Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
Rozważać będziemy opis układu w postaci:
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x0 lub bardziej ogólnie x(t0)=x0
t
x( t ) =Ś( t - t0 )x0 +
+"Ś( t -� )Bu(� )d�
t0
2
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Def.: Stan x0 nazywać będziemy sterowalnym, jeżeli istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające
układ z x0 sprowadzające wektor stanu układu z punktu x0 do 0 w skończonym czasie. Zbiór wszystkich
S
stanów sterowalnych oznaczymy przez .
T1. Zbiór stanów sterowalnych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni stanów.
Dow.:
x1 " S, x2 " S,
t1
t2
0 =Ś(t )x1 +
0 =Ś(t )x2 +
+"Ś(t -� )Bu1(� )d�
+"Ś(t -� )Bu2(� )d�
0 0
t1
u2( t ) t d" t2
ż#

0 =Ś(t )x2 +

> t2 , u2( t ) =
�#0 t2 < t d" t1
niech t1 +"Ś(t -� )Bu2(� )d�
�#
0
t1

0 =Ś(t ) ax1 + bx2 +
()
ax1 + bx2 " S
+"Ś(t -� )B(au1(� ) + bu2(� ))d�
czyli
0
3
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
n-1
"�
i
Lemat: Ś(t ) = (t )Ai
i=0
Dow.:
"
A2t2 A3t3 Aiti
Ś(t ) = I + At + + + =
Z definicji "
2! 3! i!
i=0
Twierdzenie Cayley a  Hamiltona :
Każda macierz jest spełnia swoje równie charakterystyczne, to jest jeśli
det(sI - A) = p(s) = sn + bn-1sn-1 + ... + b1s + b0 = 0
jest równaniem charakterystycznym macierzy A, to
An + bn-1An-1 + + b1A + b0I = 0
An =- bn-1An-1 + + b1A + b0I
()
An+1 = AAn = -Ł#
()ń#
(b Ą#- bn-1An-1 + + b1A + b0I Ś# + + b1A2 + b0 A)
n-1
Ai = i An-1 + + i A + i I
n-11 0
4
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
i i
" " "
ti " ti
i
0
Ś(t ) = i An-1 + + i A + i I = An-1 n-1 + + I
()i!
"A i! = " n-11 0 " ti " ti
i! i!
i=0 i=0 i=0 i=0
n-1
Ą# ń#
S = lin
Tw.:
Ł#B,AB, ,A BŚ#
n-1
Ą# ń#
S �" lin
Dow.:
Ł#B,AB, ,A BŚ#
t0 t0
A t0-�
- A�
0
0 = eAt x0 + x0 =-
x0 " S
+"e ( )Bu(� )d� +"e Bu(� )d�
0 0
Wektor wsp. o wymiarze takim jak
t0 n-1 t0
n-1 n-1
�#ś#
i i wektor wejść
x0 =-
"� "A B ( -� )u(� )d� = "A Bąi
ii
ś#ź#
+"�# ( -� )Ai Bu(� )d� =- +"�
i=0 # i=0 i=0
00

