Wymiarowanie łączy w sieciach
telekomunikacyjnych
Modele wiązek
Maciej Stasiak, Mariusz Głąbowski
Arkadiusz Wiśniewski, Piotr Zwierzykowski
Model Erlanga
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 2
Wiązka pełnodostępna (WD)
" Założenia:
o V pojemność wiązki wyrażona w jednostkach alokacji np. w
kanałach lub szczelinach. Każdy kanał jest dostępny dla
nowego zgłoszenia o ile nie jest zajęty;
o Proces napływu zgłoszeń jest procesem Poissona;
o Czas obsługi ma charakter wykładniczy z parametrem 1/ź;
1
o Odrzucane zgłoszenia są tracone
2
m�
l�
V
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 3
Diagram stanów
l� l�
l�
l�
1
i-1
0 V
i
V-1
i+1
m� im�
(i+1)m�
Vm�
" stan  0 - wszystkie kanały są wolne,
" stan  1 - jeden kanał jest zajęty, a inne są wolne,
" . . .,
" stan  i - i kanałów jest zajętych oraz (V-i) kanałów jest wolnych,
" . . .,
" stan  V - wszystkie kanały są zajęte.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 4
Równania równowagi statystycznej
l� l�
l�
l�
1
i-1
0 V
i V-1
i+1
m� im�
(i+1)m�
Vm�
l�[�p0]� =� m�[�p1]�
��
V V
��
L�
��
k i
��l�
[�pi-�1]� =� im�[�pi]�
ć� l� �� ć� l� ��
V V
��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
V
��L�
m� m�
Ł� ł� Ł� ł�
[�pk ]� =�
��l� ��
V
[�pV -�1]� =� Vm� [�pV ]�
k! i!
V V i=�0
��
V
��
��
��[�p ]� =� 1
i
V
�� i=�0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 5
Interpretacja /ź
l� 1
=� l� =� l� h
m� m�
h
l�/m� określa średnią liczbę zgłoszeń napływających w średnim czasie obsługi
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 6
Rozkład Erlanga
(l� / m�)k V (l� / m�)i Ak V Ai
[�pk ]� =� =� where A =� l� / m�
�� ��
V
k! i! k! i!
i=�0 i=�0
a) b) c)
0,6 0,6
0,6
0,5 0,5
0,5
0,4 0,4
0,4
0,3 0,3
0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0
0
0
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
Rozkład zajętych kanałów w WD, pojemność V=5,
ruch oferowany: A=1 Erl. (a); A=3 Erl. (b); A=8 Erl. (c).
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 7
Wzór Erlanga
AV
V!
E1,N (A) =� [�pV ]� =�
V
V
Ai
��
i!
i=�0
Prawdopodobieństwo blokady = f ( ruch oferowany, pojemość)
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 8
Właściwości rekurencyjne wzoru Erlanga
AE1,N -�1(A)
E1,N (A) =�
N +� AE1,N -�1(A)
A0 A0
E1,0(A) =� =�1
0! 0!
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 9
Charakterystyki ruchu obsłużonego
" Średnia wartość ruchu załatwianego (średnia liczba
równocześnie zajętych kanałów)
V
YV =�
��k[�p ]� =� A[1-� E1,V(A)]
k
V
k =�0
" Wariancja ruchu załatwianego
V
2 2
s� =� ( k [�pk ]� -�YV2) =� YV -� AE1,V (A) (V -�YV )
��
V
V
k =�0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 10
Charakterystyki ruchu obsłużonego
" Wariancja ruchu załatwianego
-�1
V V
2
A
��k Ak ��[(k -�1) +�1] (kAk
V
k! -�1)!
2 2
k =�0 k =�0
s�V =� ( -�YV2 =� -�YV2 =�
��k [�pk ]� -�YV2) =�
V
V V
Ak Ak
k =�0
�� ��
k! k!
k =�0 k =�0
V N
Ak -�1 Ak -�2
A[ +� A ]
�� ��
(k -�1)! (k -� 2)!
k =�1 k =�2
=� -�YV2.
