[Podstawy ekonometrii]
POŚREDNIA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (PMNK)
Ma zastosowanie do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych
jednoznacznie identyfikowalnych. Do uzyskania parametrów postaci strukturalnej modelu
wykorzystuje się oceny parametrów postaci zredukowanej.
a) Sprowadzamy model do postaci zredukowanej
b) Za pomocÄ… kmnk szacujemy parametry postaci zredukowanej modelu.
c) Aby wyznaczyć parametry postaci strukturalnej korzystamy z równia
identyfikacyjnego modelu: -ð A =ð B ×ðC
Wada: w formie strukturalne nie uzyskuje siÄ™ macierzy wariancji i kowariancji estymatora, co
uniemożliwia ocenę istotności parametrów strukturalnych modelu.
Przykład:
Dany jest model o równaniach współzależnych:
y1t =ð að10 +ð bð12y2t +ðað11X1t +ðeð1t
,
y2t =ð að20 +ð bð21y1t +ðað22X2t +ðeð2t
którego forma strukturalna ma postać:
x0
éð Å‚ð
1 -ð bð12 y1t -ðað10 -ðað11 0 eð1t
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ðx Å›ð
×ð +ð ×ð =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ðy Å›ð Ä™ð
0 -ðað22 Å›ð Ä™ð 1t Å›ð Ä™ðeð2t Å›ð
ëð-ð bð21 1 ûð ëð 2t ûð ëð-ðað20 ûð ëð ûð
Ä™ð Å›ð
ëðx2t ûð
Budujemy postać zredukowaną modelu:
x0
éð Å‚ð
y1t c10 c11 c12 Ä™ðx Å›ð hð1t
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
=ð ×ð +ð ,
1t
Ä™ðy Å›ð Ä™ðc c21 c22 Å›ð Ä™ðhð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð 2t ûð ëð 20 ûð ëð 2t ûð
Ä™ð Å›ð
ëðx2t ûð
której parametry wyznaczamy na podstawie próby statystycznej. Załóżmy, że w wyniku
estymacji uzyskaliśmy:
w
1t =ð 3,5 +ð 0,2X1t -ð 0,5X2t
w
2t =ð 3,2 +ð 0,3X1t +ð 0,1X2t
1
[Podstawy ekonometrii]
3,5 0,2 -ð 0,5
éð Å‚ð
Macierz C ma zatem postać: Ä™ð .
ëð3,2 0,3 0,1Å›ð
ûð
Równanie identyfikacyjne modelu wynosi: -ð A =ð B ×ðC
Podstawiamy macierze do równania identyfikacyjnego:
-ðað10 -ðað11 0 éð Å‚ð 3,5 0,2 -ð 0,5
Ć Ć
éð Å‚ð 1 -ð bðĆ éð Å‚ð
12
-ð =ð ×ð
Å›ð
Ä™ð Ä™ð3,2 0,3 0,1Å›ð ,
Ć 0 -ðað22 Å›ð Ä™ð
Ć
1
ëð-ðað20 ûð ëð ûð
ëð-ð bðĆ21 ûð
a następnie wykonujemy działania:
að10 að11 0 éð Å‚ð
Ć Ć
éð Å‚ð 3,5 -ð 3,2bðĆ 0,2 -ð 0,3bðĆ -ð 0,5 -ð 0,1bðĆ
12 12 12
=ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ðað 0 að22 Å›ð
Ć Ć
+ð 3,2 -ð 0,2bðĆ +ð 0,3 0,5bðĆ +ð 0,1ûð
ëð 20 ûð
ëð-ð 3,5bðĆ21 21 21
Dwie macierze, o zgodnych wymiarach, są sobie równe jeśli wartości elementów na
poszczególnych pozycjach są sobie równe, tzn.
ìð ìð
að10 =ð 3,5 -ð 3,2bðĆ að20 =ð -ð3,5bðĆ +ð 3,2
Ć Ć
12 21
ïð ïð
Ć 0 =ð -ð0,2bðĆ +ð 0,3
íðað =ð 0,2 -ð 0,3bðĆ íð
11 12 21
ïð ïð
0 =ð -ð0,5 -ð 0,1bðĆ að22 =ð 0,5bðĆ +ð 0,1
Ć
12 21
îð îð
W ten sposób uzyskujemy dwa układy równań o trzech niewiadomych, po rozwiązaniu których
uzyskujemy oceny parametrów postaci strukturalnej modelu:
ìð
að10 =ð 3,5 -ð 3,2bðĆ Þð að10 =ð 19,50
Ć Ć
12
ïð
að11 =ð 0,2 -ð 0,3bðĆ Þð að11 =ð 1,70
Ć Ć
íð
12
ïð
0 =ð -ð0,5 -ð 0,1bðĆ Þð bðĆ =ð -ð5,00
12 12
îð
ìð
að20 =ð -ð3,5bðĆ +ð 3,2 Þð að20 =ð -ð2,05
Ć Ć
21
ïð
0 =ð -ð0,2bðĆ +ð 0,3 Þð bðĆ =ð 1,50
íð
21 21
ïð
að22 =ð 0,5bðĆ +ð 0,1Þð að22 =ð 0,85
Ć Ć
21
îð
Forma strukturalna modelu ma zatem postać:
w
1t =ð 19,5 -ð 5,0y2t +ð1,7X1t
w
2t =ð -ð2,05 +ð1,50y1t +ð 0,85X2t
2
[Podstawy ekonometrii]
PODWÓJNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (2MNK)
Może być stosowana do szacowania parametrów modeli o równaniach jednoznacznie i
niejednoznacznie identyfikowalnych. Polega na zastÄ…pieniu zmiennych Å‚Ä…cznie
współzależnych, pełniących rolę zmiennych objaśniających, ich wartościami teoretycznymi
uzyskanymi w wyniku estymacji parametrów postaci zredukowanej.
a) Budujemy postać zredukowaną modelu.
b) Za pomocÄ… kmnk szacujemy parametry formy zredukowanej modelu
i wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennych łącznie współzależnych.
c) Zmienne łącznie współzależne, pełniące rolę zmiennych objaśniających w
postaci strukturalnej zastępujemy wartościami teoretycznymi tych zmiennych
uzyskanymi z postaci zredukowanej.
d) Oceny parametrów postaci strukturalnej szacujemy za pomocą kmnk.
3