:=-ąi
5
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
ą0
Ą# ń#
ó# Ą#
ą1
n-1 n-1
ó# Ą#
Ą#ń#
x0 =
Ł#B,AB, ,A BŚ# ó# Ą# "lin Ą#ń#
Ł#B,AB, ,A BŚ#
czyli
ó#ą Ą#
Ł# n-1Ś#
n-1
Ą# ń#
S �" lin
Dow.: (szkic)
Ł#B,AB, ,A BŚ#
ą0 ą0
Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą#
ą1 ą1
n-1
ó# Ą# ó# Ą#
Ą#ń#
x0 =
n-1
Ł#B,AB, ,A BŚ# ó# Ą#
Ą# ń#
x0 "lin
Jeśli , to współczynniki ó# Ą# reprezentacji są
Ł#B,AB, ,A BŚ#
ó#ą Ą# ó#ą Ą#
Ł# n-1Ś# Ł# n-1Ś#
t0
-ąi = ( -� )u(� )d�
i
określone. Sterowanie wyznaczamy z zależności +"�
0
6
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
t0
- A�
x0 = AiBąi . Szukamy sterowania, które x0 = AiBąi = -
Dokładniej: Rozważmy +"e Bu(� )d� . Załóżmy, że sterowanie będzie
0
t0 t0 t0
Ą# ń#Ą# ń#
- A� - A� - A�
- rank
ó#-
+"e d�BĄ# = rank ó#-+"e d�B AiBąi Ą#
stałe: +"e d�Bu = AiBąi Ten układ równań będzie miał rozwiązanie jeśli
ó# Ą#ó# Ą#
0 00
Ł# Ś#Ł# Ś#
t0 t0
n-1 n-1
Ą#ń# ń#
Ą#
j j
rank
ó#Ą# Ą#
ó#
"A B ( -� )d� AiBąi Ą# = rank ó#"A B ( -� )d�
j j
+"� +"�
i tak jest faktycznie, bo
j=0 j=0
ó#Ś# Ą#
00
Ł# Ł# Ś#
n-1
{ }
Lemat: "t lin eAt Ą#ń# n-1
Ł#B,AB, ,A BŚ# = lin Ą#ń#
Ł#B,AB, ,A BŚ#
Def.: Stan x0 nazywać będziemy osiągalnym, jeżeli istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające
układ z x0 sprowadzające wektor stanu układu z punktu 0 do x0 w skończonym czasie.
Tw. Stan x0 jest osiągalny wtedy i tylko wtedy gdy jest sterowalny UKA
AD CI
A
Y!!.
7
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
t0 t0
A t0-�
- A�
�! e- At0 x0 = -
�! e- At0 x0
Dow.: x0 jest sterowalny jest sterowalny +"e Bu(� )d� �! x0 = +"e ( )B(-u(� ))d�
0 0
Wniosek:
x1 " S, x2 " S,, to istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające układ z x1 do x2 w
Jeśli
skończonym czasie.
Def.: Układ, w którym przestrzeń stanów sterowalnych pokrywa się z przestrzenia stanu nazywamy
całkowicie sterowalnym.
Wniosek: Koniecznym I dostatecznym warunkiem całkowitej sterowalności układu jest
n-1
n-1
Ą#ń#
rank
Ą#ń#
detŁ#b,Ab, ,A bŚ# `" 0
. Dla układu jednowejściowego B=b :
Ł#B,AB, ,A BŚ# = n
n-1
Ą#ń#
QS =
macierz sterowalności układu.
Ł#B,AB, ,A BŚ#
8
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Sterowalność a liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
Pq( t ) = x( t ), det P `" 0
d
Pq( t ) = APq( t ) + Bu( t ) nowe równanie stanu
dt
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
-1
Ą# ń#
QSq =
d
Ł#P B,P-1AB, ,P-1An-1BŚ# =
q(t ) = P-1APq(t ) + P-1Bu(t ) nowe równanie stanu
dt
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
Ą#ń#
= P-1 Ł#B,AB, ,An-1BŚ# = P-1QS
d


q( t ) = Aq( t ) + Bu( t ) A = P-1AP, B = P-1B
dt

y( t ) = Cq( t ) + Du( t ) C = CP
9
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Modalny warunek sterowalności:
s1In1 0 0 B1
Ą# ń#Ą# ń#
ó# Ą#ó#B Ą#
0 s1In1 0
2

