Studia stacjonarne II st.
Niezawodność i bezpieczeństwo systemów
inżynierskich
Wykład 2-3
Model niezawodności obiektów technicznych.
Wskaz
niki niezawodności.
Prof. dr hab. inż. Marian Kwietniewski
Politechnika Warszawska
Wydział Inżynierii Środowiska
Zakład Zaopatrzenia w Wodę i Odprowadzania Ścieków
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 1
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Proces odnowy obiektu inżynierskiego.
Z analizy procesu funkcjonowania obiektów i urządzeń wynika,
iż z reguły są to, z punktu widzenia niezawodności, obiekty i
urządzenia odnawialne lub też inaczej naprawialne. W
wypadku bowiem uszkodzenia są one naprawiane bądz
też
wymieniane na nowe. Czas trwania odnowy, która ma na celu
przywrócenie obiektowi jego pełnych, pierwotnych własności
może być przy tym znaczny i jednocześnie istotny dla oceny
efektywności działania obiektu.
2013-11-13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. 2
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Proces funkcjonowania tych obiektów może być więc opisany za
pomocą modelu procesu losowego z odnową niezerową, w
którym obiekt po przepracowaniu odcinka czasu �z1 ulega
uszkodzeniu i jest odnawiany w czasie �n1, następnie pracuje w
okresie czasu �z2 po czym znów ulega uszkodzeniu i jest odnawiany
w czasie �n2 itd. (rys.)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 3
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Ilustracja graficzna modelu niezawodności
obiektu z odnową niezerową.
t�z1 t�z2 t�z3 t�zi t�zi+1
t�zi-1
tn1 tz1 tn2 tz2 tni-1 tzi-1 tni tzi
0 t
t�n1 t�n2 t�ni-1 t�ni
z
t�1z ,t�
2
- okresy zdatności (pracy)
n n
t�1 2
,t� - okresy niezdatności (odnowy)
n n
t1 ,
t - chwile wystąpienia niezdatności (początek stanu
2
niezdatności)
z
t1z ,t2 - chwile włączenia obiektu do pracy (początek stanu
zdatności)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 4
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Założenia do modelu
" czasy pracy �z1 i czasy odnowy �ni są zmiennymi losowymi
niezależnymi
" wszystkie czasy pracy mają jednakowe rozkłady
prawdopodobieństwa
" wszystkie czasy odnowy mają jednakowe rozkłady
prawdopodobieństwa.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 5
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Zasadniczą rolę w procesie odnowy odgrywa zmienna losowa
v(t) oznaczająca liczbę odnów lub też uszkodzeń, które
nastąpiły do chwili t, określona na podstawie tzw. funkcji
odnowy H(t):
Ą� Ą�
��i �� Pi (t) =���i ��[Fi (t) -� Fi-�1(t)]
H(t) = E[v(t)] =
i=�1 i=�1
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 6
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Prawdopodobieństwo Pi(t) odnosi się do zdarzenia
polegającego na tym, że do czasu t nastąpiło dokładnie  i
uszkodzeń:
Pi(t) = P[v(t)=i] = Fi(t) - Fi-1(t)
gdzie: FI(t) i Fi-1(t) - dystrybuanty zmiennej losowej v(t) wyrażające
prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej odpowiednio  i
oraz i-1 uszkodzeń tzn.
P[v(t)e"i] = P(ti P[v(t)e"i-1] = P(ti-1gdzie:
ti - chwila wystąpienia i - tego uszkodzenia
ti-1 - chwila wystąpienia i-1 - tego uszkodzenia
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 7
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Główną charakterystyką tego procesu jest wskaz
nik gotowości
obiektu Kg(t), który odpowiada prawdopodobieństwu tego, że
w dowolnym momencie czasu  t obiekt jest sprawny.
