Modele wielorównaniowe -
- część 1
[Podstawy ekonometrii]
Model ekonometryczny:
równanie bądz
układ równań, przedstawiający stochastyczną zależność
pomiędzy zasadniczymi zmiennymi charakteryzującymi badane zjawisko
ekonomiczne.
Wielorównaniowy model ekonometryczny:
model złożony z co najmniej dwóch równań, z których przynamniej jedno ma
charakter stochastyczny, przy czym każde równanie opisuje jedną zmienną.
[Podstawy ekonometrii]
Przykład 1: liniowy  naiwny makromodel gospodarki USA
Ct =ð að0 +ð að1Xt +ð að2Ct -ð1 +ð eðt1
It =ð bð0 +ð bð1Rt -ð1 +ð bð2Yt +ð eðt2
Rt =ð gð +ð gð1Yt +ð gð Mt +ð eð3t
0 2
Yt =ð Ct +ð It +ð Gt +ð Et
Xt =ð Yt -ð Tt
gdzie:
Ct  konsumpcja (wydatki na cele konsumpcyjne), Xt  dochód do dyspozycji, Yt 
dochód (wielkość PKB), It  inwestycje, Rt  stopa procentowa, Mt  podaż pieniądza,
Gt  wydatki rzÄ…dowe, Et  saldo bilansu handlu zagranicznego, Tt  podatki.
Równania  konsumpcji ,  inwestycji i  stopy procentowej są równaniami
stochastycznymi. Równania  dochodów to tożsamości (równania deterministyczne,
równania bilansowe).
[Podstawy ekonometrii]
Przykład 2: model Kleina I (1950)
Ct =ð að0 +ðað1Pt +ðað2Pt-ð1 +ðað3(Wt +ðWts ) +ð eðt1üð
ïð
ïðrów nania stochastyczne
It =ð bð0 +ð bð1Pt +ð bð2Pt-ð1 +ðbð Kt-ð1 +ð eðt2
żð
3
ïð
Wt =ð gð +ð gð1Xt +ð gð Xt-ð1 +ð gð3t +ð eð3t
0 2
ïð
þð
Xt =ð Ct +ð It +ð Gt
üð
Pt =ð Xt -ðWt -ðTt ïðrów nania bilansujÄ…c e
żð
Kt =ð Kt-ð1 +ð It ïð
þð
gdzie:
Ct  konsumpcja, It  inwestycje, Wt  płace, WS  płace w sektorze państwowym,
Xt  produkcja, Pt  zysk, Tt  podatki, Gt  wydatki rządowe (poza płacami), Kt 
zasoby kapitału, t  zmienna czasowa.
[Podstawy ekonometrii]
Klasyfikacja zmiennych w modelach wielorównaniowych:
A. Podział na:
żð zmienne endogeniczne
żð zmienne egzogeniczne
B. Podział na:
żð zmienne Å‚Ä…cznie współzależne
żð zmienne z góry ustalone
Zmienne endogeniczne  zmienne opisywane poszczególnymi
równaniami modelu (inaczej zm. wewnętrzne).
Zmienne egzogeniczne  zmienne, których wartości określane są poza
modelem, mają wpływ na badane zjawisko, ale ich zmienność nie jest
wyjaśniana w modelu (inaczej zm. zewnętrzne).
[Podstawy ekonometrii]
Zmienne łącznie współzależne  nieopóz
nione zmienne endogeniczne.
Zmienne z góry ustalone  wszystkie zmienne egzogeniczne i opóz
nione
zmienne endogeniczne.
zmienne endogeniczne egzogeniczne
nieopóz
nione łącznie współzależne
opóz
nione z góry ustalone
[Podstawy ekonometrii]
Postaci modelu:
żð strukturalna,
żð zredukowana,
żð koÅ„cowa (nie stanowi przedmiotu bieżących zajęć).
Postać strukturalna  postać odzwierciedlająca pełną strukturę współzależności
pomiędzy zmiennymi łącznie współzależnymi modelu oraz bezpośrednie
oddziaływanie zmiennych z góry ustalonych na każdą ze zmiennych łącznie
współzależnych.
