PRz  AiSD  W5
MODELE OBIEKTÓW STEROWANIA
Bilans masy. Zbiornik z wpływem pod ciśnieniem hydrostatycznym. Bilans energii 
podgrzewacz. Opóz
nienie. Napięciowe sterowanie silnikiem DC. Sterowanie prądowe.
BILANS MASY
1. Metodologia Maxwella (1868)
" Tok postępowania
1) Ułożyć równania dynamiki układu regulacji i zbadać jak zależą ich rozwiązania
(przebiegi) od nastaw regulatora występujących we współczynnikach równań.
2) Wybrać takie nastawy, które dają najlepsze przebiegi ze względu na kształt i
prędkość.
Punktem wyjścia jest ułożenie równania regulowanego obiektu (model matematyczny).
Modelowanie, czyli układanie równań, opiera się o podstawowe prawa fizyki,
termodynamiki, kinetyki chemicznej itp. Dla potrzeb automatyki wystarcza umiarkowana
dokładność modelowania. Ważną zaletą układów ze sprzężeniem zwrotnym jest odporność
na niedokładności modelowania.
" Podstawowy bilans
Bilans masy dotyczy wszelkich obiektów z przepływem cieczy, gazów, par, materiałów
sypkich  zbiorniki, mieszalniki, kotły, reaktory itp.
M = V� = A h � ,
gdzie w przypadku zbiornika:
M  masa cieczy, A  powierzchnia przekroju zbiornika
V  objętość, h  wysokość słupa cieczy
�  gęstość
Równanie bilansu ma postać
dM dh
= A � = �i - �
"qi "q j j
dt dt
i j
qi, qj  przepływy objętościowe (m3/s)
2. Zbiornik z pompą opróżniającą
qwy
qwe
" Dane liczbowe:
A = 2 m2
A
qwe = qwy  średnie przepływy
h
1
" Równanie bilansu
dM dh dh
= A� = qwe � - qwy � : � , A = qwe - qwy
dt dt dt
dh 1
= (qwe - qwy )
dt A
3. Transformata Laplace a (transformacja)
" Transformata Laplace a pozwala zastąpić liniowe równanie różniczkowe o stałych
współczynnikach równaniem algebraicznym w dziedzinie zmiennej zespolonej s
nazywanej operatorem Laplace a.
W s = � + j� część rzeczywista � reprezentuje tłumienie, a część urojona � 
częstotliwość.
Rozwiązywanie równań algebraicznych jest prostsze niż rozwiązywanie równań
różniczkowych. Rozwiązanie w postaci czasowej otrzymuje się korzystając z wzorów
podanych w tabelach odwrotnej transformaty Laplace a. Pakiety komputerowe
wspomagające projektowanie na ogół wymagają danych w notacji Laplace a.
" Definicja transformaty Laplace a funkcji f(t)
"
F(s) = f (t)e-stdt = L{f (t)}
+"
0
gdzie f(t) nie rośnie szybciej niż wykładniczo i f(t)=0 dla t<0.
" Przykład  stała a
f (t) = a dla t e" 0 , f (t) = 0 dla t < 0 .
a
"
"
a a a
-st
F(s) = dt = e-st | = - = t
+"ae - s
0 - s s
0
f (t) = a �"1(t)
1(t)  skok jednostkowy
" Funkcja wykładnicza  f (t) = e-at
" "
"
1 1
-at -(s+a)t
F(s) = e-stdt =
+"e +"e dt = - (s + a) e-(s+a)t | = s + a
0
0 0
1 1 T
a = F(s) = =  T jest nazywane stałą czasową.
1
T Ts +1
s +
T
" Transformata pochodnej (całkowanie  przez części )
" "
"
df df
Lńł (t)�ł = (t)e-stdt = f (t)e-st | - (-s) f (t)e-stdt = - f (0) + s �" F(s) = sF(s) - f0
�ł żł
+" +"
dt dt
0
ół �ł
0 0
ponieważ f (t)e-st 0 dla t " ( f (t) nie rośnie szybciej niż wykładniczo).