Zdarzenie polegające na tym, że obiekt będzie sprawny w
chwili t, będzie sumą logiczną wszystkich możliwych zdarzeń
jednostkowych, z których każde można zapisać jako
Ai = (tzico oznacza, że w momencie t obiekt jest sprawny, a do tego
momentu zaszło równo  i odnów.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
8
2013-11-13
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Wskaz
nik gotowości obiektu będzie opisywał sumę
prawdopodobieństw wystąpienia zdarzeń Ai tj.
Ą� Ą�
U�A ) ��P(A )
i i
Kg(t) = P ( =�
0 i=�0
W procesie z odnową niezerową, średni odstęp między
kolejnymi odnowami lub też uszkodzeniami jest równy sumie
średniego czasu pracy między uszkodzeniami Tp i średniego
czasu odnowy To tj.
E(�zi + �ni) = Tp + To
2013-11-13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. 9
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Rozważając długi okres czasu t można zauważyć, że
zarówno jednostkowa liczba uszkodzeń w tym czasie vj(t) jak i
wartość wskaz
nika gotowości Kg(t) dążą do wartości średnich
a mianowicie
vj = lim v(t) = 1/(Tp + To)
t"
Kg = lim Kg(t) = Tp/(Tp + To)
t"
Wskaz
nik gotowości w tej postaci wskazuje na średni udział
czasu, w którym obiekt będzie zdatny
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
10
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Proces odnowy obiektu inżynierskiego.
W przyjętym modelu mamy zatem dwa podstawowe stany
niezawodności:
1. stan pracy (sprawności, zdatności)
2. stan uszkodzenia lub odnowy (niesprawności,
niezdatności).
Stany te mogą być różnie interpretowane np. stan całkowitej zdatności,
częściowej zdatności, stan pełnego uszkodzenia, częściowego
uszkodzenia.
Ogólnie stan sprawności jest wtedy, gdy obiekt wykonuje swoje zadanie a
stan niesprawności wtedy, gdy obiekt nie wykonuje swojego zadania.
Uszkodzenie jest więc przejściem obiektu ze stanu sprawności do stanu
niesprawności.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 11
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Przykładowe stany niezawodności
wynikające z analizy procesu eksploatacji:
1. zdatność pełna (praca bez zakłóceń)
2. niezdatność całkowita
3. niezdatność częściowa
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 12
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Miary niezawodności
Wyróżniamy następujące miary niezawodności
1. Bezawaryjność  zdolność obiektu do zachowania sprawności podczas
wykonywania swoich zadań
2. Naprawialność  podatność na naprawę (odnowę)
3. Gotowość - charakteryzuje wpływ uszkodzeń i odnów na bezawaryjną
realizację zadań
4. Możliwość technicznego wykorzystania - charakteryzuje wpływ
uszkodzeń i odnów na bezawaryjną realizację zadań z uwzględnieniem
remontów planowych,
a także w przypadku obiektów inżynierskich wodociągowych,
kanalizacyjnych, ciepłowniczych, gazowniczych
5. Efektywność działania.
6. Miary specjalne
Miary powyższe są wyrażane różnymi wskaz
nikami niezawodności.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 13
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
1. Wskaz
niki bezawaryjności
- prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu
- średni czas pracy między uszkodzeniami
- parametr strumienia uszkodzeń
- częstość uszkodzeń (ma uzasadnione zastosowanie w odniesieniu do
obiektów podlegających przestojom planowym - remonty, zabiegi
konserwacyjne itp.).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 14
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
2.Wskaz
niki naprawialności
- średni czas odnowy (uszkodzenia, niesprawności)
- średni czas naprawy
- średni czas "oczekiwania na naprawę"
- intensywność odnowy
- prawdopodobieństwo odnowy.
Naprawialność charakteryzuje nie tylko uszkodzony element lecz także
sprawność techniczno-organizacyjną brygad naprawczych, całego systemu
obsług awaryjnych obejmującego zaopatrzenie w części zamienne, sprzęt,
materiały itp..
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 15
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
3. Wskaz
niki gotowości
- wskaz
nik gotowości
- wskaz
nik postoju
4. Wskaz
niki wykorzystania technicznego
- wskaz
nik wykorzystania technicznego.