BY +ð AX =ð eð
gdzie:
Y  wektor zmiennych łącznie współzależnych modelu,
B  macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych łącznie współzależnych,
X  wektor zmiennych z góry ustalonych modelu,
A  macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych z góry ustalonych,
µ  wektor skÅ‚adnika losowego
[Podstawy ekonometrii]
Postać zredukowana  powstaje poprzez eliminację jednoczesnych w czasie powiązań
między nieopóz
nionymi zmiennymi endogenicznymi. Zmienne łącznie współzależne
wyrażone są jedynie przez wszystkie zmienne z góry ustalone.
Y =ð CX +ðhð
gdzie:
Y  wektor zmiennych łącznie współzależnych modelu,
X  wektor zmiennych z góry ustalonych modelu,
C  macierz parametrów strukturalnych przy zmiennych z góry ustalonych,
·  wektor skÅ‚adnika losowego
[Podstawy ekonometrii]
Zależność między parametrami postaci strukturalnej a parametrami postaci
zredukowanej modelu (tzw. równanie identyfikacyjne modelu):
-ð A =ð BC
Zależność między składnikami losowymi obu postaci modelu:
B-ð1eð =ðhð
[Podstawy ekonometrii]
Klasy (rodzaje) modeli wielorównaniowych (ustalane na podstawie postaci strukturalnej):
żð proste  brak powiÄ…zaÅ„ miÄ™dzy zm. Å‚Ä…cznie współzależnymi modelu, macierz B
jest macierzą diagonalną (najczęściej jednostkową),
żð rekurencyjne  powiÄ…zania Å‚aÅ„cuchowe, tylko w jednym kierunku, macierz B jest
macierzą trójkątną lub daje się do takiej sprowadzić (poprzez zmianę kolejności
równań i/lub zmianę numeracji zmiennych),
żð o równaniach współzależnych  powiÄ…zania dwukierunkowe, wystÄ™pujÄ…
bezpośrednie sprzężenia zwrotne lub pośrednie, tzw. zamknięte cykle powiązań,
macierz B nie jest ani macierzÄ… diagonalnÄ…, a i jednostkowÄ… i nie daje siÄ™ do
takich sprowadzić.
[Podstawy ekonometrii]
Przykład 3: model prosty
y1t =ð að10 +ð að11X1t +ð að13y1t -ð1 +ð eð1t
y2t =ð að20 +ð að21X1t +ð að22X +ð eð2t
2t
y3t =ð að30 +ð að32X +ð að33y1t -ð1 +ð eð3t
2t
Postać strukturalna:
X0 ºð1
éð Å‚ð
1 0 0 y1t -ðað10 -ðað11 0 -ðað13 Ä™ð eð1t
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
X1t Å›ð Ä™ðeð Å›ð
Ä™ð0 1 0Å›ð Ä™ðy Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
×ð +ð ×ð =ð
2t 2t
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð-ðað20 -ðað21 -ðað22 0 Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
X
Ä™ð Å›ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 -ðað32 -ðað33ûð Ä™ð 2t Å›ð ëðeð3t ûð
ëð0 0 1ûð Ä™ð y3t Å›ð Ä™ð 30
ëð ûð ëð-ðað
y1t-ð1 ûð
ëð
B Y A X
µ
Graf powiązań między zmiennymi łącznie współzależnymi:
y1t y2t y3t
[Podstawy ekonometrii]
Przykład 4: model rekurencyjny
y1t =ð að11Xt1 +ð eð1t
y2t =ð bð21y1t +ð bð23 y3t +ðað21Xt1 +ð eð2t
y3t =ð bð31y1t +ð að32 y2t -ð1 +ð eð3t
Postać strukturalna:
1 0 0 y1t -ðað11 0 eð1t
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
X1t
éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ðy Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ðeð Å›ð
×ð +ð ×ð =ð
2t 2t
Ä™ðy Å›ð
Ä™ð-ð bð21 1 -ð bð23Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð-ðað21 0 Å›ð Ä™ð Å›ð
Å›ð
ëð 2t-ð1
ûð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð-ð bð31 0 1 Å›ð Ä™ð y3t Å›ð Ä™ð 0 -ðað32ûð ëðeð ûð