ó# Ą#ó# Ą#
A = B =
Tw.: Układ o macierzach jest całkowicie sterowalny wtedy i tylko
ó# Ą#ó# Ą#
ó#
0 0 sk Ink Ą#ó#B Ą#
Ł# Ś#Ł# k Ś#
rank Bi = ni i = 1,...,k
wtedy, gdy .
Dow.:
B1 s1B1 n-1
Ą#ń# B1 0 0 Ą# ń#
s1 B1 Ą#ń# In1 s1In1 s1n-1In1
ó#B ó#I s2In2 s1n-1In1 Ą#
Ą#
n
0 B2 0
n2
ó#Ą# ó# Ą#
n-1Bń# = 2 s2B2 s2-1B2 Ą# ó#
ó#
Ą#
QS = =Ą#
Ł#B,AB, ,A Ś#
ó#Ą# ó# Ą#
ó# Ą#

ó#Ą# ó# Ą#
ó#
n-1
0 0 Bk Ą# Ł#Ink
sk Ink sk n-1Ink Ś#
k Ś#
Ł#B sk1Bk sk Bk Ś# Ł#
10
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Rozważmy przekształcenie układu do postaci kanonicznej diagonalnej:
s1 0 0
Ą#ń#
ó#Ą#
0 s2 0

ó#Ą# -1 -1
A =
A = V AV , B = V B
, - ten układ będzie całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy
ó# Ą#
ó#
0 0 sn Ą#
Ł#Ś#
T
Ą# ń#
w1
ó#wT Ą#
-1 2
ó# Ą#
=:W =
-1

B = V B
ó# Ą#
gdy każdy z wierszy macierzy będzie niezerowy, czyli "i wiT B `" 0, gdzie V .

ó# Ą#
T
Ł#wn Ś#
Porównajmy ten warunek z postacią modalną rozwiązania równania stanu:
tt
nn n
Ą# ń#
si t-�
st ( ) st -� si
i i
x( t ) =
ó#x Ą#
"e vwiT x0 + "e vwiT Bu(� )d� = "e vwiT +
i i i 0
+"+"e Bu(� )d�
i=1 i=1 i=1
0 Ł# 0 Ś#
wiT B `" 0
warunek sterowalności i-tego modu
11
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Inne kryteria całkowitej sterowalności:
n-r
Ą#ń#
rankB = r rank
1.
Ł#B,AB, ,A BŚ# = n
ń#
2. "i rank Ą# I - A BŚ# = n
Ł#si
[ ]
3. "s"C rank sI - A B = n
eAtB
4. wiersze są liniowo niezależne
-1
sI
( - A B
)
5. wiersze są liniowo niezależne
t
T
A t-� t-�
t
6. W = +"e ( )BBT eA ( )d� jest dodatnio określona
0
12
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Sterowalność wyjść układu:
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
Wyjście układu jest całkowicie sterowalne jeśli dla dowolnych y1 y2 można wskazać ograniczone
sterowanie przeprowadzające wektor wyjść układu z położenia y1 do y2 w skończonym czasie.
Warunek :
n-1
Ą#ń#
rank
Ł#CB,CAB, ,CA B,DŚ# = m
13
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Sterowalność układów dyskretnych jednowejściowych
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + Bu(kT )
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + bu(kT )
Pow. układ jest całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy
"xp, xd "N,u(kT),u((k +1)T ), ,u((k + N)T )
x((k + N)T ) = xd
x(kT) = xp
że dla
x((k +1)T ) = Axp + bu(kT)
A2xp +[b Ab]Ą#u((k +1)T )ń#
x((k + 2)T ) = Ax((k +1)T ) + bu((k +1)T )
A2xp + Abu(kT) + bu((k +1)T )
= = ó# Ą#
u(kT )
Ł# Ś#
.....................................................................
n-1
x((k + n)T ) = Anxp + An-i-1bu((k + i)T )
"
i=0
14
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
u((k + n -1)T )
Ą# ń#
ó# Ą#

Ą#
x((k + n)T ) = Anxp +[b Ab An-1 ]ó#
ó#
b u((k +1)T ) Ą#
QS
ó# Ą#
u(kT )
Ł# Ś#
u((k + n -1)T )
Ą# ń#
ó# Ą#