Wskaz
niki 3 i 4 są traktowane jako kompleksowe - opisują dwie
cechy (bezawaryjność i naprawialność)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 16
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Miary efektywności - przykłady:
- wskaz
nik efektywności
- współczynnik niedoboru wody.
Miary specjalne  przykłady:
- wskaz
nik technologicznej sprawności stacji uzdatniania wody
- wskaz
nik technologicznej sprawności oczyszczalni ścieków.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 17
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Wybór wskaz
ników do oceny
niezawodności obiektów inżynierskich
Wskaz
nik może charakteryzować jedną lub więcej właściwości
niezawodnościowych obiektu. Ponadto niektóre wskaz
niki charakteryzują
tylko niezawodność obiektów nienaprawialnych lub tylko niezawodność
obiektów naprawialnych
Podstawą wyboru wskaz
ników do oceny niezawodności obiektów
inżynierskich (tut. Inżynierii komunalnej) jest przede wszystkim analiza
warunków i przebiegu procesu ich eksploatacji.
Należy przy tym uwzględnić:
- zadania stawiane obiektowi
- specyfikę obiektu
- zakres oceny niezawodności.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 18
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Opis wskaz
ników niezawodności.
1. Prawdopodobieństwo (bezawaryjnej) pracy obiektu, P(t).
Wskaz
nik ten definiuje się jako prawdopodobieństwo tego, że w przedziale
czasu (0,t) między kolejnymi uszkodzeniami, licząc od momentu
uruchomienia po uszkodzeniu, obiekt nie uszkodzi się,
przy założeniu, że na początku rozpatrywanego przedziału czasu tj. t=0
obiekt był sprawny tzn. P(0) = 1. Stąd prawdopodobieństwo pracy można
zapisać w postaci wzoru:
P(0,t) = P(0)*P(t) = P(t)
gdzie: P(0,t) - prawdopodobieństwo tego, że obiekt nie uszkodzi się w
przedziale czasu (0,t) i że w momencie t=0 był sprawny.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 19
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu, P(t).
W przyjętym dwustanowym modelu niezawodności: sprawność (praca) -
niesprawność (odnowa), nieuszkodzenie się obiektu w rozpatrywanym
czasie t oznacza, że czas pracy nie będzie krótszy od tego czasu tj.
P(tp e" t) = P(t)
A zatem prawdopodobieństwo uszkodzenia się obiektu w czasie t
opisuje zdarzenie, że czas pracy tp będzie krótszy od tego czasu tj.
P(tpProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 20
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu, P(t).
Funkcja F(t) jest dystrybuantą zmiennej losowej czas pracy tp
Uwzględniając powyższe uwagi należy zauważyć, że suma
prawdopodobieństw czasu pracy i uszkodzenia w przedziale czasu
(0,t) jest prawdopodobieństwem pełnego zdarzenia równym jedności,
tj.
P(t) + F(t) = 1 (A)
Pochodna dystrybuanty F(t) jest gęstością prawdopodobieństwa czasu
pracy.
f(t) = dF(t)/dt
Z równości (A) wynika, że
f(t) = dF(t)/d(t) = - dP(t)/d(t)
2013-11-13 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. 21
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu, P(t).
Z przedstawionych rozważań wynika, że prawdopodobieństwo
pracy jest funkcją nierosnącą i ma następujące własności:
a) P(0) = 1
b) P(") = 0
c) P(t2) t2
Z kolei prawdopodobieństwo uszkodzenia tj. przejścia w stan
uszkodzenia obiektu jest funkcją rosnącą i ma następujące
własności:
a) F(0) = 0
b) F(") = 1
c) F(t2) > F(t1) dla t1 < t2
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 22
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Przykładowy charakter zmienności prawdopodobieństwa pracy
i prawdopodobieństwa uszkodzenia obiektu.
F(t)=P(tpP(t)=P(tpe" t
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 23
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu, P(t).
