Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
D(s) N(s)
Y(s)
E(s)
R(s)
F(s) C(s) P(s)
U(s) v(s)
n(s)
regulator obiekt
F(s)=1  sprz. od uchybu
2
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
6 transmitancji:
Na zakłócenie
Na sygnał zadający
TYR
TYN , , ;
TYD
FPC P 1
FPC P - PC
Y = R + D + N
n = R + D + N
, ,
1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC
FC 1 - C
v = R + D + N
,
Na szum pomiarowy
1+ PC 1+ PC 1+ PC
P(s)C(s) Transmitancja układu otwartego
1
funkcja wrażliwości
S( s ) =
S(s) + TYR(s) = 1
1+ P(s)C(s)
TUN , TUD ,
TUR :
FC - PC - C
F - P -1
U = R + D + N
E = R + D + N
,
1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC
3
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
Silnik serwo
Uwzględnia maszynę roboczą
d�
= �
dt
�a(t)
r(t)
d�
e(t)
J = �( t ) - B�( t ) - M0( t )
Układ pomiaru i
dt
�a(t)
sterowania
r(t)
Wzmacniacz
�(t ) = K�i(t ) = K�i(t )
mocy
zakłócenie
di
u( t ) = L + Ri( t ) + em( t )
silnik
dt
u(t)
� (t)
em( t ) = K1��( t ) = Km�( t )
4
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
1
�( s) = �( s)
s
Js�(s) = K�i(s) - B�(s) - M0(s)
u(s) = Lsi(s) + Ri(s) + Km�(s)
1
1
R
i(s) = u(s) - Km�(s) = u(s) - Km�(s)
() ()
L
Ls + R
s +1
R
1
1
B
�(s) = K�i(s) - M0(s) = K�i(s) - M0(s)
() ()
J
Js + B
s +1
B
5
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
1
1
�
u
1
B
R
�
K�
J
L
s
s +1
s +1
B
R
-M0
-Km
K�
K�
RB
L H" 0 �! T�u = =
JK� Km
�# JRs + RB + K� Km
s +1ś# +
ś#ź#
BRB
�# #
6
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
r
�a
�
u
1
K�
C( s )
Kp
JRs + RB + K� Km
s
-KM M0
-1
11
N
R
K� B
LJ K�
s +1 s +1
K� K�
RB RB
T�u == =
L H"~ 0 �! T�u =
11
LJ K� Km L
�# �#
JRs + RB + K� Km
()
()
ź#ś#ź# ź#
1+ Km R K� B ś# R s +1ś#�# s +1ś# + RB ś# R s +1ś# JRs + RB + K� Km
B
�# #�# # �# #
LJ
s +1 s +1
RB
7
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
K0
L H" 0 �! T� u =
a
JRs + RB + K� Km s
()
r �a
�
u
1
K�
C( s )
Kp
JRs + RB + K� Km
s
-KM M0
-1
N
8
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
K0 44
T� u == =
a
�# L ś# s( s +1)( s + 2 ) s( s2 + 3s + 2 )
�#
s
()
ś#ź#
ś#�# R s +1ś# JRs + RB + K� Km ź#
#
�# #
r �a
�
u
K�
1
L
�#
C( s )
Kp
s +1ś# JRs + RB + K� Km
()
ś# ź#
R
�# #
s
-Mz
-1
9
NAutomatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
C(s)=1:
4
4
s( s2 + 3s + 2 )
T� r ==
a
4
s( s2 + 3s + 2 ) + 4
1+
s( s2 + 3s + 2 )
po zamknięciu stabilny,
małe zapasy stabilności,
przy wymuszeniu jednostkowym uchyb
ustalony zerowy,
przy wymuszeniu narastającym liniowo
0
uchyb ustalony=0.5
-45
bieguny układu zamkniętego:
-90
s3 + 3s2 + 2s + 4 = 0
:
-2.7963
-0.1018 + 1.1917j
-0.1018 - 1.1917j
10
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
Taką transmitancję można przedstawić jako równoległe połączenie układu inercyjnego o biegunie
-2.7963 i oscylacyjnego o biegunach -0.1018 + 1.1917j i -0.1018 - 1.1917j. W odpowiedzi możemy
spodziewać się składowej aperiodycznej zanikającej jak exp(-2.7963t), czyli ze stałą czasową
1/2.7963=0.3576 i składowej oscylacyjnej o obwiedni zanikającej jak exp(-0.1018t), czyli ze stałą
czasową 1/0.1018=9.82, wypełnionej oscylacjami o okresie 2Ą/1.1917=5.27.
Dla tego układu można wyznaczyć opis w przestrzeni stanów:
d
x( t ) = Ax( t ) + Br( t ) równanie stanu
dt
�a(t ) = Cx(t ) + Dr(t ) równanie wyjścia
0 1 0 0
Ą#ń# Ą# ń#
ó# ó#0Ą#
A = 0 0 1Ą# B = C = 4 0 0 D = 0
[]
np. ó#Ą# ó# Ą#
ó#-4 -2 3Ą# ó#1Ą#
Ł#Ś# Ł# Ś#
wartości własne macierzy A są takie same jak bieguny transmitancji i
adj sI - A
( )
-1
T� r( s ) = C sI - A B + D = C B + D
()
a
det sI - A
().