V
Ak
��
k!
k =�0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 11
Charakterystyki ruchu obsłużonego
" Wariancja ruchu załatwianego
o Biorąc pod uwagę:
V
V
Ak -�1
Ak -�2
��
��
(k -�1)! N
(k -� 2)!
k =�1
k =�2
=�1-� E1,V (A),
=�1-� E1,V (A) -� E1,V (A)
V
V
Ak
Ak A
��
��
k!
k!
k =�0
k =�0
o otrzymujemy:
2
s� =� YV -� AE1,V (A) (V -�YV )
V
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 12
Charakterystyki ruchu obsłużonego
" Uwaga !
o Wariancja ruchu oferowanego
jest równa
o Średniemu ruchowi oferowanemu
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 13
Tabela Erlanga
" Dwa sposoby organizacji tablic Erlanga stosowanych w
praktyce inżynierskiej:
o
o N A1 A2 A3 N N B1 B2 B3 N
o 1 B11 B21 B31 1 1 A11 A21 A31 1
o 2 B12 B22 B32 2 2 A12 A22 A32 2
o 3 B13 B23 B33 3 3 A13 A23 A33 3
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 14
Tabela Erlanga
Pojemność V Prawdopodobieństwo blokady B
E=0.02 E=0.01 E=0.005 E=0.001
Natężenie ruchu oferowanego A
1 0.02 0.01 0.005 0.001
5 1.70 1.40 1.10 0.80
10 5.10 4.50 4.00 3.10
15 9.00 8.10 7.38 6.08
20 13.20 12.00 11.10 9.41
25 17.50 16.10 15.00 13.00
30 21.90 20.30 19.00 16.70
35 26.40 24.60 23.20 20.50
40 31.00 29.00 27.40 24.40
45 35.60 33.40 31.70 28.40
50 40.30 37.90 36.00 32.50
60 49.60 46.90 44.80 40.80
70 59.1 56.1 53.70 49.20
80 68.70 65.40 62.70 57.80
90 78.30 74.70 71.80 66.50
100 88.00 84.10 80.90 75.20
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 15
Prawo wiązki
dwie wiązki połączona wiązka
A1 + A2
A1
A2
V1 + V2
V1
V2
EV +�V2 (A1 +� A2) <� max[�EV (A1), EV (A2)]�
1 1 2
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 16
Prawo wiązki - przykład
wiązka 1 wiązka 2
=� =� =� =�
A 5,1 Erl. V 10 A 12,0 Erl. V 20
, ,
1 1 2 1
=� =�
E ( A ) 0,02 E ( A ) 0,01
V 1 V 2 2
1
wiązka połączona
+� =�
E ( +� ( A A ) 0,001
V V 2 ) 1 2
1
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 17
Rozkład Poissona
" Graniczny przypadek rozkładu Erlanga
" Liczba kanałów jest nieskończona, a więc w systemie
nie występuje blokada
V �� Ą�
k i k
V
(�A)�
A
[�pk]� =� lim /
��(�A!)� =� (�A)� e-�
V
V ��Ą�
k! i k!
i=�0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 18
Rozkład Poissona
" Aproksymacja prawdopodobieństwa blokady
o Jeśli liczba stanowisk obsługi jest równa V, to
prawdopodobieństwo blokady można aproksymować
modelem Poissona:
i i
Ą� Ą�
(�A)� (�A)�
E =� e-� A =� e-� A =�
�� ��
i! i!
i=�V i=�V
i
V -�1
�� ł�
(�A)�
=� e-� A ę�1-�
ś�
��
i!