2
4. Transmitancja obiektu
" Transformacja Laplace a obydwu stron równania poziomu przy h0 = 0 :
dh 1 1
Lńł �ł = L{qwe - qwy} sH (s) - 0 = [Qwe (s) - Qwy (s)]
�ł żł
dt A A
ół �ł
Qwe (s) - Qwy (s)
H (s) 1
H (s) = lub =
As Qwe (s) - Qwy (s) As
wyjscie
= transmitancja
wejscie
Transmitancja jest stosunkiem wyjścia do wejścia w dziedzinie operatora Laplace a s
i określa właściwości dynamiczne obiektu lub układu regulacji automatycznej.
" Transmitancja całkująca
Całkowanie względem czasu równania poziomu:
t t h t
dh 1 1
dt=
we we
+" +"(q - qwy )dt +"dh = A+"(q - qwy )dt h0 = 0
dt A
0 0 0 0
t h t
ńł �ł
dh 1 �ł 1
�ł
Lńł �ł = L�ł we - qwy )dtżł = h =
�ł żł
we
+"(q +"dh A+"(q - qwy )dt
dt A
ół �ł �ł �ł
ół 0 �ł 0 0
t
ńł �ł
1 �ł �ł F(s)
Ponieważ H (s) = [Qwe (s) - Qwy (s)] zatem L�ł f (t)dtżł =  w ogólnym przypadku.
+"
As s
�ł0 �ł
ół �ł
" Schemat blokowy
Qwy
H
Qwe -
+ 1
A s
Obiekt całkujący (integrator)
5. MATLAB  program tekstowy
" Kod
l  licznik transmitancji
m  mianownik
t  czas
y  wyjście
step( )  odpowiedz
na skok jednostkowy
3
" Wykres  plot( )
Różnica między dopływem a odpływem powoduje ciągłą zmianę poziomu. Układu
sterowania takim obiektem nie wolno wyłączać, bo zbiornik albo zostanie przelany,
albo zupełnie opróżniony.
6. SIMULINK  schemat graficzny
" Ikona lub komenda simulink
Biblioteki
4
" File > New > Model lub lewa ikona (Simulink Library Browser)
Pojawia się puste okno do tworzenia schematu
Zmiana nazwy z Untitled na docelową, np. Zbiornik_1
File > Save as & /Zbiornik_1.mdl  rozszerzenie mdl (model) dodawane automatycznie
" Umieszczenie bloków Step, Gain, Integrator, Scope
Zaznaczyć blok w wybranej bibliotece i przeciągnąć na schemat trzymając lewy klawisz myszy
(lkm).
Sources > Step Continuous > Integrator
Math Operations > Gain Sinks > Scope
" Połączenia
Kliknąć na wyjściu i przeciągnąć do wejścia (trzymając lkm).
" Parametryzacja bloków
2 kliknięcia bloku, wypełnić odpowiednie pola pojawiającego się okna Parameters.
Step b.z. Gain Gain: 0.5 Integrator b.z.
Scope > 2 kl. > Ikona Parameters (druga) w oknie Scope b.z.
5
" Opis sygnału, np. h
Prawym klawiszem myszy (pkm) zaznaczyć połączenie > Signal Properties > Signal
name: h (w razie potrzeby przesunąć trzymając lkm).
Finalny schemat
" Czas symulacji
Simulation > Configuration Parameters: Start time: 0.0
Stop time: 10.0
Type: Variable step (laboratorium  Fixed step)
Uwaga. Krok obliczeń dostosowany automatycznie (Variable step) generuje
ostrzeżenia (Warning) w oknie Matlaba. Nie są one jednak istotne.
" Symulacja
Ikona lub Simulation > Start
2 kliknięcia bloku Scope > ikona Autoscale (lornetka) w pojawiającym się oknie Scope.
6
7. Eksperymentalne wyznaczanie transmitancji  identyfikacja
" Zadanie
Zwiększenie dopływu nad odpływem o wartość
U = 0.1 (10%) powoduje wzrost poziomu y jak
na sąsiednim wykresie (y również wyrażone w
jednostkach względnych). Ile wynosi czas
całkowania Tc w modelu zbiornika zapisanym
jako
1
Y (s) = U (s)
Tcs
" Rozwiązanie
1 1 U
U (s) = U gdzie U = 0.1 Y (s) = U y(t) = t (zob. tabela transformat Laplace a)
s Tcs2 Tc
Odczyt z wykresu: t1 = 8.0, y1 = 0.16 (16%)
U Ut1 0.1�"8
y1 = t1 Tc = = = 5
Tc y1 0.16
1
Transmitancją jest .
