Estymacja modeli wielorównaniowych
Wybór metody szacowania modelu wielorównaniowego zależy od struktury modelu. Dlatego przed
estymacją należy określić klasę modelu i zbadać jego identyfikowalność.
m k
y1t =� ylt +� z +� e�1t ,
��b�1l ��g�1 j jt
l=�2 j=�1
m k
y2t =� ylt +� zjt +� e�2t ,
��b�2l ��g� 2 j
l =�1
j =�1
l ą�2
M� M� M�
m-�1 k
ymt =� ylt +� zjt +� e�mt ,
��b�ml ��g� mj
l =�1 j =�1
Uwaga:
Standardowo zakłada się homoskedastyczność składników losowych i brak autokorelacji, tzn. dla każdych j
oraz j =1, 2,.., m, cov(e� ,e� ) =� 0 dla t ą� s . Dopuszcza się jednak skorelowanie składników losowych
jt j 's
pochodzących z różnych równań (tzn. pochodzących z tego samego okresu ale różnych równań).
Estymacja parametrów modeli prostych
Najprostszym sposobem szacowania modelu prostego jest estymacja parametrów poszczególnych równań
oddzielnie.
Przykład
W modelu
y1t =� g�11z1t +�g�12 +� e�1t ,
y2t =� g� z1t +�g� +�e�2t .
21 22
Parametry modelu g�11 i g�12 szacuje się biorąc pod uwagę jedynie pierwsze równanie, natomiast parametry g�21 i g�22 estymuje się
na podstawie drugiego równania.
Taki sposób zakłada, że macierz wariancji i kowariancji ma postać:
2
��
s�1 00 0 0 0
����
2
0 s�1 0 0 0 0
����
����
00
����
2
0 0 s�1 0 0 0
����
Cov(�,�) =�
2
����
0 0 0 s� 00
2
����
2
0 0 0 0 s�2 0
����
����
����
2
����
0 0 0 0 0 s�
Ł� 2 ł�
Dopuszczenie skorelowania składników losowych pochodzących z różnych równań pochodzących z tego
samego okresu ale różnych równań oznacza tu, że macierz wariancji i kowariancji ma postać:
2
��
s�1 00 s�12 00
����
2
0 s�1 0 0 s�12 0
����
����
00
����
22
��
0 0 s�1 0 0 s�12 �� s�1 s�12
��
Cov(�,�) =� =� �� I
����
22
��s� 00 s� 00 s�2
��
12 2 Ł�s�12 ł�
����
2
0 s�12 0 0 s�2 0
����
����
����
2
��
0 0 s�12 0 0 s�2 ��
Ł�ł�
1
Jeśli składniki losowe z różnych równań w modelu prostym są skorelowane ze sobą wówczas zaleca się
łączną estymację całego modelu. Model nazywa się wówczas modelem pozornie niezależnych regresji (SUR
-ang. seemingly unrelated regression model). Idea estymacji tego modelu jest taka sama jak w uogólnionej
MNK.
Estymacja parametrów modeli rekurencyjnych
W przypadku modeli rekurencyjnych i modeli o równaniach współzależnych nie można
poszczególnych równań strukturalnych szacować oddzielnie, ponieważ nieopóz
nione zmienne endogeniczne
często są skorelowane ze składnikami losowymi równania, w którym występują jako zmienne objaśniające.
Gdybyśmy zastosowali metodę najmniejszych kwadratów do szacowania parametrów każdego równania
strukturalnego osobno, wówczas estymatory parametrów nie miałyby pożądanych własności1).
Do estymacji modeli rekurencyjnych można wykorzystać następującą metodę:
1. Przekształcamy model tak, aby macierz parametrów przy nieopóz
nionych zmiennych endogenicznych
była macierzą trójkątną.
2. Szacujemy parametry pierwszego równania, w którym w charakterze zmiennych objaśniających
występują jedynie zmienne z góry ustalone.
3. Na podstawie oszacowanych parametrów pierwszego równania wyznaczamy wartości teoretyczne
nieopóz
nionej zmiennej endogenicznej.
4. W kolejnych równaniach, gdzie w charakterze zmiennych objaśniających występują nieopóz
nione
zmiennej endogeniczne, przy estymacji parametrów zamiast wartości empirycznych uwzględniamy
wartości teoretyczne tych zmiennych.
Przykład
Sposób szacowania parametrów modelu rekurencyjnego pokażemy na przykładzie modelu:
y1t =� g�11z1t +�e�1t ,
y2t =� b�21y1t +�g�22z2t +�e�2t ,
y3t =� b�31y1t +� b�32 y2t +�g�31z1t +�e�3t .
B - macierz parametrów przy nieopóz
nionych zmiennych endogenicznych modelu jest macierzą trójkątną:
1 0 0
��ł�
ę�b� 1 0ś� .
B =�
21
��
��
b�32 1��
��b�31
Krok 2.
Szacujemy parametry pierwszego równania.
Krok 3.
Wyznaczamy wartości teoretyczne w
1t .
Krok 4.
Do szacowania parametrów drugiego równania wykorzystujemy zamiast wartości empirycznych y1t wartości teoretyczne w
1t .
Podobnie postępujemy podczas estymacji parametrów trzeciego równania: w miejsce wartości empirycznych y1t podstawiamy
wartości teoretyczne w
1t oraz zamiast wartości empirycznych y2t wartości teoretyczne w
2t .
1)
Estymatory uzyskane klasyczną metodą najmniejszych kwadratów nie są zgodne.