Uogólnione wyrażenie opisujące prawdopodobieństwo pracy:
t
P(t) =� exp[-�
��l�(t)dt]
0
gdzie:
(t) - intensywność uszkodzeń lub inaczej gęstość
prawdopodobieństwa uszkodzeń obiektu.
Intensywność uszkodzeń jest prawdopodobieństwem warunkowym
powstania uszkodzenia w przedziale czasu "t pod warunkiem, że na
początku tego okresu obiekt był sprawny. Parametr ten opisuje
niezawodność obiektów pracujących do pierwszego uszkodzenia
(nieodnawialnych).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 24
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
W przypadku obiektów inżynierskich zwykle zakładamy, że strumień
uszkodzeń ma cechy:
- bez następstw  uszkodzenia są niezależne w kolejnych "t
- pojedynczy  prawdop. więcej niż 1 uszkodzenia w dowolnie małym "t
jest równe 0
-stacjonarny  prawdop. uszkodzenia w "t zależy tylko od tego przedziału
czasu.
Przy tych założeniach, intensywność uszkodzeń (t) jest stała i odpowiada
parametrowi strumienia uszkodzeń � jako bezwarunkowemu
prawdopodobieństwu uszkodzenia obiektu tzn.
(t) =  = �
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 25
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Natomiast proces odnowy lub inaczej strumień uszkodzeń nazywa się
procesem POISSONA, w którym czas pracy ma rozkład wykładniczy w
postaci
F(t) = 1 - exp(- t)
a gęstość prawdopodobieństwa jest wyrażona wzorem
f(t) =  *exp(-  t)
W takim procesie prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy obiektu ma
postać
P(t) = exp(-  t)
Bardzo dobrą ilustracją przebiegu zmienności intensywności uszkodzeń (t)
lub też parametru strumienia uszkodzeń �(t) jest tzw. funkcja ryzyka
przedstawiona na rysunku, gdzie  = � - const
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 26
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 27
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Estymacja prawdopodobieństwa pracy obiektu na podstawie danych
zebranych z eksploatacji
P*(t) = 1 - n(t)/Np
gdzie:
n(t) - liczba zdarzeń polegających na tym, że zarejestrowana wartość czasu
pracy tpi jest mniejsza od założonej wartości czasu t lub inaczej
liczba obiektów uszkodzonych do chwili t
Np - liczba wszystkich zarejestrowanych wartości czasu pracy lub też
liczba wszystkich badanych obiektów
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 28
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
2. Średni czas pracy między uszkodzeniami, Tp
Parametr ten jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej �p
określającej czas pracy obiektu między dwoma kolejnymi
uszkodzeniami. Wskaz
nik ten opisuje się wzorem
Ą�
Tp =� E(t� ) =� �� fp(t)dt]
p
��t
0
gdzie: fp(t) jest gęstością czasu pracy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 29
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Wartość czasu pracy można oszacować (najczęstszy
przypadek) na podstawie danych z eksploatacji, korzystając ze
wzoru:
np
1
T* =�
p
��t
np i=�1 pi
gdzie:
np  liczba czasów pracy
tpi  czas trwania i-tego czasu pracy.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13
30
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
3. Parametr strumienia uszkodzeń, �(t)
Wskaz
nik ten określa prawdopodobieństwo uszkodzenia
obiektu w przedziale czasu (t,t+"t) niezależnie od tego czy w
momencie t obiekt był sprawny czy też nie.
Parametr strumienia uszkodzeń jest więc pochodną funkcji
odnowy E[v(t)] co można zapisać następująco:
�(t) = dE[v(t)]/dt = lim [Q(t,t+"t)/"t]
"t 0
gdzie:
Q(t,t+"t) - liczba uszkodzeń w funkcji czasu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 31
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Na podstawie danych z eksploatacji, parametr strumienia uszkodzeń można
oszacować wg wzoru:
�*(t) = [n(t,t+"t)]/(N*"t)
gdzie: n(t,t+"t) - liczba uszkodzeń w przedziale czasu "t
"t - przedział czasu na jakie podzielono okres badań
(obserwacji)
N - liczba badanych obiektów.