5s
ZBIORNIK Z WYPA
YWEM POD CIŚNIENIEM HYDROSTATYCZNYM
1. Dane i model ogólny
qwe
" Dane liczbowe:
A
A= 5 m2
h
h = 10 m
qwe = qwy = 108 m3/h = 0.03 m3/s
s
qwy
" Model ogólny (nieliniowy)
W stanie nominalnym objętość cieczy w zbiorniku nie ulega zmianie.
qwe - qwy = 0 qwy = s 2 g h
qwe - s 2gh = 0  równanie stanu ustalonego
qwe
s =
 powierzchnia swobodna zaworu na odpływie (do obliczenia)
2gh
7
Równanie dynamiki
dh
A = qwe - s 2gh
14 3
4244
dt
funkcja nieliniowa
" Obliczenia dla stanu ustalonego
qwe 0.03
s = = = 0.00214 m2 (= 21.4 cm2 )
2�"9.81�"10
2gh
Pytanie. Jaki poziom uzyska się dla dopływu zmniejszonego, np. 0.02 lub 0.01 m3/s,
przy takim samym stopniu otwarcia zaworu na odpływie?
1 qwe
h = ( )2
2g s
qwe = 0.02 h = 4.45 m, qwe = 0.01 h = 1.11 m, (s = 0.00214)
2. Simulink
" Równanie i schemat
dh 1
= (qwe - s 2gh)
dt A
Wyjaśnienia
 Blok Step posłuży do wprowadzenia 10% zmiany dopływu (po pewnym czasie), tj.
"qwe = 0.003m3/ s .
 Nowe bloki: Sources > Constant, Math Operations > Sum
Math Operations > Math Function (sqrt wybrane w parametryzacji,
zob. niżej).
 Węzeł z wyprowadzeniem sygnału  Ctrl + lkm
" Parametryzacja
Bloki
Step Step time: 1000  zmiana dopływu po 1000 s
Final value: 0.003  "qwe (10%)
Constant Constant value: 0.03  qwe
Gain Gain: 2�9.81  2g
8
Math Function Function: sqrt  wybór z menu
Gain1 Gain: 0.00214  s
Sum List of signs: I++, I+
Gain2 Gain: 1/5  1/A
Integrator Initial condition: 10.0  h , wartość początkowa odpowiadająca
qwe , względem której nastąpi zmiana poziomu.
Scope > 2 kl. > Ikona Parameters (druga) Number of axes: 2  dwa wykresy;
parametryzację Scope zaleca się przeprowadzić przed łączeniem bloków.
Czas symulacji
Simulation > Configuration Parameters > Stop time: 20000  dobrany po próbach
" Simulation > Start
Wzrost poziomu o ponad 2 m po czasie około 17000 s (4.7 godz.)
" Mniejszy dopływ
1) qwe = 0.02  Constant, h = 4.45 m  Integrator/Initial condition
Wzrost poziomu o około 1.5 m po czasie 14000 s (3.9 godz.)
2) qwe = 0.01, h = 1.11 m
Wzrost poziomu o około 0.8 m po czasie 7500 s (2.1 godz.)
9
Własności dynamiczne obiektów sterowania opisanych nieliniowymi równaniami
różniczkowymi zmieniają się wraz z punktem pracy.
3. Model inercyjny I rzędu
" Transmitancje są wygodną formą reprezentacji liniowych równań różniczkowych o
stałych współczynnikach. Modele nieliniowe można przybliżać modelami liniowymi,
czyli transmitancjami, dla niewielkich odchyleń od ustalonego punktu pracy (stanu
nominalnego). W przypadku przebiegów pokazanych wyżej odpowiedni jest model
inercyjny I rzędu w postaci równania różniczkowego.
dy(t)
T + y(t) = ku(t), yo
dt
gdzie: y  wyjście, u  sterowanie, T  stała czasowa, k  wzmocnienie, yo  warunek
początkowy.
