POLITECHNIKA POZNAC
SKA
ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW
W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADEM TRÓJK
TNYM
Prognostyczne modele uszkodzeń i wymian nieodnawianych obiektów poljazdów
fn(t)
A B C
Materiały pomocnicze do wykładu (v1)
t
[e-mail]
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 1 / 27
WPROWADZENIE
MODELE MATEMATYCZNE
Założenia i przyjęte oznaczenia
Prognostyczny model parametrów rozkładu trójkątnego jako rozkładu
uszkodzeń starzeniowych
Prognostyczny model liczby uszkodzeń obiektów w okresie ich starzenia
PODSUMOWANIE
[e-mail]
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 2 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (1)
1
O
t
1
1
2

b
3
t
2
i 2

4
e 3
t
3
5
.
k
.
6 .
.
t
.
t
.
N
ni ("t), i = 1,2, ...
y

fn (ti ) =
N �" "t
t = 0
fn(t)
T
czas pracy do
A B C
uszkodzenia obiektu
t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 3 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (2)
7
O
t
1
1
8

b
9
t
2
i 2

10
e
t
3
3
11
.
k
.
12 .
.
t
.
t
.
N
ni ("t), i = 1,2, ...
y

fn (ti ) =
N �" "t
t = 0
fn(t)
T
czas pracy do
A B C
uszkodzenia obiektu
t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 4 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (3)
13
O
t
1
1
14

b
15
t
2
2
i

16
e
t
3
3
17
.
k
.
18 .
.
t
.
t
.
N
ni ("t), i = 1,2, ...
y

fn (ti ) =
N �" "t
t = 0
fn(t)
T
czas pracy do
A B C
uszkodzenia obiektu
t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 5 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (4)
19
O
t
1
1
20

b
21
t
2
2
i

22
e
t
3
3
23
.
k
.
24 .
.
t
.
t
.
N
ni ("t), i = 1,2, ...
y

fn (ti ) =
N �" "t
t = 0
fn(t)
T
czas pracy do
A B C
uszkodzenia obiektu
t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 6 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (5)
25
O
t
1
1
26

b
27
t
2
2
i

28
e
t
3
3
29
.
k
.
30 .
.
t
.
t
.
N
ni ("t), i = 1,2, ...
y

fn (ti ) =
N �" "t
t = 0
fn(t)
T
czas pracy do
A B C
uszkodzenia obiektu
t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 7 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (6)
31
O
t
1
1
32

b
33
t
2
2
i

34
e
1
t
3
3
35
.
k
.
36 .
.
t
.
t
.
N
ni ("t), i = 1,2, ...
y

fn (ti ) =
N �" "t
t = 0
fn(t)
T
czas pracy do
A B C
uszkodzenia obiektu
t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 8 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (7)
37
O
t
1
1
38

b
39
t
2
2
i

40
e
1
t
3
3
41
.
k
.
42 .
.
t
.
t
.
N
ni ("t), i = 1,2, ...
y

fn (ti ) =
N �" "t
t = 0
2
fn(t)
T
czas pracy do
A B C
uszkodzenia obiektu
t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 9 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (8)
43
O
t
1
1
44