Ą#
x((k + n)T ) = Anxp + QS ó#
ó# Ą#
u((k +1)T )
ó# Ą#
u(kT )
Ł# Ś#
rankQS = n
Jeżeli to układ jest sterowalny, bo N=n i można wyznaczyć sterowanie
u((k + n -1)T )
Ą# ń#
u((k + n -1)T )
Ą# ń#
ó# Ą#
ó# Ą#


Ą#
ó# Ą#
xd = Anxp + QS ó#
= QS -1(xd - Anxp)
ó# Ą#
u((k +1)T )
ó# Ą#
u((k +1)T )
ó# Ą#
ó# Ą#
u(kT ) u(kT )
Ł# Ś# Ł# Ś#
15
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
rankQS = n
Jeżeli układ jest sterowalny
lub równoważnie
rankQS < n
Jeżeli to układ nie jest sterowalny
Dow.:
i-1
j
Aib =
rankQS < n "c A b
j
Jeżeli to istnieje ij=0
poprzednich). Wtedy
i-1 i-1 i i-1
i-1 i-1 i-1
j j+1 j j
j j j
~
Ai+1b = A A b = A b = A b = A b + ci-1Aib =
"cj "cj "cj-1 "cj-1 "c A b + ci-1"c A b = "c A b
j-1 j j ,
j=0 j=0 j=1 j=1 j=1 j=0 j=0
ANb
czyli następna kolumna jest też liniową kombinacją i-1 pierwszych i każda następna postaci N>i też
QS
będzie liniową kombinacją i-1 pierwszych. Przestrzeń liniowa rozpięta na kolumnach macierzy
(linQ ) ma wymiar mniejszy od n.
S
xp = 0
xp = 0
Wez
my Dowolny stan osiągalny z ma postać
16
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
u((k + N -1)T )
Ą# ń#
ó# Ą#

Ą#
x((k + N)T ) =[b Ab AN -1b]ó#
"linQS
ó# Ą#
u((k +1)T )
ó# Ą#
u(kT )
Ł# Ś#
xd
xd "linQS
Jeżeli wez
miemy dowolny to nie istnieje sterowanie przeprowadzające wektor stanu z 0 do ,
czyli układ nie jest sterowalny.
Warunek modalny sterowalności
T
Ą# ń#
w1
ó# Ą#
T
ó#w2 Ą#
P-1 =
P = [v1 v2 vn]
Niech przekształca A do postaci kanonicznej diagonalnej, ó# Ą# :

ó# Ą#
T
ó# Ą#
Ł#wn Ś#
17
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
~
T T
z1 0 0
Ą# ń#
Ą#b1 ń# Ą# ń# Ą# ń#
w1 w1 b
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
~
T T
0 z2 0
~
~
ó# Ą#
2
ó#b Ą# ó#w2 Ą#b ó#w2 bĄ#
A =
b = = P-1b
ó# Ą# , = =
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#


ó#~ Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
T T
0 zn Ś#
bŚ#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
Ł#
Ł#bn Ś# Ł#wn Ś# Ł#wn
~ ~ ~
~
Ą#b1 z1b1 z1n-1b1 ń#
Ą#b1 0 0 ń#
Ą#
1 z1
z1n-1 ń#
1
ó# ~ ó# Ą#
~ ~ Ą# ~
ó#1 z2 Ą#
b2 0
0
z2n-1 Ą#
2
ó#b z2b2 z2n-1b2 Ą# ó# Ą#
~ ~ ~ ~ ~ ó#
~
Qs =[b Ab An-1b]
ó# Ą# ó# Ą#
= = ó# Ą#