" Składowa rozwiązania równania różniczkowego zależna od warunku początkowego
dy
T + y = 0, yo
dt
y t
dy 1 dy 1 dy 1
= - y = - dt = -
+" +"dt
dt T y T y T
yo 0
t
-
1 y t y
T
ln y - ln yo = t ln = - = e
T yo T yo
t
-
T
y(t) = yoe
" Składowa rozwiązania zależna od sterowania
Sterowanie stałe u(t) = U = const  skok w chwili to = 0
dy
T + y = kU, yo = 0
dt
dy 1 dy 1
= - (y - kU ) = - dt
dt T y - kU T
Zmiana zmiennych: x = y - kU, dx = dy, xo = yo - kU = -kU
t t
- -
dx 1
T T
= - dt x = xoe y - kU = -kUe
x T
t
-
T  odpowiedz
skokowa obiektu inercyjnego I rzędu
y(t) = kU (1- e )
10
" Matlab  k, U, T = 1
t=0:0.1:10;
y=step(1, [1 1], t);
plot(t, y), grid
" Wyznaczanie parametrów k, T
yu
Stan ustalony: y(t ") = yu = kU (1- 0) = kU
k =  wzmocnienie
U
Narastanie
t
0 1 2 3 4
T
y
0 0.632 0.865 0.950 0.982
kU
H" 63% 86.5% 95% 98%
Wnioski. Stała czasowa T jest czasem, w ciągu którego odpowiedz
skokowa osiąga
63% wartości ustalonej.
Odpowiedz
skokowa obiektu inercyjnego I rzędu ustala się po czterech
stałych czasowych (z dokładnością 2%).
4. Identyfikacja eksperymentalna modelu zbiornika
" Stan nominalny
qwe = 0.03 m3 / s, h = 10m
skok "qwe = 0.003 (10%) w chwili to = 1000
qwe + qwe = 0.033 h = 12.1  stan ustalony (zob. wykres  Zoom)
"h = 12.1-10 = 2.1m
"h 2.1
Wzmocnienie: k = = = 700m / m3 / s
"qwe 0.003
Stała czasowa: h63% =10 + 0.63�" 2.1 = 11.3m t63% = 4380 (Zoom)
T = t63% - to = 4380 -1000 = 3380 sekund
Transmitancja
"H (s) 700 m
=
"Qwe (s) 3380s +1 m3 / s
11
" Mniejszy dopływ
1) qwe = 0.02, h = 4.45, "qwe = 0.003
1.43
qwe + "qwe = 0.023 h = 5.88 "h = 5.88 - 4.45 =1.43 k = = 476
0.003
h63% = 4.45 + 0.63�"1.88 = 5.35 t63% = 3420 T = 3420 -1000 = 2420
"H (s) 476
=
"Qwe (s) 2420s +1
2) qwe = 0.01, h = 1.11, "qwe = 0.003
0.77
qwe + "qwe = 0.013 h = 1.88 "h = 1.88 -1.11 = 0.77 k = = 256
0.003
h63% = 1.11+ 0.63�" 0.77 = 1.595 t63% = 2345 T = 2345 -1000 = 1345
"H (s) 256
=
"Qwe (s) 1345s +1
Zmiana średniego poziomu w zbiorniku, tzn. punktu pracy, powoduje
zmianę współczynników transmitancji ze względu na nieliniowość modelu.
Regulatory stroi się dla nominalnego punktu pracy. W przypadku, gdy punkt pracy się
zmienia (podczas tzw. regulacji programowej) nastawy regulatora powinny być do
niego dostosowywane (gain scheduling).
5. Porównanie odpowiedzi
" Simulink  różnica odpowiedzi skokowych obydwu modeli (stan nominalny)
Transfer Fun Numerator coefficient: 700
Denominator coefficient: [3380 1]
" Odpowiedzi
Step Step time: 1000, Final value: 0.003
Scope 1) model liniowy
2) różnica odpowiedzi (poziom w zbiorniku)
3) model nieliniowy
12
Różnica poziomów nie przekracza 0.03 m (=3 cm), co stanowi trochę mniej niż 1.5%
całkowitej zmiany poziomu wynoszącej 2.1 m.