i=�0
�� ��
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 19
Ruch obsłużony  losowy wybór kanałów
" Ruch obsłużony przez V kanałów:
YV =� A [1-� EV (A)]
" Ruch obsłużony przez każdy kanał:
h� =� YV /V =� A[1-� EV(A)]/ V
" dla V=10, A=10 Erl.:
h� =� YV /V =� 10 [1-� E10(10 )]/ 10 =� 0.79 Erl.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 20
Ruch obsłużony  losowy wybór kanałów
1
Obciążenie
0,9
wiązka: A=10 Erl., V=10
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Liczba kanałów
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 21
Ruch obsłużony
 kolejnościowy wybór kanałów
" Ruch obsłużony przez i kanałów:
Yi =� A [1-� Ei (A)]
" Ruch obsłużony przez i-1 kanałów:
Yi-�1 =� A[1-� Ei-�1(A)]
" Ruch obsłużony przez kanał i:
h�i =� Yi -�Yi-�1 =� A [1-� Ei(A)] -� A [1-� Ei-�1(A)] =�
=� A[�Ei-�1(A) -� Ei(A)]�
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 22
Ruch obsłużony
 kolejnościowy wybór kanałów
1
wiązka: A=10 Erl., V=10
Obciążenie
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Liczba kanałów
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 23
Wzór Palma  Jacobaeusa
" Wzór definiuje prawdopodobieństwo zajętości
dokładnie x kanałów (stanowisk obsługi)
V
E (A)
V
H (x) =� P(x i) [�pi]� =�
��
V
E (A)
i=�x
V -�x
Warunkowy prawdopodobieństwo zajętości Prawdopodobieństwo
dokładnie x ściśle określonych kanałów przy zajętości dowolnych i
założeniu, że i kanałów jest zajętych: kanałów
i k
V
V -� x V
ć� �� ć� ��
(V -� x)! i!
A A
P(x | i) =� �� �� �� �� =�
[�pi]� =�
�� �� �� �� ��
V
i -� x i V! (i -� x)!
i! k!
Ł� ł� Ł� ł�
k =�0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 24
Model Engseta
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 25
Wiązka pełnodostępna  model Engseta
" Założenia:
o V pojemność wiązki wyrażona w jednostkach alokacji (np. w
kanałach). Każdy spośród nich jest dostępny jeśli nie jest zajęty;
o Napływające zgłoszenia tworzą strumień generowany przez
skończoną liczbę z
ródeł ruchu N (N>V). Każde wolne z
ródło
generuje zgłoszenia z intensywnością ł;
o Czas obsługi ma rozkład wykładniczy z parametrem 1/ź;
o Odrzucone zgłoszenia są tracone
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 26
Diagram stanów
( N -i+1) g� ( N -i) g� ( N -V+1) g�
N g�
1
i-1
0 V
i V-1
i+1
m� i m�
( i+1) m�
Vm�
" stan  0 - wszystkie kanały są wolne, N z
ródeł jest wolnych
" stan  1 - jeden kanał jest zajęty, (N-1) z
ródeł jest wolnych,
" . . .,
" stan  i - i kanałów jest zajętych i (N-i) z
ródeł jest wolnych,
" . . .,
" stan  V - wszystkie kanały są zajęte (V-N) z
ródeł jest wolnych
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 27
Równania równowagi statystycznej
( N -i+1) g� ( N -i) g� ( N -V+1) g�
N g�
1 i-1
0 i V-1
V
i+1
m� i m�
( i+1) m�
Vm�
Ng� [�p0]� =� m�[�p1]�
��
V
V
��
��L�
��(N -� i +�1)g�
[�pi-�1]� =� im� [�pi]�
V
V
V
��
N N
ć� �� ć� ��
i j
[�pi]� =� �� ��
��L�
V ���� j ��
�� ��a� j=�0 �� ��a�
i
Ł� ł� Ł� ł�
��(N -�V +�1)g�
[�pV -�1]� =� Vm�[�pV ]�
V V
��
V
��
��
��[�p ]� =�1
i
V ruch oferowany
a� =� g� / m�
�� i=�0
przez jedno wolne z
ródło
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 28
Prawdopodobieństwo blokady/strat
" Prawdopodobieństwo blokady
V
N N
ć� ��
V j
[�pV ]� =� E =� E(a�,V , N) =� �� ��
V ��ć� ��
��V ��a� / j=�0 �� j ��
