Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
D(s) N(s)
Y(s)
E(s)
R(s)
F(s) C(s) P(s)
U(s) v(s)
n(s)
regulator obiekt
F(s)=1  sprz. od uchybu
2
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
6 transmitancji:
Na zakłócenie
Na sygnał zadający
TYR
TYN , , ;
TYD
FPC P 1
FPC P - PC
Y = R + D + N
n = R + D + N
, ,
1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC
FC 1 - C
v = R + D + N
,
Na szum pomiarowy
1+ PC 1+ PC 1+ PC
P(s)C(s) Transmitancja układu otwartego
1
funkcja wrażliwości
S( s ) =
S(s) + TYR(s) = 1
1+ P(s)C(s)
TUN , TUD ,
TUR :
FC - PC - C
F - P -1
U = R + D + N
E = R + D + N
,
1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC
3
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
Metoda częstotliwościowa dla układów dyskretnych w czasie
Transmitancja widmowa
u(t) = U sin(�t) u(kT ) = U sin(k�T )
,
~
j�kT jk�i
U (kT) = Ue = Ue �i = �T
~ ~ z
Y (z) = G(z)U (z) = G(z)U
j�i
z - e
ustalona część odpowiedzi:
j�i
z
j�i jk�i j�i j(k�i +arg(G(e ))
~
yust (kT ) = Re sż#G(z)U zk -1�# = G(e )Ue
G(e )Ue
�# Ź#
=
j�i
j�i
z=e
z - e
�# �#
j�i j�i
yust (kT ) = G(e )U sin(k�T + arg(G(e )))
j�i
G( j�i )
G(z) =G(e )
j�i
- transmitancja widmowa
z=e
" okresowa o okresie T
G( j�i ) = P(�i ) + jQ(�i )
"
4
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
Q(-�i ) = -Q(�i )
P(-�i ) = P(�i )
"
charakterystyki częstotliwościowe:
amplitudowo-fazowa, amplitudowa, fazowa,
logarytmiczne  bezpośrednie przeniesienie metody wykresów Bodego z układów ciągłych niemożliwe
5
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
Stosuje się
Płaszczyzna s
przekształcenie dwuliniowe:
3j�i/2
T
1+ w
Płaszczyzna z
2
z =
T ,
1- w
2
d c
j�i/2
f d f
2 z -1
�# ś#
a e b
w =
ś# ź#
-j�i/2
T z +1
�# #
e a
w=(2/T)(z-1)/(z+1)
-3j�i/2
z=eTs
c
Płaszczyzna w
f
-2/T
a
6
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
2 z -1
�# ś#
w =
ś# ź#
T z +1
�# #
j�i j�T
w = j� ,
z = e , �i = �T, z = e
odpowiada punktom
j�T
�# ś# �# ś#
2 e -1 2 e0.5 j�T - e-0.5 j�T 2 �T
j� = ś# ź# ś# ź# = j tan�# ś#
=
ś# ź#
j�T
ś# ś#
T e +1ź# T e0.5 j�T - e0.5 j�T ź# T 2
�# #
�# # �# #
2 �T
ś#
� = tan�#
ś# ź#
- związek fikcyjnej pulsacji z płaszczyzny w i prawdziwej z płaszczyzny z(s)
T 2
�# #
�T �T
�T Ą
tan�#ś# H"
<
ś#ź#2
� H" � � H" �
Dla małych T . Dokładniej jeśli . Gdy , czyli
2
2 10
�# #
7
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
1 2Ą
� <
błąd nie przekracza 4%
10 T
1. Wyznaczyć transmitancję dyskretną obiektu G(z)
2. Wyznaczyć G(w) po zastosowaniu transformacji dwuliniowej  T dostatecznie małe (10 razy pasmo
przenoszenia układu zamkniętego.
w = j� , G( j� )
3. Podstawić wykreślić charakterystyki logarytmiczne .
GR ( j� )
4. Zaprojektować charakterystyki regulatora , pamiętając o przeskalowanej pulsacji
2 �T
� = tan�# ś#
ś# ź#
.