2
Estymacja parametrów modeli o równaniach współzależnych
Najprostszą metodą szacowania parametrów modelu jednoznacznie identyfikowalnego jest pośrednia
metoda najmniejszych kwadratów (ang. indirect least squares). Idea tej metody opiera się na fakcie, że w
przypadku jednoznacznej identyfikowalności modelu można w sposób jednoznaczny wyznaczyć parametry
postaci strukturalnej na podstawie parametrów postaci zredukowanej modelu. Postępowanie w przypadku
pośredniej metody najmniejszych kwadratów (w skrócie: PMNK) jest następujące.
1. Szacujemy parametry postaci zredukowanej modelu Yt =� Zt +� �t .
2. Wykorzystując związek pomiędzy macierzami postaci strukturalnej i postaci zredukowanej:  =� -�B-�1�
wyznaczamy oceny parametrów postaci strukturalnej. Oznaczmy przez bil ocenę parametru b�il, przez cij
Ć
ocenę parametru g�ij oraz przez pij ocenę parametru p�ij i,l= 1,2,...,m, j= 1,2,...,k, zaś przez B , C i P
macierze ocen parametrów odpowiednio macierzy B, G� i P�. Oceny parametrów postaci strukturalnej
Ć
wyznaczamy zatem z układu równań ł �� P =� -�C .
UWAGA: Ponieważ na podstawie na podstawie postaci zredukowanej można wyznaczyć postać
strukturalną wtedy, gdy model jest jednoznacznie identyfikowalny, to pośrednią metodę najmniejszych
kwadratów można stosować jedynie dla modeli jednoznacznie identyfikowalnych.
Inną metodą szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych jest podwójna metoda
najmniejszych kwadratów (ang. two-stage least squares). W skrócie można ją oznaczyć jako 2MNK (ang.
2LS). Metoda ta znajduje zastosowanie w przypadku modeli identyfikowalnych zarówno jednoznacznie jak
i niejednoznacznie. Idea tej metody polega na dwukrotnym zastosowaniu metody najmniejszych kwadratów.
Postępowanie w przypadku 2MNK jest następujące.
1. Szacujemy parametry postaci zredukowanej modelu Yt =� Zt +� �t .
2. Wyznaczamy oceny parametrów postaci strukturalnej modelu w ten sposób, że zamiast wartości
obserwacji zmiennych łącznie współzależnych, które pełnią w równaniu rolę zmiennych objaśniających
wykorzystujemy wartości teoretyczne tych zmiennych obliczone w kroku 1. Innymi słowy przy
m k
estymacji parametrów i-tego równania: yit =� ylt +� z +� e�it , zamiast ylt, l ą� i , uwzględniamy
il ij jt
��b� ��g�
l=�1
j=�1
lą�i
w
lt, l ą� i .
Przedstawione 2 metody szacowania parametrów modeli o równaniach łącznie współzależnych są
przykładami metod polegających na estymacji poszczególnych równań oddzielnie. Do wyznaczenia ocen
parametrów możemy wykorzystać zatem pakiety statystyczne Statgraphics, Statistica, SPSS czy arkusz
kalkulacyjny Excel. Do szacowania parametrów modeli o równaniach łącznie współzależnych stosuje się
także metody estymacji łącznej parametrów układów równań. Metody te uwzględniają związki korelacyjne
pomiędzy składnikami losowymi modelu. Przykładami metody estymacji łącznej parametrów modelu są:
potrójna metoda najmniejszych kwadratów i metoda największej wiarygodności z pełną informacją. W
potrójnej metodzie najmniejszych kwadratów (3MNK)- idea taka sama jak w podwójnej metodzie
3
najmniejszych kwadratów, z tą różnicą, że dopuszcza się skorelowanie składników losowych pochodzących
z różnych równań (tzn. pochodzących z tego samego okresu ale różnych równań).
Informacje na temat sposobu szacowania modelu oraz własności estymatorów w przypadku
zastosowania różnych metod estymacji można znalez
ć w m.in. podręcznikach: Greene a i Welfego. Do
estymacji i weryfikacji modeli wielorównaniowych można wykorzystać specjalistyczne programy
ekonometryczne takie jak RATS, TSP, Stata, PcGIVE, Gretl.
UWAGA: Dla modelu jednoznacznie identyfikowalnego wszystkie wymienione metody szacowania
parametrów dają takie same wyniki.
4
Weryfikacja modelu wielorównaniowego
Model wielorównaniowy, podobnie jak model jednorównaniowy, należy poddać weryfikacji. Weryfikacja
statystyczna powinna obejmować zbadanie:
�� stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi,
�� jakości ocen parametrów strukturalnych,
�� rozkładu składników losowych.
Dla modeli wielorównaniowych chcielibyśmy mieć miarę określającą dopasowanie modelu do danych
empirycznych - odpowiednik współczynnika determinacji R2. Najczęściej stosuje się wtedy  zwykły
współczynnik determinacji osobno do każdego równania. Współczynnik ten określa się jako kwadrat
współczynnika korelacji wielorakiej w poszczególnym równaniu strukturalnym.
Jeśli chodzi o zbadanie jakości ocen parametrów strukturalnych, chcemy tu jedynie zwrócić uwagę na
pewne trudności. Na przykład, w przypadku pośredniej metody najmniejszych kwadratów elementy
macierzy B i G� są zwykle nieliniowymi funkcjami elementów macierzy P�. Nie ma wówczas możliwości
wyznaczenia standardowych błędów szacunku parametrów strukturalnych. Ponadto, w przypadku metod
estymacji modeli wielorównaniowych badanie istotności parametrów strukturalnych jest możliwe tylko dla
dużych prób2).
Składniki losowe modelu powinny spełniać pewne założenia (por. Greene, Welfe), np. powinny być
homoskedastyczne i nieskorelowane w czasie. Do weryfikacji tych założeń należy przeprowadzić
odpowiednie testy.
2)
Stosunek estymatora parametru do standardowego błędu szacunku parametru w przypadku małych prób nie ma rozkładu
normalnego.
5