�� ��a�
Ł� ł� Ł� ł�
" Prawdopodobieństwo strat
V
N -�1 N -�1
ć� �� ć� ��
(N -�V )g� [�pV ]�
V j
V
B(g� ,V , N) =� =� �� ��
���� j ��
V
�� ��a� / j=�0 �� ��a�
V
Ł� ł� Ł� ł�
[�pj]�
��(N -� j)g� V
j=�0
B(a�,V, N) =� E(a�,V, N -�1)
o Prawdopodobieństwo strat w wiązce której oferowany jest ruch
pochodzący od N z
ródeł ruchu jest równe prawdopodobieństwu
blokady w wiązce której oferowany jest ruch pochodzących od N-
1 z
ródeł ruchu
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 29
Właściwości rekurencyjne wzoru Engseta
a�(N -�V +�1) E(a�,V -�1, N)
E(a�,V , N) =�
V +�a�(N -�V +�1) E(a�,V -�1, N)
E(a�,0, N) =�1
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 30
Wzór Engseta  inna notacja
" Prawdopodobieństwo blokady:
V j
V
N -�1 N -�1
ć� �� ć� ��
a a
ć� �� ć� ��
B(a,V , N) =� �� �� / �� ��
�� �� �� ��
��
�� �� �� ��
V j
Ł�1-� a ł� Ł�1-� a ł�
j=�0
Ł� ł� Ł� ł�
a� (�1/ m�)�
(�1/ m�)�
(�1/ g� )�
a =� =�
1+�a� (�1/ g� )�+� (�1/ m�)�
" Parametr a wyraża stosunek średniego czasu zajętości z
ródła do sumy
średniego czasu aktywności z
ródła i średniego czasu pomiędzy
zgłoszeniami. Z tego względu, parametr a może być interpretowany jako
średni ruch oferowany przez jedno z
ródło
" Parametr a� jest średnim ruchem oferowanym przez jedno wolne z
ródło.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 31
Model Engseta  ruch obsłużony
" Średnia wartość ruchu obsłużonego jest równa średniej
liczbie jednocześnie zajętych kanałów:
V
g� [1-� B(a�,V ,
Y =�
��i [�Pi]� =� N 1+� g� [1-� B(a�,VN)] =� N y
V
, N)]
i=�1
o gdzie y jest ruchem przeniesionym przez jedno z
ródło
g� [1-� B(a�,V , N)]
y =�
1+� g� [1-� B(a�,V , N)]
" Można udowodnić, że:
a�
Y =� [�N -� (N -�V )E(a�,V , N)]�
1+�a�
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 32
Model Engseta  ruch obsłużony
" Średnia wartość ruchu oferowanego jest równa średniej
liczbie zajętych kanałów w wiązce o pojemności N
kanałów (system bez start):
V
a�
A =� YN =�
��i [�Pi]� =� N 1+�a� =� Na
V
i=�1
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 33
Model Engseta  wariancja
" Wariancja rozkładu Engseta
V
ć� A
2 2 2
s� =� �� �� =�
��k [�pk ]� -�Y �� N (�N -� A)�
V
Ł� k =�0 ł�
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 34
Model Engseta  ruch tracony
" Natężenie ruchu traconego:
a�
R =� A -�Y =� (N -�V ) E(a�,V , N)
1+�a�
" Prawdopodobieństwo utraty ruch (traffic congestion ) 
związek pomiędzy ruchem oferowanym i traconym:
R N -�V
C(a�,V , N) =� =� E(a�,V , N)
A N
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 35
Model Engseta
 paradoks strumienia zgłoszeń
" Parametry strumienia uśrednione po wszystkich stanach
(wyrażają średnią liczbę zgłoszeń na średni czas
obsługi, tzn. średnia intensywność strumienia zgłoszeń)
V
L� =�
��g� (N -� i) [�Pi]� =� g� (N -�Y )
V
i=�1
" Średnia intensywność strumienia wynikająca z
oszacowania ruchu oferowanego:
g�
L�A =� Am� =� N
L�A ą� L�
1+�a�
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 36
Model Engseta
 paradoks strumienia zgłoszeń
g�
D� =� L� -� L�A =� [�Na� -�Y (1+�a�]�
1+�a�
a�N N -�V
��
D� =� g� E(a�,V , N)ł� =� g� A C
ę� ś�
1+�a� N
�� ��
" Iloczyn AC określa natężenie ruchu traconego, czyli średnią liczbę wolnych
z
ródeł ruchu. Parametr g� jest intensywnością strumienia ruchu jednego z
ródła.