Modele zlinearyzowane wystarczają dla projektowania sterowania obiektami
nieliniowymi przy niewielkich odchyleniach od stanów nominalnych.
6. Wpływ zakłócenia
" Stan nominalny: qwe = 0.03, h = 10m ("qwe = 0)
Zwiększenie stopnia otwarcia zaworu na odpływie o 10%, tj. o "s = 0.1�" s = 0.1�" 0.000214m2
Gain1: 0.00214�1.1
" s + "s = 0.00214�"1.1 h = 8.28 "h = 8.28 -10 = -1.72
1.72
k = = 8037m/ m2
0.000214
"H (s) 8037
= -
"S(s) 3380s +1
13
Znak  minus odpowiada spadkowi poziomu; stała czasowa przyjęta z modelu dla
sterowania "qwe .
Zbiorczy model obiektu (stan nominalny)
700 8037
"H (s) = "Qwe (s) - "S(s)
3380s +1 3380s +1
" Schemat blokowy
"qwe
k1
+ "h
1
- Ts +1
Obiekt inercyjny I-go rzędu
"s
k2
k1 = 700m / m3 / s, k2 = 8037m / m2 , T = 3380 sek.
7. Skala czasu i jednostki względne
" Równanie obiektu
d"h
3380 + "h = 700"qwe - 8037"s  sek., m3/s, m2
dt
" Zmiana jednostek czasu na godziny
3380 d"h 700
h
+ "h = "qwe - 8037 "s  th w godzinach
3600 dth 3600
d"h
h
h
0.939 + "h = 0.194 "qwe - 8037 "s  "qwe w m3/h
dth
" Jednostki względne (normalizacja)
"h
y =  wyjście (zmienna procesowa)
h
"qwe "s
u =  sterowanie, z =  zakłócenie
qwe s
"h
d�ł �ł
�ł �ł
h
"h 1 qwe 1 s
h
�ł łł h
0.939 + = 0.194 "qwe h - 8037 "s
dth
h h h s
qwe
dy
0.939 + y = 2.1 u -1.72 z
dth
14
" Schemat blokowy
z
1.72
y
u - 1
2.1
0.939s +1
Model zbiornika po przeskalowaniu czasu i normalizacji zmiennych
(obiekt inercyjny)
Po przeskalowaniu czasu i normalizacji zmiennych (jednostki względne) współczynniki
w równaniu stają się rzędu 1. Jest to istotne dla implementacji w sterowniku ze względu
na dokładność obliczeń numerycznych.
BILANS ENERGII  PODGRZEWACZ
1. Równanie bilansu
" Bilans energii stosuje się do tworzenia modeli matematycznych takich obiektów jak
piece, suszarnie, reaktory, wymiennikownie, podgrzewacze itp.
E = M c T ,
gdzie:
E - energia,
� - gęstość
M - masa ( M = V� ),
T - temperatura
V - objętość obiektu, c - ciepło właściwe
Równanie bilansu można przedstawić jako:
dE dT
= V � c = q � ciTi - q � c T ą " P
" i i " j j j j
dt dt
i j
"P - moc doprowadzona lub odprowadzona
2. Podgrzewacz elektryczny
" Dane liczbowe:
3
�, c, V, T
= .
V 0.01 m ( =10 l )
q
q
0�
=
T 20 C
�, c, T0 �, c, T
0
P,R
U
= �
T 60 C
3
= = �" ( = 2 l/min )
q 0.12 m 3 0.0 333 10 - m 3
/h /s
� =
10 3 kg/m 3
= �"
c 4.19 10 3 J/kg �C
=
U 250 V
15
" Warunki nominalne
q � c T0 - q � c T + P = 0
Bilans dynamiczny
2
dT U
V � c = q � c T0 - q � c T +
dt R
" Obliczenia dla warunków nominalnych
2
U 2502
P = = q � c( T - T0 ) �! R = =11.2&!
