dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 1
3.1. Dwójkowy system liczbowy
" Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to pozycyjny system
liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne
są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1.
" Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał
jako a i b.
" Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja
liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową
odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz
zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też
w informatyce.
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 2
" W tym systemie liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda
jest mnożnikiem kolejnej potęgi 2 (podstawy systemu).
" Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10,
w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
1Å"23ƒÄ…0Å"22ƒÄ…1Å"21ƒÄ…0Å"20=8ƒÄ…0ƒÄ…2ƒÄ…0=10
" Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem
dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę
danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można
również napisać obok niej indeks. Np.
101012=2110
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 3
" W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby
rzeczywiste. Np.:
1,1012=1Å"20ƒÄ…1Å"2-1ƒÄ…0Å"2-2ƒÄ…1Å"2-3=1,62510
" Pierwsze dziesięć liczb w systemie dwójkowym:
w systemie dziesiętnym w systemie dwójkowym
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 4
" Zamiana (konwersja)) liczb z układu dziesiętnego na binarny:
2310=101112
ć%
(liczbę dzielimy przez dwa, zapisujemy resztę z każdego dzielenia i odczytujemy od końca),
0.812510=0.11012
ć%
(liczbę mnożymy przez dwa, zapisujemy część całkowitą
z każdego mnożenia i odczytujemy od początku).
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 5
" Zamiana (konwersja)) liczb z układu binarnego na dziesiętny:
101.012=1Å"22ƒÄ…0Å"21ƒÄ…1Å"20ƒÄ…0Å"2-1ƒÄ…1Å"2-2=5.2510
" Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem
działań w systemie dziesiętnym, i opierają się na elementarnych
działaniach:
1ƒÄ…0=1
1ƒÄ…1=10
1Å"0=0
1Å"1=1
10-1=1
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 6
" Przykład dodawania w systemie dwójkowym:
" Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:
" Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 7
3.2. Ósemkowy system liczbowy
" Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy
o podstawie 8.
" System ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od słowa octal.
" Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
" W systemie tym liczby zapisuje się jako ciągi cyfr, z których każda jest
mnożnikiem kolejnej potęgi 8.
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 8
" Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100,
w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż:
1448=1Å"82ƒÄ…4Å"81ƒÄ…4Å"80=64ƒÄ…32ƒÄ…4=10010.
" Przykład zamiany liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy:
100/8 = 12 i 4 reszty
12/8 = 1 i 4 reszty
1/8 = 0 i 1 reszty
10010=1448
Teraz czytamy reszty od dołu:
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 9
3.3. Szesnastkowy system liczbowy
" Szesnastkowy system liczbowy (czasem nazywany heksadecymalnym,
skrót hex)  pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba
16.
" Skrót hex pochodzi od angielskiej nazwy hexadecimal. Do zapisu liczb
w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr.
" Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter
alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F (dużych lub małych).
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 10
" Zapisy cyfr szesnastkowych w różnych systemach:
0hex = 0dec = 0oct 0 0 0 0 8hex = 8dec = 10oct 1 0 0 0
1hex = 1dec = 1oct 0 0 0 1 9hex = 9dec = 11oct 1 0 0 1
2hex = 2dec = 2oct 0 0 1 0 Ahex = 10dec = 12oct 1 0 1 0
3hex = 3dec = 3oct 0 0 1 1 Bhex = 11dec = 13oct 1 0 1 1
4hex = 4dec = 4oct 0 1 0 0 Chex = 12dec = 14oct 1 1 0 0
5hex = 5dec = 5oct 0 1 0 1 Dhex = 13dec = 15oct 1 1 0 1
6hex = 6dec = 6oct 0 1 1 0 Ehex = 14dec = 16oct 1 1 1 0
7hex = 7dec = 7oct 0 1 1 1 Fhex = 15dec = 17oct 1 1 1 1
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 11
" Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu
jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi
liczby stanowiÄ…cej podstawÄ™ systemu.
" Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000,
w systemie szesnastkowym przybiera postać 3E8, gdyż:
3E816=3Å"162ƒÄ…14Å"161ƒÄ…8Å"160=768ƒÄ…224ƒÄ…8=100010
" W praktyce najczęściej stosuje się szesnastkowy system liczbowy
w informatyce.
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 12
" Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2
oraz dzielą się przez 8 i 16, często stosowany jest system
heksadecymalny.
" Wartość pojedynczego bajta można opisać używając tylko dwóch cyfr
szesnastkowych i odwrotnie - dowolne dwie cyfry szesnastkowe można
zapisać jako bajt.
" W ten sposób kolejne bajty można łatwo przedstawić w postaci ciągu
cyfr szesnastkowych. Jednocześnie zapis 4 bitów można prosto
przełożyć na jedną cyfrę szesnastkową.
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 13
" System szesnastkowy sprawdza się szczególnie przy zapisie dużych
liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. Na przykład:
216 = 65.536dec = 1.0000hex
224 = 16.777.216dec = 100.0000hex
232 = 4.294.967.296dec = 1.0000.0000hex
216-1 = 65.535dec = FFFFhex
224-1 = 16.777.215dec = FF.FFFFhex
232-1 = 4.294.967.295dec = FFFF.FFFFhex
FFFFhex, FF.FFFFhex i FFFF.FFFFhex są krótsze i łatwiejsze do
zapamiętania.
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 14
" W matematyce podstawę liczb zapisanych w systemach niedziesiętnych
dopisuje siÄ™ czasem w dolnym indeksie (zapisanÄ… w systemie
dziesiętnym). Konwencja ta nie jest używana w informatyce.
" W różnych językach programowania zapis liczb szesnastkowych
wyglÄ…da rozmaicie:
ć% C, C++, C#, Java - stosuje się prefiks 0x (zero oraz x) np.
0x102f, a w ciÄ…gach tekstowych \x, np. "\x2f"
ć% W Javie można też stosować szesnastkowe liczby
zmiennoprzecinkowe, oraz używać litery p jako wykładnika
binarnego, analogicznie jak litera e używana jest w roli wykładnika
dziesiętnego, np.
ć% Pascal - stosuje się prefiks $, np. $102f
dr Tomasz Walczyński, Technologia informacyjna, I rok Biotechnologii 15
" Niektóre wersje asemblera - za liczbą litera h, np 102fh, lub
podobnie jak w C prefix 0x
" HTML - kolory RGB (Red - Czerwony, Green - Zielony, Blue -
Niebieski) zapisuje siÄ™ jako 3 liczby hex od 0 do FF(255)
poprzedzone znakiem #, np. różowy - #FF8080, szary - #808080,
czarny - #000000. Zapis ten dotyczy koloru 24-bitowego
przypisywanego różnym elementom graficznym dokumentu
HTML.