b
45
t
2
2
i

46
e
t
3
3
47
.
k
.
48 .
.
t
.
t
.
N
ni ("t), i = 1,2, ...
y

fn (ti ) =
N �" "t
t = 0
fn(t)
T
czas pracy do
A B C
uszkodzenia obiektu
t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 10 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
WPROWADZENIE (9)  O ROZKA
ADZIE TRÓJK
TNYM
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa TR(a,b,c)
2�"(t - a)
dla t "(a,b]
(c - a) �"(b - a)
2�"(c - t)
fTR (t; a,b,c) dla t "(b,c]
(c - a)�"(c - b)
0 dla t "(a,c]
Dystrybuanta TR(a,b,c)
0 dla t d" a
(t - a)2
dla a < t d" b
(c - a) �"(b - a)
FTR (t; a,b,c)
2
ab - bc - ac + 2ct - t
dla b < t d" c
(c - a) �"(c - b)
1 dla t > c
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 11 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
 MODELE MATEMATYCZNE
Założenia i przyjęte oznaczenia (1)
1. Obserwowana jest grupa N nieodnawianych obiektów typu mechanicznego. Zakłada się podział tej
grupy obiektów na dwie frakcje (rys. 1). Pierwszą z nich - o liczności Ą - stanowią obiekty, które
ulegają uszkodzeniom wczesnym i przypadkowym. Drugą frakcję obiektów - o liczności Ns - stano-
wią te, które ulegają uszkodzeniom na skutek starzenia. Chwile czasowe przewidywanych uszkodzeń
obiektów tworzą szereg pozycyjny:
t(1),t(2), ...,t(Ą ),t(Ą +1), ... ,t(N ) . (1)
Frakcja pierwsza obiektów Frakcja druga obiektów
t(Ą+�)
t(Ą) t(Ą+1)
t(1) t(2) t(3) t(4) t(N)
ti-1 tp
t0 ti tk tk+r
t1 t2
n("t1,2) n("ti-1,i)
n("t0,1)
� = n("tp,k)
nsk(ti)
Ns = N - Ą = n("tp,k+r)
- oznaczenie chwil uszkodzeń obiektów przed okresem uszkodzeń starzeniowych
- oznaczenie chwil uszkodzeń obiektów w okresie uszkodzeń starzeniowych
Rys. 1. Schemat wybranych oznaczeń w formułach modeli matematycznych
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 12 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
 Założenia i przyjęte oznaczenia (2)
2. Czas obserwacji uszkodzeń obiektów podzielono na przedziały o równej długości (rys. 1):
"ti-1,i = ti - ti -1, i =1,2, ... , p, ... ,k, ... ,k + r, k > p, r =1,2, ... . (2)
3. W kolejnych przedziałach czasu rejestruje się liczby n("ti-1,i) uszkodzeń obiektów, a w chwilach
pokrywających się z górnymi granicami przedziałów czasowych wyznacza się skumulowane
liczby uszkodzeń (rys. 1):
i
nsk (ti ) = ("t� -1,� ), i =1,2, ... , p, ... ,k, ... ,k + r, k > p, r =1,2, ... . (3)
"n
� =1
4. Zakłada się, że rozkład czasu T do uszkodzeń obiektów nieodnawianych zaliczonych do frakcji
drugiej jest rozkładem trójkątnym TR(a,b,c).
5. Przyjmuje się, że początek uszkodzeń starzeniowych przypada na chwilę tp (rys. 1), tzn. przyjmu-
je się, że uszkodzenie pierwszego obiektu będące wynikiem jego starzenia pokrywa się z chwilą
tp. Zakłada się, że proces starzenia przebiega tak, że wszystkie Ns obiektów drugiej frakcji
uszkadza się do chwili tk+r . Z założeń tych wynika, że:
t(m) " t ,tk +r , m = Ą + 1,Ą + 2, ... , N . (4)
p
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 13 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
 MODELE MATEMATYCZNE
Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (1)
Prognostyczny model parametrów rozkładu obiektów to formuły matematyczne na estymatory
parametrów rozkładu czasu T do uszkodzeń starzeniowych obiektów (rozkład trójkątny TR(a,b,c)). Es-
tymatory te oszacowuje się na podstawie liczby n("tp,k) uszkodzeń obiektów w okresie od chwili tp do
chwili tk oraz liczności Ns obiektów, dla których przewiduje się, że ulegną uszkodzeniom na skutek ich
starzenia. Schemat ideowy tego prognostycznego modelu przedstawiono na rys. 2.
n("tp,k) {n("tp,k), Ns} TR(a,b,c)
Ns
b c
czas
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk
Rys. 2. Schemat ideowy prognostycznego modelu parametrów rozkładu uszkodzeń obiektów
w okresie uszkodzeń starzeniowych
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 14 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
 Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (2)
Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (2)
n("tp,k)
{n("tp,k), Ns} TR(a,b,c)
Ns
1
n("tp,k)d" Ns
1
b c czas
2
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk
tk-1
n("tp,k)
{n("tp,k), Ns} TR(a,b,c)
Ns
1
n("tp,k)> Ns 2
b c czas
2
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk-1
tk-2 tk
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 15 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
 Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (3)
Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (3)
n("tp,k)
{n("tp,k), Ns} TR(a,b,c)
Ns
1
n("tp,k)d" Ns
b c czas
2
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk
tk-1
1
(b - t )�" f (b) = 1 f (b) =
p
b - t
p
2
tk - t b - t tk - t (b - t )
tk - tp b - tp
p p p p
= = =
1
f (tk ) f (b) f (tk ) f (tk ) 1
b - t
p
tk - t tk - t
p p
b - t = b = t +
p p
f (tk ) f (tk )
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 16 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
ale
ale
(tk p
n("tp,k) P"p,k = - t )�" f (tk )
P"p,k =
Ns 2
n("tp,k) (tk - tp)�" f (tk )
=
Ns 2
2 �" n("tp,k)
f (tk ) =
Ns �"(tk - tp)
a stąd
2
tk - t
tk - tp Ns �"(tk - tp)
p
b = t + b = tp + b = tp +
p
2 �" n("tp,k )
f (tk ) 2 �" n("tp,k )
Ns �"(tk - tp)
Ą# ń#
Ns Ns
Ć
b = tp + (tk - tp)�" + 0,5
2 �" n("tp,k) a stąd b = entó#tp + (tk - tp)�" 2 �" n("tp,k)Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 17 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
n("tp,k)
{n("tp,k), Ns} TR(a,b,c)
Ns
1
n("tp,k)d" Ns
b c czas
2
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk
tk-1
Estymatory parametrów rozkładu dla przypadku 1:
Estymatory parametrów rozkładu dla przypadku 1:
� = tp
p
Ą# ń#
Ns
Ć
()
TR(a,b,c) b = ent tp + tk - tp �"
ó#
2 �" n("tp,k)+ 0,5Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#