R 0.0333�"10-3 �"103 �" 4.19�"103 �" (60 - 20)
Pytanie. Jaką temperaturę uzyska się przy napięciu U=150 V?
2
1 U
T = �" + T0 , U =150 V T = 34.4oC  znaczny spadek temperatury
R
q �c
" Simulink
2
dT 1 U
= [q � c(T0 - T ) + ]
dt V� c R
Step Step time: 200, Final value: 25  10% z U = 250V
Gain 1/11.2  1/R
Gain1 1/(0.01*1000* 4.19*1000)  1/ (V�c)
Gain2 0.0333*0.001*1000* 4.19*1000  q�c
Simulation Stop time 2000
Wzrost o około 8�C w ciągu 1400 s.
16
Mniejsze napięcie: U = 150 V  Constant, Integrator/Initial condition: 34.4
Wzrost o ponad 5�C w ciągu około 1400 s.
3. Model zlinearyzowany
" Sterowanie
U =250V, T = 60�C, "U = 25V (10%)  skok w chwili to =200
8.4
U + "U = 275V T = 68.4�C (Zoom) "T = 68.4 - 60 = 8.4 k = = 0.336 �C / V
25
T63% = 60 + 0.63�"8.4 = 65.3�C t63% = 505 Tcz = 505- 200= 305s  stała czasowa
"T (s) 0.336 �C
=
"U (s) 305s +1 V
" Zakłócenie 1  wzrost temperatury wejściowej To
Z prawej strony równania bilansu widać, że mnożniki To są takie same jak mnożniki T.
Dlatego  wzmocnienie zmiany "To w modelu zlinearyzowanym powinno być
jednostkowe (co można sprawdzić Simulinkiem).
"T (s) 1
=
"To (s) 305s +1
" Zakłócenie 2  wzrost przepływu q o 10%
q + 0.1q =1.1q Gain2  mnożenie dotychczasowego wyrażenia przez 1.1
3.64
1.1q T = 56.36 "T = 56.36 - 60 = -3.64 k = =1.1�"106 �C / m3 / s
0.1�" 0.0333�"10-3
17
" Zbiorczy model
0.336 1 1.1�"106
"T (s) = "U (s) + "To (s) - "Q(s)
305s +1 305s +1 305s +1
" Schemat blokowy
Model podgrzewacza (obiekt inercyjny)
"U
k1
+
"T0
1 "T
+

TCZ s + 1
"q
k2
k1 = 0.336�C / V, k2 =1.1�"106 �C / m3 / s, Tcz = 305s
4. Skala czasu i jednostki względne
" Czas w minutach, przepływ w m3 / h
305 d"T 1.1�"106
+ "T = 0.336"U + "T0 - "qh
60 dtmin 3600
d"T
5 + "T = 0.336"U + "T0 - 305"qh
dtmin
" Jednostki względne
"T "U "To "qn
y = , u = , z1 = , z2 =
T U T qn
"T
d( )
"T 1 U "To 1 qn
T
5 + = 0.336 "U + - 305 "qn �"
dtmin
T T U T T qn
dy
5 + y =1.4u + z1 - 0.61z2
dtmin
z1 z2
0.61
0.61
= 0.46
y
1 1.4
u 1.4
5s +1
18
OPÓy
NIENIE
1. Transport
" W większości procesów technologicznych występuje transport cieczy, gazów,
materiałów sypkich itp. (rurociągi, taśmociągi, podajniki). Pojawia się problem  jak
transport uwzględnić w transmitancji? (opóz
nienie transportowe)
Również przenikanie ciepła przez ściany, mieszanie, dyfuzja itp. odbywa się ze
skończoną prędkością.
u
S
y
�
L
v
� =
u
v
y
L
Opóz
nienie transportowe w kotle rusztowym.