Jeśli założymy, że każde zablokowane z
ródło w czasie równym średniemu
czasowi obsługi I/m nie jest aktywne, to "=0 oraz LA=L.
" Parametr L określa średnią intensywność strumienia zgłoszeń przy założeniu, że
każde zagubione zgłoszenie (w wyniku blokady) natychmiast powoduje
zwolnienie z
ródła ruchu przez czas równy założonemu czasowi obsługi.
" Parametr LA określa średnią intensywność strumienia zgłoszeń przy założeniu, że
każde stracone zgłoszenie (w wyniku blokady) natychmiast powoduje
zablokowanie z
ródła, które je wygenerowało przez czas równy założonemu
czasowi obsługi.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 37
Wzór Palma  Jacobaeusa dla Engseta
" Wzór definiuje prawdopodobieństwo zajętości
dokładnie x jednostek alokacji (kanałów)
V
E(a�,V , N)
H(x) =� P(x i) [�pi]� =�
��
V
E(a�,V -� x, N)
i=�x
Warunkowe prawdopodobieństwo
Rozkład zajętości i kanałów
zajętości dokładnie x kanałów, przy
założeniu że zajętych jest i kanałów
V
V -� x V
N N
ć� �� ć� ��
(V -� x)! i! ć� ��
i j
P(x | i) =� �� �� �� �� =�
/
[�pi]� =� �� ��
V ��ć� ��
�� �� �� ��
�� ��a� / j=�0 �� j ��
�� ��a�
i -� x i V! (i -� x)!
i
Ł� ł� Ł� ł�
Ł� ł� Ł� ł�
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 38
Modele Erlanga iEngseta
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 39
Modele Erlanga i Engseta
" Wzór Engseta jest uogólnieniem wzoru Erlanga
wówczas gdy liczba z
ródeł ruchu dąży do
nieskończoności N, a parametr ł został zmniejszony w
taki sposób, że iloczyn N ł nie zmienia się.
lim Ng� =� l�
N ��Ą�
i i i
N
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
g� N(N -�1)K�(N -� i +�1) g� 1 l�
lim �� �� �� �� =� lim �� �� =� �� ��
�� �� �� �� �� �� �� ��
N ��Ą� N ��Ą�
i m� i! m� i! m�
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
i j
ć� �� l�
i j l� ć� ��
V
N N �� �� �� ��
ć� �� ć� �� ć� ��
g�
�� �� �� ��
V
[�pi]� =� �� �� �� �� / �� ��
m� m�
V ���� j �� ć� g� �� N �� Ą� Ł� ł�
�� �� �� �� �� �� �� ��
[�pi]� =� /
i m� m�
j=�0 ��Ł� j!ł�
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� V
i!
j=�0
rozkład Engseta rozkład Erlanga
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 40
Wymiarowanie łączy w sieciach
telekomunikacyjnych
Modele wiązek
Maciej Stasiak, Mariusz Głąbowski
Arkadiusz Wiśniewski, Piotr Zwierzykowski