lim = f (t0)
tn t0
tn - t0
f ' (t ) - szybkość zmiany wielkości
populacji w chwili t
9
9
9
9
Anna Rajfura, Matematyka
Model Malthusa
Szybkość zmiany wielkości populacji
w chwili t jest wprost proporcjonalna*
do wielkości populacji w chwili t.
* - współczynnik proporcjonalności r
10
10
10
10
Anna Rajfura, Matematyka
Model Malthusa cd.
Szybkość zmiany wielkości populacji
w chwili t jest wprost proporcjonalna
do wielkości populacji w chwili t.
2
y (t) = r Å" y(t)
y = y (t )  wielkość populacji w chwili t
11
11
11
11
Anna Rajfura, Matematyka
Model Malthusa cd.
2
y (t) = r Å" y(t), y(0) = y0
y = y (t )  wielkość populacji w chwili t
r  współczynnik wzrostu populacji, r " R
r = r b  r d , r > 0 lub r < 0
r b  współczynnik urodzeń
r d  współczynnik śmiertelności
12
12
12
12
Anna Rajfura, Matematyka
Model Malthusa cd.
Równanie o zmiennych rozdzielonych:
2
y (t) = r Å" y(t)
Warunek poczÄ…tkowy:
( )
y 0 = y0
RozwiÄ…zanie:
y(t) = y0 er t
13
13
13
13
Anna Rajfura, Matematyka
RozwiÄ…zanie dla y0=1 r = 1
4
y(t) = y0 er t
r = 1
3
y(t) = et
2
1
0
0 1 2
14
14
14
14
Anna Rajfura, Matematyka
RozwiÄ…zanie dla y0=1 r = 2
4
r = 1
y(t) = y0 er t
r = 2
3
t
y(t) = e
2
y(t) = e2t
1
0
0 1 2
15
15
15
15
Anna Rajfura, Matematyka
RozwiÄ…zanie dla y0=1 r = 0,5
4
r = 1
y(t) = y0 er t
r = 2
r = 0,5
3
t
y(t) = e
2
y(t) = e2t
1
y(t) = e0,5t
0
0 1 2
16
16
16
16
Anna Rajfura, Matematyka
Ocena modelu Malthusa
Gdy r > 0, y0 > 0, to
Gdy r > 0, y0 > 0, to
Gdy r > 0, y0 > 0, to
Gdy r > 0, y0 > 0, to
y(t) = y0 er t çÅ‚çÅ‚çÅ‚
çÅ‚ + "
t + "
17
17
17
17
Anna Rajfura, Matematyka
RozwiÄ…zanie dla y0=1 r = -1
2
r = - 1
y(t) = y0 er t
y(t) = e- t
1
0
0 1 2
18
18
18
18
Anna Rajfura, Matematyka
RozwiÄ…zanie dla y0=1 r = -2
2
r = - 1
y(t) = y0 er t
r = - 2
-t
y(t) = e
1
y(t) = e-2t
0
0 1 2
19
19
19
19
Anna Rajfura, Matematyka
RozwiÄ…zanie dla y0=1 r = -0,5
2
r = - 1
y(t) = y0 er t
r = - 0,5
r = - 2
y(t) = e-t
1
y(t) = e-2t
0
y(t) = e-0,5t
0 1 2
20
20
20
20
Anna Rajfura, Matematyka
Ocena modelu Malthusa
Gdy r < 0, y0 > 0, to
Gdy r < 0, y0 > 0, to
Gdy r < 0, y0 > 0, to
Gdy r < 0, y0 > 0, to
y(t) = y0 er t çÅ‚çÅ‚çÅ‚ 0
çÅ‚
t + "
21
21
21
21
Anna Rajfura, Matematyka
Ocena modelu Malthusa
+ " gdy r > 0
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(t) = y0 er t çÅ‚çÅ‚çÅ‚
çÅ‚
gdy r < 0
òÅ‚0
t +"
ôÅ‚
ôÅ‚y0 gdy r = 0
ół
22
22
22
22
Anna Rajfura, Matematyka
Uwagi do modelu Malthusa
2
y (t) = r Å" y(t)
g (y )
Uwaga 1
Funkcja g(y) powinna uwzględniać
konkurencjÄ™ wewnÄ…trzgatunkowÄ…
Uwaga 2
Nale\
y uwzględnić pojemność środowiska
23
23
23
23
Anna Rajfura, Matematyka
Propozycja Verhulsta
ëÅ‚1- y öÅ‚
g (y) = r Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
g (y )  współczynnik wzrostu
zale\
ny od liczebności populacji
r , k  stałe dodatnie
24
24
24
24
Anna Rajfura, Matematyka
Przebieg zmienności funkcji g(y)
ëÅ‚1- y öÅ‚
g (y) = r Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
r
g (y) = r - y
k
g(y) jest liniowÄ… funkcjÄ… zmiennej
y, zatem wykresem tej funkcji jest
prosta.
25
25
25
25
Anna Rajfura, Matematyka
Przebieg zmienności funkcji g(y)
ëÅ‚1- y öÅ‚
g (y) = r Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
DZIEDZINA: y > 0
PUNKTY WSPÓLNE Z OSIAMI:
A( 0, r ), B( k, 0 )
GRANICE: lim g (y) = r, lim g (y) = -"
y+"
y0+
g w dziedzinie
MONOTONICZ.:
26
26
26
26
Anna Rajfura, Matematyka
r
Przebieg zm. funkcji g (y) = r - y
k
współcz. wzrostu g(y)
r
k
0
wielkość populacji y
27
27
27
27
Anna Rajfura, Matematyka
Model Verhulsta
ëÅ‚1- y öÅ‚
2
y (t) = r Å" Å" y, y(0) = y0
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie logistyczne
28
28
28
28
Anna Rajfura, Matematyka
Model Verhulsta cd.
ëÅ‚1- y öÅ‚
2
y (t) = r Å" Å" y, y(0) = y0
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
RozwiÄ…zanie
r t
y0e
y(t) =
y0
r t
[ -1 +1
e ]
k
wykres  krzywa logistyczna
29
29
29
29
Anna Rajfura, Matematyka
Krzywa logistyczna
16 y0 = 15
y0 = 5
15
y0=3
14
k=10
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
30
30
30
30
Anna Rajfura, Matematyka