2. Transmitancja i aproksymacja Pad�
" Transmitancja transcedentna
y(t) = u(t -� ) , Y (s) = U (s) �" e-�s
Opóz
nienie jako transmitancja transcedentna
u y
(s w wykładniku)
e-�s
" Aproksymacja opóz
nienia funkcją wymierną  przybliżenie Pad�
Matlab  pade (� , n), n = 1,...,12
�
- s +1
- s +1
2 -�s
�s 2
I rząd: e- E" = , np.: e-2s E"
�
2 +�s
s +1
s +1
2
(�s)2 �s (�s)3 (�s)2 �s
- + + 1 - + - + 1
12 2 120 10 2
e-�s E"
e-�s E"
II: III:
(�s)2 �s (�s)3 (�s)2 �s
+ + 1
+ + + 1
12 2 120 10 2
19
Do projektowania regulatora wystarcza zwykle aproksymacja PadŁ I rzędu.
Transmitancje obiektów technologicznych (energetycznych, chemicznych
i in.) należy zwykle uzupełnić o pewne opóz
nienie, co daje:
1 1 1 1
e-�s, e-�s, e-�s, e-�s.
2
Ts Ts +1 (T1s +1)(T2s +1)
(Ts +1)
Bardzo często wartość � określa się eksperymentalnie.
" Simulink
Continuous > Transport Delay
Time delay: 0.5
Step > Step time: 0
Transmitancja przykładowa 
1
e-0.5s
s2 + 2s +1
NAPI
CIOWE STEROWANIE SILNIKIEM DC
1. Silnik prądu stałego (Direct Current)
" Zastosowanie: starsze napędy obrabiarek, robotów, rejestratorów, suwnic itd. ze
sterowaniem poprzez napięcie wirnika. Napędy małej mocy sterowane wprost z układu
scalonego.
Wadą silników prądu stałego jest stosowanie komutatora. Obecnie zaczynają
przeważać silniki bezkomutatorowe (odpowiedni materiał magnetyczny wirnika i
elektroniczny sterownik impulsowy dla stojana).
i
R �
U
S
Ć
J
N
S
Zasilanie napięciem U generowanym przez sterownik za pośrednictwem wzmacniacza
mocy.
20
2. Uproszczony opis silnika DC
" Równanie napięć
U = SEM + iR
Dla potrzeb modelowania w automatyce pomija się indukcyjność wirnika (L H" 0).
" Równanie momentów
d�
J = Mem - Mo - D�
dt
gdzie:
D  współczynnik tarcia, R  rezystancja komutatora
J  moment bezwładności, Mem  moment elektromagnetyczny
Mo  moment obciążenia
�  prędkość kątowa,
Ć  kąt.
Ponadto
SEM = cs�, M = ksi, D H" 0
em
" Przekształcenia
Chodzi o utworzenie równań wiążących prędkość � z napięciem U i momentem
obciążenia Mo.
Z równania napięć wyznacza się prąd i podstawia do równania momentów
d� U - cs�
J = ks - M �" R
o
dt R
Transformacja Laplace a
J R s &!(s) + kscs &!(s) = ks U (s) - R M (s) / : ks cs
o
�ł �ł ks R
JR
�ł �ł
s +1�ł &!(s) = U (s) - M (s)
�ł
kscs łł kscs kscs o
�ł
�ł �ł
�ł �ł
JR 1 R
�ł
s + 1�ł &!(s) = U (s) - M (s)
�ł �ł
ks cs k2 o
s
1c3 { 1cs
2s �ł 3
�ł
k
�ł T łł
k
z
Ostatecznie
k
k
z
&!(s) = U (s) - M (s)
o
Ts +1 Ts +1
Jest to transmitancja inercyjna, podobnie jak w przypadku zbiornika i podgrzewacza.
21
" Schemat blokowy
Mo
kz
U - &!
1
k
Ts + 1
Model silnika sterowanego napięciowo
Jeśli Mo = 0, to:
&!(s) k
=
U (s) Ts +1
Transmitancje całkiem różnych obiektów fizycznych mogą mieć ten sam charakter.
Zatem w jednolity sposób można analizować i projektować układy, które nimi sterują
(mówi się więc o interdyscyplinarności automatyki).
3. Wyznaczanie transmitancji na podstawie danych znamionowych
" Dane liczbowe:
UN = 24 V
PN = M � = U I
N N N N
nN = 3000 obr/min
PN 100
PN = 100 W
I = = = 4.17 A
N
U 24
N
R = 1 &!