ó#~ ~ Ą# ó# Ą# ó# Ą#
~
~
0 bn Ą# ó#1 zn
znbn znn-1bn Ś# Ł# 0 znn-1 Ś#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł#bn Ś# Ł#
~
~
�! wiTb `" 0 i =1,2, ,n
bi `" 0 i =1,2, ,n
rankQs = rankQs = n �!
warunek modalny sterowalności bo:
n k n
k
k i-1
(z ) v wT x(0) + (z ) v wTbu((k - i)T )
Ak x(0) + Ai-1bu((k - i)T )
"
x(kT) = " = j j j "" j j j
i=0 j=1 i=1 j=0
n k
n
i-1
k
(z ) u((k - i)T )
"v wTb" j
j j
"(z ) vi wT x(0) +
i i
=
i=1 j=1 i=0
18
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Sterowalność układów dyskretnych wielowymiarowych
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + Bu(kT ), y(kT ) = Cx(kT )
dim x(kT ) = n, dim u(kT ) = r, dim y(kT ) = m,
rankB = r d" n, rankC = m d" n
Pow. układ jest sterowalny wtedy i tylko wtedy "x , xd "N,u(kT),u((k +1)T ), ,u((k + N)T )
p
x(kT) = xp x((k + N)T ) = xd
że dla
x((k +1)T) = Axp + Bu(kT)
x((k + 2)T ) = Ax((k +1)T ) + Bu((k +1)T )
=
A2xp + Abu(kT) + Bu((k +1)T) A2xp +[B AB]Ą#u((k +1)T )ń#
= =
ó# Ą#
u(kT )
Ł# Ś#
19
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
.....................................................................
u((k + N -1)T )
Ą# ń#
Ą#
Ą# ń#ó#
x((k + N)T ) = AN xp + B AB AN -1 Ą#ó#
ó#

B u((k +1)T ) Ą#
Ą#
r r
Ł# r Ś#ó#
ó# Ą#
u(kT )
Ł# Ś#
 paczki po r kolumn
rank[B AB AN -1B]= n
Jeżeli to układ jest sterowalny, bo z powyższego równania można
wyznaczyć ciąg sterujący.
Wskaz
nik sterowalności układu:
ź := min{N : rank[B AB AN -1B]= n}
gdy we wszystkich pierwszych paczkach przybywa po r kolumn liniowo niezależnych
n
d" ź d" n - r -1
r
20
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
gdy w kolejnych paczkach (drugiej, trzeciej ...) przybywa po jednej kolumnie liniowo niezależnej
[B
Zbiór stanów N-osiągalnych: lin AB AN -1B]
Tw. "N lin[B AB AN -1B]�" lin[B AB An-1B]
Warunki sterowalności
[ ]
rank B AB An-1B = n
rank[B AB An-rB]= n
Qs =[B AB An-1B]
macierz sterowalności
Obserwowalność, układy ciągłe
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
21
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
Układ nazywamy całkowicie obserwowalnym, jeżeli dowolny warunek początkowy x0 może być
odtworzony na podstawie pomiarów wyjść i znajomości wejść w skończonym czasie.
t
x( t ) =Ś( t - t0 )x0 + t -� )Bu(� )d�
+"Ś(
t0
t
y( t ) = CŚ( t - t0 )x0 + C
+"Ś( t -� )Bu(� )d� + Du( t )
t0
Wystarczy rozważyć układ:
22
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
d
x( t ) = Ax( t )
n-1
dt
y( t ) = CeAt x0 Ś(t ) = (t )Ai
"�
i
i=0
y( t ) = Cx( t )
n-1
�#
y( t ) = Cś#ź#
"� ( t )Ai ś# x0
i
�# i=0 #
Tw. Koniecznym i dostatecznym warunkiem całkowitej obserwowalności jest
23
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
C
Ą#ń#
ó#Ą#
CA
ó#Ą#
rankQo = rank = n
ó# Ą#
ó#CA Ą#
n-1
Ł#Ś#
Dow.:
Warunek konieczny: (dowód nie wprost)
Cx0
Ą#ń#
ó#
CAx0 Ą#
ó#Ą#
Qox0 = = 0 �! CAi x0 = 0 i = 0,1,2,& ,n -1
rankQo < n
ó# Ą#
Jeśli to istnieje niezerowy x0 taki, że
ó#CA x0 Ą#
n-1
Ł#Ś#
n-1
y( t ) = ( t )CAi x0 = 0
"�
i
i=0
Warunek dostateczny:
24
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
TT
eA tCT y( t ) = eA tCTCeAt x0
y(t ) = CeAt x0
tt
TT
eA �CT y(� )d� = eA �CTCeA� d� x0
+"+"
00


