Modele segmentowe
Modele segmentowe stosuje się w analizie szeregów czasowych w sytuacji, gdy można
wyodrębnić podokresy (tzn. rozłączne podzbiory zbioru obserwacji tworzących szereg
czasowy. Dla każdego z tych podokresów oddzielnie  dopasowuje się model
ekonometryczny, tzw. segment.
Element szeregu czasowego kończący jeden segment i jednocześnie zaczynający następny
nazywa się punktem zwrotnym.
Punkt zwrotny t1 można rozpoznać (zlokalizować) np. obserwując wykres szeregu
czasowego. Na dwóch przedziałach czasowych budujemy dwa segmenty modelu liniowego:
yt =� b�0 +� b�1xt1 +� b�2xt2 +� ... +� b�k xtk +� e�t ; dla t < t1,
yt =� b�0 +� b�1xt1 +� b�2xt2 +� ... +� b�k xtk +� e�t ; dla t1 Ł� t
Najprostszym przypadkiem jest model kawałkami liniowy, wtedy segmentem jest model
liniowy.
Przykład
W szeregu czasowym y1, y2,& yT rozpoznano (np. obserwując wykres szeregu czasowego)
dwa punkty zwrotne t1, t2 . Na trzech przedziałach czasowych zbudowano segmenty trendu
liniowego:
yt = a0 + a1�t + e� t ; dla 0< t < t1,
yt = b0 + b1�t + e� t ; dla t1 Ł� t < t2,
yt = c0 + c1�t + e� t ; dla t2 Ł� t Ł� T.
Uwaga: jeśli szacuje się oddzielnie segmenty, to oceniając dopasowanie modelu oblicza się
t1 -�1 t2 -�1
T
2 2 2
��e +���e +���e
t t t
t =�1 t =�t1 t =�t2
jeden współczynnik determinacji jako: R2 =� 1-�
T
��(y -� y)2
i
t =�1
TESTOWANIE STABILNOŚCI PARAMETRÓW MODELU
W celu sprawdzenia czy dla całej próby powinien być oszacowany jeden model
liniowy, czy też dla każdego z podokresów należy estymować oddzielne modele liniowe,
stosuje się różne testy. Do najbardziej znanych należy test Chowa.
Test Chowa1
H0: parametry modelu w z góry znanych podróbkach są a sobie równe.
H1: parametry modelu w z góry znanych podróbkach nie są a sobie równe.
Postępowanie przebiega w kilku etapach.
1. Szacuje się parametry modelu postaci:
yt =� b�0 +� b�1xt1 +� b�2xt2 +� ... +� b�k xtk +� e�t t =�1, 2,..., T (Model 0)
T
2
i oblicza się sumę kwadratów reszt dla tego modelu SKR0 =� .
��e
t
t=�1
2. Okres obserwacji t = 1, 2,...,T dzieli się na dwa podokresy: t =�1, 2,..., t1-1 oraz
t =� t1, t1 +�1,..., T . Przy czym podział dokonany zostaje arbitralnie np. na dwie równoliczne
podpróby lub może być przeprowadzony w oparciu o analizę zjawiska lub procesu,
opisywanego przez model.
Na podstawie obu podprób szacuje2 się MNK parametry modeli dla każdej podpróby
oddzielnie:
1 1 1 1 1
w
t =� b0 +� b1 xt1 +� b2xt 2 +�...+� bk xtk dla t =�1, 2,..., t1 -�1 (Model 1)
2 2 2 2
w
t2 =� b0 +� b1 xt1 +� b2 xt 2 +�...+� bk xtk dla t =� t1, t1 +�1,..., T (Model 2)
i oblicza się sumy kwadratów reszt dla obu modeli (1) oraz (2), czyli: SKR1 oraz SKR2.
3. Oblicza się wartość:
SKR4 / k +�1 ��
(� )� (� )�
F =� ,
SKR3 / ��T -� 2 k +�1 ł�
(� )� (� )���
��
gdzie:
SKR3 =� SKR1 +� SKR2
SKR4 =� SKR0 -� SKR3
4. Jeżeli prawdziwa jest H0 , to statystyka F ma rozkład Fishera Snedecora o m1 =� k +�1 i
m2 =� T -� 2(k +�1) stopniach swobody. Hipotezę zerową odrzucamy dla F >� F *. W
przeciwnym przypadku nie ma podstaw do jej odrzucenia, co oznacza, że parametry
modelu są stabilne, ponieważ oceny parametrów stojących przy tych samych zmiennych
objaśniających, oszacowane na podstawie obserwacji statystycznej pochodzącej z różnych
okresów nie różnią się istotnie.
Uwaga: w literaturze przedmiotu są jeszcze inne testy zwane testami Chowa. Omawiany tu
test jest też dokładniej można nazywać testem Chowa weryfikującym hipotezę o stabilności
parametrów (Chow test for structural change lub break point Chow test).
1
G. C. Chow,  Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions , Econometrica,
1960, Vol. 28, No. 3, pp. 591-605.
Test Chowa  ilustracja graficzna
2
Zakłada się, że zarówno dla pełnej próby, jak i dla obu podprób spełnione są założenia o normalności i
homoskedastyczności składników losowych.
Uwaga: do innych testów weryfikujących hipotezę o stabilności parametrów należą test QLR
(Quandt Likelihood Ratio), test CUSUM i test CUSUMSQ  testy te nie będą omawiana w
tym semestrze. W testach QLR oraz CUSUM i CUSUMSQ nie trzeba wskazywać punktu
zwrotnego (inaczej: momentu, w którym nastąpiła zmiana strukturalna procesu).
Jeśli odrzuci się hipotezę o tym, że parametry modelu w z góry znanych podróbkach
(podokresach) są sobie równe, to należy oddzielnie szacować parametry w podróbkach
(podokresach) lub zastosować tzw. quasi model liniowy (tzn. model ze zmiennymi
zerojedynkowymi i interakcjami). Oceny parametrów strukturalnych przy zmiennych
objaśniających otrzymane tymi dwoma metodami są identyczne.
Quasi modele liniowe
Postępowanie w przypadku quasi modelu liniowego przebiega w następujący sposób:
v
=� b1 Z1 +� b2Z1 �� X +� b3Z2 +� b4Z2 �� X
1, dla t =�1, 2,..., t1 -�1
��
Gdzie Z1 =�
��0, dla t1,..., T
��
0, dla t =�1, 2,..., t1 -�1
��
Z2 =�
��1, dla t1,..., T
��
X , dla t =�1, 2,..., t1 -�1
��
Z1 �� X =�
��0, dla t1,..., T
��
0, dla t =�1, 2,..., t1 -�1
��
Z2 �� X =�
��X , dla t1,..., T
��
Uwaga:
Quasi modele liniowe = modele z interakcjami omówione na poprzednim wykładzie.