W przypadku stacjonarnego strumienia uszkodzeń:
� = 1/Tp
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 32
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
4. Częstość uszkodzeń, C(t)
Jednostkowa częstość uszkodzeń wyraża stosunek liczby
uszkodzeń w przedziale czasu (t,t+"t) do długości tego
przedziału i do liczby wszystkich badanych obiektów. Wskaz
nik
ten charakteryzuje uszkadzalność obiektów, które w czasie
eksploatacji są poddawane planowym zabiegom. Stąd czasy
trwania tych okresów uwzględnia się w przedziałach czasu "t .
Wyznacza się go podobnie jak parametr strumienia uszkodzeń.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13
33
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
5. Średni czas odnowy (niesprawności), To
Parametr ten jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej �o
określającej czas odnowy obiektu. Wskaz
nik ten opisuje się
wzorem
Ą�
To =� E(t�o) =� �� fo(t)dt]
��t
0
gdzie: fo(t) jest gęstością czasu odnowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 34
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Wartość czasu odnowy można oszacować na podstawie
danych z eksploatacji, korzystając ze wzoru:
no
1
T* =�
o
��t
no i=�1 oi
gdzie:
no  liczba odnów (uszkodzeń), toi  czas trwania i-tej odnowy.
6. Średni czas naprawy, Tn
7. Średni czas oczekiwania na naprawę, Tz
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
35
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
8. Prawdopodobieństwo odnowy obiektu, Po(t)
Wskaz
nik ten określa prawdopodobieństwo zdarzenia,
polegającego na tym, że w przedziale czasu (0,t) usuwanie
uszkodzenia będzie zakończone:
t
Po (t) =� P(t� Ł� t) =� fo (t� )dt� ]
o
��
0
gdzie: T o  czas odnowy, fo(t) - gęstość czasu odnowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 36
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
W przypadku, gdy czas odnowy ma rozkład wykładniczy,
prawdopodobieństwo odnowy przyjmie postać:
Po(t) = 1 - exp(-ź t)
w którym ź jest intensywnością odnowy (wartość stała).
W tym przypadku:
1/ź = To
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 37
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Wartość prawdopodobieństwa odnowy P*(t) można oszacować
na podstawie danych z eksploatacji wg wzoru:
P*(t) = [n(t)]/n
gdzie: n(t) - liczba zdarzeń polegających na tym, że czas
usuwania niesprawności (odnowy) jest mniejszy
lub co najwyżej równy czasowi t lub inaczej liczba
odnów nie dłuższych niż czas t
n - liczba wszystkich wartości czasów odnowy lub liczba
wszystkich rozpatrywanych obiektów.
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
38
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
9. Intensywność odnowy, ź(t)
Wskaz
nik ten określa liczbę uszkodzeń usuwanych w
jednostce czasu i jest stosunkiem prawdopodobieństwa
odnowienia obiektu w przedziale czasu (t,t+"t) przy warunku,
że w momencie t obiekt był jeszcze odnawiany do długości
tego przedziału czasu tj.
ź(t) = lim [Po("t t)]/"t
"t 0
gdzie: Po("t t) - prawdopodobieństwo warunkowe odnowy
obiektu w przedziale czasu t,t+"t przy warunku, że do momentu t
odnowa nie została zakończona
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
39
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
W przypadku gdy czas odnowy podlega rozkładowi
wykładniczemu, intensywność odnowy jest stała tj. ź(t) = ź i jej
średnią wartość można oszacować na podstawie danych z
eksploatacji ze wzoru:
ź* = no/to
gdzie: no - liczba odnów badanych obiektów
to - sumaryczny czas trwania niesprawności (odnów)
badanych obiektów.