J = 0.004 kg m2
PN 100
M = = = 0.318 Nm
N
2Ą
�
N
3000 �"
60
" Stan jałowy (bez obciążenia)
M = 0 , i H" 0 ,
o
U 24
N
U = cs �N �! cs = = = 0.076 V rd/s
N
2Ą
�N
3000 �"
60
" Stan nominalny
M 0.318
N
M = ks I �! ks = = = 0.076 Nm/A
N N
I 4.17
N
Zatem
M M �N PN U I U
N N N N N
ks = = = = = = cs ,
I I �N �N I �N I �N
N N N N
czyli ks = cs .
J R 1 R
T = = 0.69 s , k = = 13.1 rd/s V , kz = = 1.73 rd/s Nm
cs ks cs kscs
22
Wniosek. Jeżeli napięcie U zwiększymy o 1V, to obroty wzrosną o 13.1 rd/s.
" Transmitancja silnika względem kąta Ć (położenie)
�
Ś
dĆ
� = , = s (s)
dt
Ś
k
k
z
(s) =
o
s(Ts +1)U (s) - s(Ts +1)M (s)
k
 transmitancja całkująca z inercją I rzędu
s(Ts + 1)
Dla danych z przykładu
k 13.1
=
s (Ts +1) s (0.69s +1)
" Matlab
l= 13.1
m= [0.69 1]
t= 0:0.05:5;
om= step (l, m, t);
fi= step (l, [m 0], t);
plot (t, om, t, fi), grid
" Simulink
Multiplekser  dwa wykresy w oknie
Signal Routing > Mux
23
STEROWANIE PR
DOWE
i
1. Układ
R
�
" Prąd i jest ustawiany przez
i
S
Ć
sterownik za pośrednictwem
J
wzmacniacza mocy pracującego
w układzie z
ródła prądu.
N
S
Regulowanym z
ródłem prądu jest następujący układ:
U+ -U- E" 0
-
e - ir E" 0
i
+ 1
S
i H" e
r
e
r
Wzmacniacz z prądowym sprzężeniem zwrotnym
2. Opis
" Teraz korzysta się tylko z równania momentów
d�
J = M - Mo - D� ,
em
dt
gdzie M = ksi , D H" 0
em
d�
J = ks i - M
o
dt
" Transformacja Laplace a
�
J s (s) = ks I (s) - M (s)
o
�s
k M (s)
o
(s) = I (s) - - transmitancja całkująca
Js Js
" Schemat blokowy
Mo
I - &!
1
ks
J s
Istnieje szereg obiektów opisanych przez transmitancję całkującą (jak choćby zbiornik
zamknięty).
24
" Położenie Ć
�
(s) = s Ś(s) ,
ks M (s)
o
 transmitancja podwójnie
Ś(s) = I (s) -
Js2 Js2
całkująca (podwójny integrator)
" Schemat blokowy
Mo
I -
1 Ś
ks
J s2
Sterowanie prądowe uważa się za odpowiedniejsze niż sterowanie napięciowe ponieważ
podwójne całkowanie zapewnia lepszą dokładność śledzenia zmieniającej się wielkości
zadanej. Obecnie jest ono powszechnie stosowane.
Dane z poprzedniego przykładu:
Ś(s) 19
ks 0.076
=
= =19 ,
I(s)
J 0.004
s2
" Matlab
l=19
m= [1 0]
t=0:0.05:5;
om= step (l, m, t);
fi= step (l, [1 0 0], t);
plot (t, om, t, fi), grid
om  parabola
Chcąc zatrzymać silnik należy zmienić kierunek prądu.
Ogólnie biorąc sterowanie obiektami całkującymi (astatycznymi) wymaga nieco bardziej
zaawansowanych algorytmów niż sterowanie obiektami inercyjnymi (statycznymi).
3. Identyfikacja parametru k podwójnego integratora
" Opis
k
Y (s) = U (s)
s2
1 kU
U (s) = U  skok Y (s) =
s
s3
1
y(t) = kUt2  parabola (zob. tabele transformat Laplace a)
2
" Odczyt z wykresu: t1 y1
1 2y1
2
y1 = kUt1 k =
2
2 Ut1
25