W( t )
Q( t ) = W( t )x0
jest nieosobliwa dla dowolnych t, bo gdyby była, to dla dowolnego x:
t1t1
T
xTW( t1 )x = xTeA �CTCeA� xd� = CeA� x d� = 0
+"+"CeAt x = 0
, czyli dla dowolnych t00
n-1
"� (t )CAi x = 0 rankQo < n
i
, czyli .
i=0
25
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Obserwowalność a liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
Pq( t ) = x( t ), det P `" 0

Ą#ń# CP
d C Ą#ń#
Pq( t ) = APq( t ) + Bu( t ) nowe równanie stanu
dt
ó#Ą#
ó#Ą#

CAP
CA
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
ó#Ą#
ó#
Qoq ==Ą# = QoP
d
q(t ) = P-1APq(t ) + P-1Bu(t ) nowe równanie stanu ó#Ą#
ó# Ą#

dt
ó#
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
n-1Ą# ó#CAn-1PĄ#
Ł#Ś#
Ł#CA Ś#
d


q( t ) = Aq( t ) + Bu( t ) A = P-1AP, B = P-1B
dt

y( t ) = Cq( t ) + Du( t ) C = CP
26
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Rozważmy układ w postaci kanonicznej diagonalnej:
s1 0 0
Ą#ń#
ó#Ą#
0 s2 0

ó#Ą# -1
A =
A = V AV ,C = CV
, - ten układ będzie całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy,
ó# Ą#
ó#
0 0 sn Ą#
Ł#Ś#

C = CV
gdy wszystkie kolumny macierzy będą niezerowe. Porównajmy z
nn
st st
ii
y( t ) = C
"e viwiT x0 = "e CviwiT x0 Cvi `" 0
warunek obserwowalności i-tego modu
i=1 i=1
Dualizm sterowalności i obserwowalności:
Para (A,B) jest sterowalna �! Para (BT,AT) jest obserwowalna
Para (C,A) jest obserwowalna �! Para (AT,BT) jest sterowalna
27
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Obserwowalność układów dyskretnych jednowymiarowych
y(kT ) = cx(kT ) + du(kT )
y((k +1)T ) = cx((k +1)T ) + du((k +1)T ) = cAx(kT ) + cbu(kT ) + du((k +1)T )
y((k + 2)T ) = cA2x(kT ) + cABu(kT ) + cbu((k +1)T ) + du((k + 2)T )
=
.....................................................................
y(( k + n -1)T) = cAn-1x( kT) + cAn-2Bu( kT) + + cbu(( k + n - 2 )T) + du(( k + n -1)T)
y(kT ) c d 0 0 u(kT )
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
y((k +1)T ) cA cb d u((k +1)T )
ó# Ą# ó# Ą#x(kT) + ó# Ą#ó# Ą#
=
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
0
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
n-1 n-2
Ł#y((k + n -1)T )Ś# Ł#cA Ś# Ł#cA b cb d Ś#Ł#u((k + n -1)T )Ś#