11
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
Rozwiązanie równania stanu można otrzymać np. ze wzoru
tt
nn n
Ą# ń#
si t-�
st ( ) st -� si
i i
x( t ) =
"e vwiT x0 + "e vwiT Bu(� )d� = "e vwiT ó#x + Ą#
i i i 0
+"+"e Bu(� )d�
i=1 i=1 i=1
00 Ś#
Ł#
12
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
13
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
1 s( s2 + 3s + 2 )
S ==
4
s( s2 + 3s + 2 ) + 4
1+
s( s2 + 3s + 2 )
14
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
Zwiększenie współczynnika
wzmocnienia układu otwartego do
wartości 10^(3.52/20)=1.4997
doprowadzi do utraty stabilności.
Podobnie włączenie opóz
nienia
dającego przesunięcie fazowe
11.4deg przy pulsacji 1.14 rad/sek
czyli 0.1745 sek.
Zmniejszając współczynnik
wzmocnienia układu otwartego
potrafimy powiększyć zapasy
stabilności kosztem zmniejszenia
pasma przenoszenia i wzrostu
uchybu ustalonego przy
wymuszeniu liniowym. Np. dla
C=0.16.
15
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
16
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
17
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
18
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
19
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
Kompensator opóz
niający fazę:
Ts +1
C( s ) = ą , ą > 1
ąTs +1
wzmocnienie dla małych częstotliwości, ale niekorzystne
opóz
nienie fazy
20
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
T=1/0.04=25, alfa=4
0
-45
-90
21
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
22
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
zapas stabilnosci jest mały
23
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
24
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
25
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
jeszcze obniżymy wzmocnienie:K=0.5
26
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
27
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
28
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
29
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
30
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
31
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
32
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
Kompensator przyśpieszający fazę:
Ts +1
C( s ) = , ą < 1
ąTs +1
� = arctg(T� ) - arctg(ąT� )
1- ą 1- sin�max
1
sin�max =�! ą =
�max =
1+ ą 1+ sin�max
T ą
mniejsze ą  większe Ćmax - większe wzmocnienie dla
dużych częstotliwości
�max
�max < 60o
kompromis:
33
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
T=1/1.14=0.8772
alfa=(1-sin(pi/4))/(1+sin(pi/4))=
0.1716
0
-45
-90
34
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
35
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
36
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
37
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
38
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
39
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
połączymy oba komp.
40
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
41
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
42
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
43
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
44
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
45
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
1 + (Ti�)2
1 + (Ti�)2
kc
e(t) kc
L(�) = 20 log
L(�) = 20 log
Ti �
Ti �
u(t)
Regulator PI
Cz. całkująca
1
1
�1 =
Cz. �1 =
Ti
Ti
�
�
e(t)
Ą
Ą
( ) ( )-
( ) ( )-
� � = arctg �Ti
Ti � � = arctg �Ti
�#ś# t
1
2
2
C(s) = kc ś#1+ ź#
sTi #
�#
�
�
�#ś# Ą
Ą
kc 1
�#ś#
1
-
-
H (s) =
4
ś#1+ sT ź# 4
h(t) = kc ś#1+ t
s
�# i #
Ti ź#1(t)
�# #
Ą
Ą
-
-
2
2
�#ś#
1 kc
C( j�) = kc ś#1+ = kc - j = P(�) + jQ(�)
j�Ti ź# Q(�)
�# #�Ti
kc
0
�=" P(�)
46
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
�=0
Układy czasu ciągłego
1
< 10-1, kc < 0.16
Ti
Ti=1/0.04, kc=0.16
0
-45
-90
47
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
48
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
49
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
50
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
51
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
52
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
53
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
2
�#ś#
1
L(�) = 20log kp + 20log � - +1
ś#T TI� ź#
D
�# #
TI > TD
TI > TD
Regulator PID:
20log kp
1
1
1
1
t
TI
TI
TD
TD
d
u( t ) = kpe( t ) + ki �
�
+"e(� )d� + kd dt e( t ) C( s ) = kp + ki 1 + kd s
s
0
t
Ą# ń#
1 d
u( t ) = kp ó#e( t ) +
+"e(� )d� + Td dt e( t )Ą#
Ti 0
Ł# Ś#
Ą
Ą
�# ś#
1
2
2
ś# ź#
C( s ) = kp ś#1+ + sTd ź#
sT
�# i #
1
1
�
�
�#ś#
1
TI TD
TI TD
C( j�) = kp ś#1+ + j�Td ź#
Q(�) �="
Ą
Ą
j�T -
-
i
�# #
2
2
kp
0
1
P(�)
arg C j� = arctg TD -
( )
TD=1, kp=1.6, Ti =1/0.04 ()�#ś#
ś#�
� TI ź#
�# #
�=0
54
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
55
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
56
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
57
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
58
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
59
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
Metoda Zieglera-Nicholsa
60
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
Ku=1.5, Pu=5
Kp=0.6Ku=0.9, Ti=0.5Pu=2.5, Td=Pu/8=5/8
61
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
62
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
63
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
64
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
65
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
66
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego
67
Automatyka i sterowanie 10 Przykłady
Układy czasu ciągłego