T 2
�# #
2 z -1
�# ś#
w =
ś# ź#
GR (z)
5. Wyznaczyć transmitancję regulatora po zastosowaniu transformacji dwuliniowej
T z +1
�# #
GR (w)
do .
GR (z)
6. Zrealizować algorytm .
8
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
K0 44
T� u == =
a
, T=0.5!
�# L ś# s( s +1)( s + 2 ) s( s2 + 3s + 2 )
�#
s
()
ś#ź#
ś#�# R s +1ś# JRs + RB + K� Km ź#
#
�# #
u
r �a
�
K�
1
1- e-sT
L
�#
C( z )
Kp
s +1ś# JRs + RB + K� Km
()
ś# ź#
R
�# #
s
s
G(z)
-1
9
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
ż#�# ż# 2 -3 4 -1 �#
4
L-1 �#Ź# �# +Ź# = 2t - 3+ 4e-t -1e-2t 1( t )
= L-1 + +
()
s2( s +1)( s + 2 )�# �# s2 s ( s +1) ( s + 2 )�#
�#
zz zz
Z 2kT - 3+ 4e-kT -1e-2kT = Z k - 3+ 4e-0.5k -1e-k = - 3 + 4 - =
{} {( -1) z -1 z - e-05 z - e-1
}
2 .
z
zz z z
=- 3 + 4 -
2
z -1 z - 0.6065 z - 0.3679
z
( -1
)
1 zz z z
�#1- ś#�#ś#
G( z ) = - 3 - =
+ 4
ś#ź#ś#ź#
2
ź#
z z -1 z - 0.6065 z - 0.3679
�# #ś# -1
z
( )
�# #
0.05824z2 + 0.1629z + 0.02753 0.05824z2 + 0.1629z + 0.02753
==
z3 -1.9744z2 +1.1975z - 0.2231 z -1 z - 0.6065 z - 0.3679
( )( )( )
10
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
Ti=0.5; disp('transmitancja obiektu')
P=tf(4,[1 3 2 0])
disp('transmitancja dyskretna')
G=tf([0.05824 0.1629 0.02753], [1 -1.9744 1.1975 -0.2231],Ti)
bode(P,G)
figure(1)
title('Charakterystyki układu ciągłego i
step(P)
dyskretnego')
hold on
11
step(G)
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
hold off
Układy czasu dyskretnego
figure(3); margin(P)
figure(4); margin(G)
12
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
C(s)=0.16
13
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
% po przekształceniu dwuliniowym
syms z;
PS=poly2sym([0.05824 0.1629 0.02753],z)/poly2sym([1 -1.9744
1.1975 -0.2231],z);
syms w;
PWS=factor(subs(PS,z,(1+w*Ti/2)/(1-w*Ti/2)));
[n d]=numden(PWS);
n=expand(n);
d=expand(d);
d=sym2poly(d);d1=d(1);
d=d/d1;
n=sym2poly(n);
n=n/d1;
disp('transmitancja płaszczyzny w')
PW=tf(n,d)
figure(5)
margin(PW)
transmitancja płaszczyzny w
Transfer function:
0.01755 s^3 - 0.1261 s^2 - 0.6817 s + 3.621
-------------------------------------------
s^3 + 2.828 s^2 + 1.811 s
14
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
%opóz
niajacy fazę
KD=0.2
alfa=5
T=1/0.035
disp('transmitancja komp. op. fazę pł. w')
D=tf(KD*alfa*[T 1],[alfa*T 1])
figure(6)
bode(D)
title('komp. op. fazę')
figure(7)
margin(series(D,PW))
transmitancja komp. op. fazę pł. w
Transfer function:
28.57 s + 1
-----------