= tp + 2 �"(b - a)
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 18 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
 Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (4)
Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (4)
n("tp,k)
{n("tp,k), Ns} TR(a,b,c)
Ns
1
n( "tp,k)> Ns
b c czas
2
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk-1
tk-2 tk
ti-1
ti
Poszukuje się przedziału czasu (ti-1, ti] życia grupy obiektów, dla którego spełnione są warunki:
Poszukuje się przedziału czasu (ti-1, ti] życia grupy obiektów, dla którego spełnione są warunki:
1 1
n("tp,i-1)< Ns i n("tp,i)e" Ns
2 2
Jeżeli:
"ti-1,i = ti - ti-1
n("ti-1,b)= nsk(b)- nsk (ti-1)
nsk (b) = nsk(tp)+ ent(0,5 �"N +0,5)
s
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 19 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
n("ti-1,b)
w =
n("ti-1,i)
to:
�# ś#
n("ti-1,b)
b = ti-1 + "ti-1,b b = ti-1 + ent(w �" "ti-1,i + 0,5) b = ti-1 + entś#
ś# ź#
n("ti-1,i)�" "ti-1,i + 0,5ź#
�# #
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 20 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
n("tp,k)
{n("tp,k), Ns} TR(a,b,c)
Ns
1
n("tp,k)> Ns
b c czas
2
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk-1
tk-2 tk
ti-1
ti
Estymatory parametrów rozkładu dla przypadku 2:
Estymatory parametrów rozkładu dla przypadku 2:
� tp
a = tp
�# n("ti-1,b) ś#
Ć
TR(a,b,c) b = ti-1 + entś#
ś# ź#
n("ti-1,i)�" "ti-1,i + 0,5ź#
�# #