ûð ëð ûð ëð 3t
1 0 0
1 0 0 1 0 0 éð Å‚ð
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð bð31 1 0Å›ð
Å›ð
Ä™ð-ð bð21 1 -ð bð23Å›ð Ä™ð-ð bð31 0 1 Å›ð
Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð ëð-ð bð21 -ð bð23 1ûð
ëð-ð bð31 0 1 Å›ð ëð-ð bð21 1 -ð bð23ûð
ûð
y2t
y1t y2t y3t y1t y3t
[Podstawy ekonometrii]
Przykład 5: model o równaniach współzależnych
y1t =ð að10 +ð bð12y2t +ð bð13y3t +ð að11X1t +ð að14y1t -ð1 +ð eð1t
y2t =ð að20 +ð bð21y1t +ð að22X +ð að24y1t -ð1 +ð eð
2t 2t
y3t =ð að30 +ð bð32y2t +ð að32X +ð eð3t
2t
y4t =ð að40 +ð að43X3t +ð að45t +ð eð
4t
Budujemy postać strukturalną:
y1t éð-ðað10 -ðað11 0
éð Å‚ð
1 -ð bð12 -ð bð13 0
éð Å‚ð
0 -ðað14 0 X
Å‚ð éð Å‚ð
0
eð1t
éð Å‚ð
Ä™ðy Å›ð
Ä™ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0Å›ð
X1t
Ä™ð Å›ð
2t
Ä™ð-ð bð21 1 Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ðað20 0 -ðað22 0 -ðað24 0 Å›ð
+
‡ = Ä™ðeð2t
‡
Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 -ð bð32 1 0 Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
y3t -ðað30 0 -ðað32 0 X
Ä™ð Å›ð
0 0
2t
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
3t
Ä™ð Å›ð ëðeð ûð
0 0 0 1ûð 4t
ëð
0 0 -ðað43 0 -ðað45ûð X3t
Ä™ð Å›ð
ëðy ûð
40
ëð-ðað
Ä™ð
y1t-ð1Å›ð
Ä™ð Å›ð
t
Ä™ð Å›ð
Graf powiązań:
ëð ûð
równanie oderwane
y3t
y1t y2t y4t
zamknięty cykl
powiązań
bezpośrednie sprzężenie zwrotne
y2t
y1t y3t
[Podstawy ekonometrii]
Budujemy postać zredukowaną modelu (z przykładu 5):
p. strukturalna:
X0
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
1 -ð bð12 -ð bð13 0 y1t -ðað10 -ðað11 0 0 -ðað14 0 X1t
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
eð1t
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0Å›ð Ä™ðy2t Å›ð Ä™ð X
2t Ä™ðeð Å›ð
Ä™ð-ð bð21 1 Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð-ðað20 0 -ðað22 0 -ðað24 0 Å›ð
×ð +ð ×ð =ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 -ð bð32 1 0 y3t -ðað30 0 -ðað32 0 0 0 X3t Ä™ð 2t Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 0 0 1ûð ëðy4t ûð ëð-ðað40 0 0 -ðað43 0 -ðað45ûð Ä™ðy1t -ð1Å›ð ëðeð3t ûð
ëð
Ä™ð Å›ð
t
Ä™ð Å›ð
ëð ûð
Y =ð CX +ðhð
p. zredukowana:
X
y1t
éð Å‚ð
c10 c11 c12 c13 c14 c15 éð Å‚ð
éð Å‚ð 0
Ä™ðy Å›ð
Ä™ðc c21 c22 c23 c24 c25Å›ð Ä™ð Å›ð éðhð1t Å‚ð
X1t
Ä™ð Å›ð
2t
20 Ä™ðhð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð .
X
2t
2t
Ä™ð Å›ð
y3t = c30 c31 c32 c33 c34 c35 Ä™ð Å›ð + Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
X3t
Ä™ð Å›ð
3t
Ä™ð Å›ð ëðhð ûð
Ä™ð Å›ð
4t
ëðy ûð
40 Ä™ð
ëðc c41 c42 c43 c44 c45ûð y1t-ð1Å›ð
Ä™ð Å›ð
t
Ä™ð Å›ð
ëð ûð
[Podstawy ekonometrii]
Materiał opracowano na podstawie:
1. Witkowska D. [2006]  Podstawy ekonometrii i teorii prognozowania, Oficyna
Ekonomiczna, Kraków,
2. Osińska M (red.) [2007]  Ekonometria współczesna, TNOiK, Toruń,
3. Wiśniewski J.W. [2009]  Mikroekonometria, UMK, Toruń.
Przykłady modeli gospodarek narodowych zaczerpnięto z:
1. Greene, W.H. [2003]  Econometric Analysis, Person Education, Inc., Upper
Saddle River, New Jersey,
2. Studenmund A.H. [1997]  Using econometrics. A practical guide, Addison-
Wesley Educational Publishers.