142.9 s + 1
15
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
%powrót do z
DS=poly2sym(KD*alfa*[T 1],w)/poly2sym([alfa*T 1],w);
DZS=factor(subs(DS,w,(2/Ti)*(z-1)/(z+1)));
[n d]=numden(DZS);
n=expand(n);
d=expand(d);
d=sym2poly(d);d1=d(1);
d=d/d1;
n=sym2poly(n);
n=n/d1;
disp('transmitancja komp. op. faz. płaszczyzny z')
DZ=tf(n,d,Ti)
transmitancja komp. op. faz. płaszczyzny z
Transfer function:
0.2014 z - 0.1979
-----------------
z - 0.9965
16
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
figure(8)
step(feedback(series(DZ,G),1))
17
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
18
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
% przyśp fazę
Tp=1/1.1
alfap=(1-sin(pi*50/180))/(1+sin(pi*50/180))
K=1
disp('transmitancja komp. przyśp. fazę pł. w')
%COMPp=tf([1.154 1],[0.03329 1])
COMPp=K*tf([Tp 1],[alfap*Tp 1])
figure(9)
bode(COMPp)
transmitancja komp. przyśp. fazę pł. w
Transfer function:
0.9091 s + 1
------------
0.1204 s + 1
19
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
figure(10)
margin(series(COMPp,PW)
COMPpZS=factor(subs(COMPpS,w,(2/Ti)*(z-1)/(z+1)));
[n d]=numden(COMPpZS);
n=expand(n);
d=expand(d);
d=sym2poly(d);d1=d(1);
d=d/d1;
n=sym2poly(n);
n=n/d1;
disp('transmitancja komp. pzysp. faz. płaszczyzny z')
COMPpZ=tf(n,d,Ti)
transmitancja komp. przysp. faz. płaszczyzny z
Transfer function:
4.956 z - 3.191
---------------
z + 0.765
20
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
21
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
t
Ą# ń#
1 d
�# ś#
1
u( t ) = kp ó#e( t ) +
+"e(� )d� + Td dt e( t )Ą# C( s ) = kp ś# sT + sTd ź#
ś#1+ ź#
Dyskretny regulator PID: ,
Ti 0
Ł# Ś# �# i #
Algorytm I (pozycyjny)
kwadratura prostokątów  wariant punktu początkowego
k
�#ś#
T
u( kT ) = kp ś#e( kT ) +
"e(iT ) + Td e( kT ) - e((k -1)T ) ź#
Ti i=0 T
�# #
k
ą( kT ) :=
"e( iT ), ą( kT ) -ą(( k -1)T ) = e( kT )
i=0
z
ą( z ) = e( z )
ą( z ) - z-1ą( z ) = e( z )
,
z -1
�#ś#
T z Td z -1
u( z ) = kp ś#1+ +
ź#e( z )
Ti z -1 T z
�# #
22
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
TD=1, kp=1.6, Ti =1/0.04, T=0.1, 0.35
23
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
TD=0, kp=1.6, Ti =1/0.04, T= 0.35, T=0.5
24
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
Algorytm II (pozycyjny)
t
�# ś#
1 d
u( t ) = Kś#e( t ) +
+"e(� )d� + Td dt e( t )ź#
ś# ź#
Ti 0
�# #
kwadratura trapezów
k
�# ś#
T e(( i -1)T ) + e( iT ) e( kT ) - e(( k -1)T )
ś# ź#
u( kT ) = K kT ) + + Td