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
40
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
10. Wskaz
nik gotowości
W uzupełnieniu poprzednich definicji warto podać, iż przy założeniu, że
czas pracy Tp i czas odnowy To mają rozkłady wykładnicze, stacjonarny
wskaz
nik gotowości będzie miał postać:
Kg = ź/(ź + �)
Przy uwzględnieniu: ź = 1/To i � = 1/Tp,
stacjonarną wartość wskaz
nika gotowości można oszacować na podstawie
danych z eksploatacji korzystając ze wzoru:
Kg = T*p/(T*p + T*o)
gdzie: T*p i T*o - estymator średniego czasu, odpowiednio pracy i odnowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 41
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Można też wskaz
nik ten oszacować ze wzoru:
Kg = tp/(tp + to)
w którym: tp - sumaryczny czas pracy (sprawności) w badanym
okresie
to - sumaryczny czas odnów (niesprawności) w
badanym okresie.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 42
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
11. Wskaz
nik postoju, Kp
Wskaz
nik ten jest z matematycznego punktu widzenia dopełnieniem do
jedności wskaz
nika gotowości:
Kp = 1 - Kg
12. Wskaz
nik wykorzystania technicznego, Kw
Wskaz
nik ten jest najprostszą miarą wykorzystania obiektu. Jest on
prawdopodobieństwem tego, że w dowolnej chwili czasu obiekt znajduje się
w stanie sprawności i może wykonywać swoje zadanie:
t
'
Kw =� P(T <� t) =� ft (t� )dt�
t
��
0
gdzie ft (�) jest funkcją gęstości czasu zdatności obiektu.
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
43
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
W wypadku obiektu dwustanowego (sprawność - niesprawność) wskaz
nik
wykorzystania technicznego i wskaz
nik gotowości są sobie równe
tj. Kw = Kg.
Wartość wskaz
nika wykorzystania technicznego K*w można oszacować na
podstawie danych z eksploatacji wg wzoru:
K*w = tp/(tp + to + tf)
gdzie: tf - sumaryczny czas zużyty na zabiegi planowe, postoje itp.
tp, to  sumaryczny czas odpowiednio pracy, odnowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 44
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
13. Wskaz
nik efektywności i współczynnik niedoboru
wody.
Efektywność opisuje się jako stopień spełnienia wymagań przez dany
obiekt. Jednym z najprostszych sposobów określenia efektywności systemu
może być wyrażenie:
E = Q/Qo
gdzie Q - uśredniona wydajność systemu obniżona w wyniku różnych
przyczyn w rozważanym okresie czasu
Qo - wymagana (nominalna) wydajność systemu w rozważanym
okresie czasu.
2013-11-13
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
45
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Wskaz
nik ten nazywa się również uogólnionym wskaz
nikiem
niezawodności i w odniesieniu do systemów wodociągowych
przedstawia się go w postaci:
E = 1 - E(NW)/Z
w którym: E(NW) - wartość niedoboru wody w badanym
okresie czasu
Z - zapotrzebowanie na wodę (wymagana
wydajność) w badanym okresie czasu.
Podobnie można określać wskaz
niki efektywności dla systemu
ciepłowniczego, gazowego, kanalizacyjnego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 46
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
14. Wskaz
nik technologicznej sprawności stacji
uzdatniania wody, Psw
Parametr ten wyraża prawdopodobieństwo uzyskania
wymaganej wartości wskaz
nika S, uznanego za miarodajny do
oceny jakości uzdatnianej wody tj.
Psw = P(Sw d" S)
gdzie: Sw - zmienna losowa określająca wartość wskaz
nika
zanieczyszczenia wody
S - wartość wskaz
nika miarodajnego do oceny jakości
uzdatnianej wody.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 47
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Wartość wskaz
nika P*sw można oszacować na podstawie danych z eksploatacji w
oparciu o wzór:
P*sw = m/(n + 1)
gdzie:
m - liczba wyników badań jakości wody spośród n, które są zgodne z wymaganą
akością wody ze względu na dany wskaz
nik jakości S
n - liczba wszystkich wyników badań jakości wody ze względu na dany wskaz
nik
. jakości S
Podobnie można określać wskaz
niki technologicznej sprawności oczyszczalni
ścieków
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
2013-11-13 48
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]