= tp + 2 �"(b - a)
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 21 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
 Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (5)
Obserwując uszkodzenia obiektów w kolejnych przedziałach czasu można wskazać chwilę tp po-
czątku uszkodzeń starzeniowych. Pomocnym w tym względzie może być śledzenie przebiegów empi-
rycznych postaci funkcji fn(t) gęstości prawdopodobieństwa czasu T do uszkodzenia obiektów i funkcji
n(t) intensywności uszkodzeń. Wartości tych funkcji na końcach przedziałów czasowych wyznacza
się z zależności:
nsk (ti ) - nsk (ti-1) ni ("t), i = 1,2, ... ,
fn (ti ) = = (7)
N �" (ti - ti-1) N �" "t
nsk (ti ) - nsk (ti-1) ni ("t)
n (ti ) = = , i = 1,2, ... . (8)
[N - nsk (ti-1)]�" (ti - ti-1) [N - nsk (ti-1)]�" "t
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 22 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
MODELE MATEMATYCZNE
Prognostyczny model liczby uszkodzeń obiektów w okresie ich starzenia
Idea prognostycznego modelu liczb uszkodzeń obiektów w okresie ich starzenia opiera się na
oszacowanych wcześniej wartościach parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych i znajomości
liczby uszkodzonych obiektów od chwili tp do chwili tk+j-1 początku okresu dokonywania prognozy.
Schemat ideowy algorytmu modelu prognozowania uszkodzeń pokazano na rys. 3.
n("tp,k)
Ns
b c
czas
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk tk+j-1
tk+j
Rys. 3. Schemat ideowy prognostycznego modelu liczb uszkodzeń obiektów w okresie uszkodzeń starzeniowych
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 23 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
Krok 1-szy. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk, tk+1)
n("tp,k+1)
Ns
b c
czas
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk+1
tk
Wiadomo, że:
n("t )
p,k +1
= FTR(tk +1) n("t )= Ns �" FTR(tk +1) , (19)
p,k +1
Ns
a gdy zauważy się, że:
n("t )= n("t )+ n("tk,k +1) , (20)
p,k+1 p,k
to liczbę uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk, tk+1) można wyznaczyć z zależności:
1
ś#
n("tk,k +1)= ent�# Ns �" FTR(tk +1)+ - n("t )
ś# ź#
p,k
. (21)
2
�# #
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 24 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
Krok 2-gi. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+1, tk+2)
Krok 2-gi. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+1, tk+2)
n("tp,k+2)
Ns
b c
czas
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk+1
tk tk+2
Wiadomo, że:
Wiadomo, że:
n("tp,k +2)
= FTR(tk +2) n("tp,k +2)= Ns �" FTR(tk +2) , (19)
Ns
a gdy zauważy się, że:
n("tp,k +2)= n("tp,k +1)+ n("tk +1,k +2) , (20)
to liczbę uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+1, tk+2) można wyznaczyć z zależności:
1
ś#
n("tk +1,k +2)= ent�# Ns �" FTR(tk +2 )+ - n("t )
ś# ź#
p,k +1
2
�# #
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 25 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
Krok j-ty. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+j-1, tk+j)
Krok j-ty. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+j-1, tk+j)
n("tp,k)
Ns
b c
czas
t0 t2 ti-1 ti
t1 a, tp tk tk+j-1
tk+j
Uogólniając wyniki obliczeń uzyskane w krokach 1-szym i 2-gim, można zauważyć, że liczbę
Uogólniając wyniki obliczeń uzyskane w krokach 1-szym i 2-gim, można zauważyć, że liczbę
uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+j-1, tk+j), j =1,2, ... , r, (rys. 3) wskazuje zależność:
uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+j-1, tk+j), j =1,2, ... , r, (rys. 3) wskazuje zależność:
1
ś#
n("tk + j-1,k + j) ent�# Ns �" FTR(tk + j)
= + - n("tp,k + j-1), j = 1,2, ... ,r
ś# ź#
, (23)
2
�# #
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 26 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM
PODSUMOWANIE
MODELE MATEMATYCZNE
Założenia
Prognostyczny model parametrów rozkładu trójkątnego jako rozkładu
uszkodzeń starzeniowych
Prognostyczny model liczby uszkodzeń obiektów w okresie ich starzenia
Plik: PP_Rozkład_trójkątny_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v3] 27 / 27
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH ODWZOROWYWANYM ROZKA
ADAM TRÓJK
TNYM