"
ś#e( ź#
Ti i=1 2 T
�# #
k
e((i -1)T ) + e( iT )
g( kT ) := g( 0 ) = 0
"
,
2
i=1
e((i -1)T ) + e( iT )
f (iT ) := , f ( 0 ) = 0
2
z-1e( z ) + e( z ) z +1
f ( z ) = = e( z )
2 z
k
g( kT ) = f ( iT )
"
i=1
25
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
g( kT ) - g(( k -1)T ) = f ( kT )
g( z ) - z-1g( z ) = f ( z )
z z +1
g( z ) = f ( z ) = e( z )
z -1 2( z -1)
�# ś#
T e( kT ) - e(( k -1)T )
ś# ź#
u( kT ) = Kś#e( kT ) + g( kT ) + Td
ź#
Ti T
�# #
�# ś#
T z +1 Td z -1ź# z +1 2z
ś#
u( z ) = Kś#1+ +
= -1+
ź#e( z ) ,
2Ti z -1 T z
z -1 z -1
�# #
�# ś#
T T z Td z -1ź#
ś#
u( z ) = Kś#1- + +
ź#e( z )
2Ti Ti z -1 T z
�# #
26
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
Algorytm III (prędkościowy):
t
�# ś#
1 d
u( t ) = Kś#e( t ) +
+"e(� )d� + Td dt e( t )ź#
ś# ź#
Ti 0
�# #
�#
TTd
"u( kT ) = u( kT ) - u(( k -1)T ) = K kT ) - e(( k -1)T ) + e( kT ) + e( kT ) - 2e(( k -1)T ) + e(( k - 2 )T )
()ś#
ś#e( ź#
Ti T
�# #
�# ś#
�# ś#
T Td Td Td
�# ś#e((
= Kś#ś#1+ +
ź#e(
ś#ś# Ti T ź# kT ) + ś#-1- 2 T ź# k -1)T ) + T e(( k - 2 )T )ź#
ź#
�# #
�# #
�# #
= K( Q1e( kT ) + Q2e(( k -1)T ) + Q3e(( k - 2 )T ))
(1- z-1 )u( z ) =
K(Q1 + z-1Q2 + z-2Q3)e( z )
27
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
Dla wolnozmiennych sygnałów zadających
t
�# ś#
1 d
u( t ) = Kś#e( t ) +
+"e(� )d� + Td dt e( t )ź#
ś# ź#
Ti 0
�# #
28
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
e( kT ) = y0( kT ) - y( kT )
y0( kT ) = y0(( k -1)T ) = y0(( k - 2 )T )
�#
TTd
"u( kT) = u( kT) - u(( k -1)T) = K kT) - e(( k -1)T) + e( kT) + e( kT) - 2e(( k -1)T) + e(( k - 2 )T)
()ś#
ś#e( ź#
Ti T
�# #
T Td
T
= K(e( kT )- e(( k -1)T ))+ K e( kT )+ K (e( kT )- 2e(( k -1)T )+ e(( k - 2 )T ))= Ki = K Ti e( kT ) Kd = K Td
T
Ti T
= K(e( kT )- e(( k -1)T ))+ Kie( kT )+ Kd (e( kT )- 2e(( k -1)T )+ e(( k - 2 )T ))=
= K y( kT ) + y(( k -1)T ) + Ki y0( kT ) - y( kT ) + Kd y( kT ) + 2y(( k -1)T ) - y(( k - 2 )T ) =
(-
)) (-
( )
=-K y( kT ) - y(( k -1)T ) + Ki y0( kT ) - y( kT ) - Kd y( kT ) - 2y(( k -1)T ) + y(( k - 2 )T )
() ( ) ( )
(1- z-1 )u( z ) = -K 1- z-1 y( z ) + Ki y0( z ) - y( z ) - Kd 1- 2z-1 + z-2 y( z )
( )
() ( )
29
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego
1
u( z ) = -Ky( z )+ Ki (y0( z )- y( z ))- Kd (1- z-1 )y( z )
(1- z-1 )
z z -1
u( z ) = -Ky( z )+ Ki (y0( z )- y( z ))- Kd ( )y( z )
( z -1) z
TTd
Ki = K e( kT ) Kd = K
Ti T
30
Automatyka i sterowanie 11 Metody czestotliwosciowe
Układy czasu dyskretnego