QO
28
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Def.
"N,"u(kT ),u((k +1)T ), ,u((k + N )T )
Układ jest obserwowalny jeżeli przy znanych
y(kT ), y((k +1)T ), , y((k + N )T ) x(kT )
można wyznaczyć
Tw.
�! rankQO = n
Układ jest obserwowalny
cvi `" 0 i = 1,2, , n
- warunek modalny obserwowalności bo:
n k n
k
k i-1
k
(z ) v wT x(0) + c (z ) v wTbu((k - i)T )
Ai-1bu((k - i)T )
y(kT ) = cx(kT )
"
=cA x(0) + c" =c j j j "" j j j
i=0 j=1 i=1 j=0
n k
n
i-1
k
( )
z u((k - i)T )
"cv wTb"
"(z ) cvi wT x(0) + j j j
i i
=
i=1 j=1 i=0
29
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Postać kanoniczna Kalmana równań stanu
xs-no(( k +1)T ) As-no/ s-no As-no/ s-o As-no/ ns-no As-no/ ns-o xs-no( kT ) Bs-no
Ą#ń# Ą#ń# Ą#ń# Ą# ń#
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
As-o/ s-o
xs-o(( k +1)T ) 00 As-o/ ns-o Ą# ó# xs-o( kT ) Bs-o
ó#Ą# ó#Ą# ó#Ą# ó# Ą#
= + u( kT )
ó#xns-no(( k +1)T )Ą# ó# 00 Ans-no/ ns-no Ans-no/ ns-o Ą# ó#xns-no( kT )Ą# ó# 0 Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
xns-o(( k +1)T )Ą# ó# 00 0 Ans-o/ ns-o Ą# ó# xns-o( kT ) 0
Ł#Ś# Ł#Ś# Ł#Ś# Ł# Ś#
xs-no (kT)
Ą# ń#
ó# Ą#
y(kT) = [0 Cs-o 0 Cns-o]ó# xs-o (kT) Ą#
ó# Ą#
xns-no (kT)
ó# Ą#
xns-o (kT )
Ł# Ś#
30
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Bs-no
xs-no
1
.
z
As-no/s-o
..
...2
Unit Delay
u
As-no/ns-no
...3 As-no/s-no
As-no/ns-o ...
...4
Bs-o
xs-o
1
Cs-o
.1
z
.2
As-o/ns-o
..1
Unit Delay1
...5
As-o/s-o
...1
y
Ans-no/ns-o
xns-no
1
...6 z
..5
..4
Unit Delay2
Ans-no/ns-no
...7
xns-o
1
Cns-o
z
.3
Unit Delay3
Ans-o/ns-o
31
...9
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
-1
-1 -1 -1
X Z Ą# ń#
Ą# ń# X - X ZY
=
ó# Ą#
ó# Ą#
-1
0 Y
0 Y
Ł# Ś#
Ł# Ś#
-1
�# As-no / s-no As-no / s-o As-no / ns-no As-no / ns-o ś# Bs-no
Ą# ń# Ą# ń#
ś# ź#
ó#
0 As-o / s-o 0 As-o / ns-o Ą# ó# Bs-o Ą#
ś# ź#
ó# Ą# ó# Ą#
zI -
G(z) = [0 Cs-o 0 Cns-o]
ś#
=
ó# Ą# ó# Ą#
0 0 Ans-no / ns-no Ans-no / ns-o ź# 0
ś# ź#
ó# Ą# ó# Ą#
ś#
0 0 0 Ans-o / ns-o Ś# ź# Ł# 0
Ł# Ś#
�# #
-1
zI
Ą# - As-no / s-no - As-no / s-o - As-no / ns-no - As-no / ns-o Bs-no
ń# Ą# ń#
ó#
0 zI - As-o / s-o 0 - As-o / ns-o Ą# ó# Bs-o Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
= [0 Cs-o 0 Cns-o]0
=
ó# Ą# ó# Ą#
0 zI - Ans-no / ns-no Ans-no / ns-o 0
ó# Ą# Ą#
0 0 0 zI - Ans-o / ns-o Ś# ó# 0
Ł# Ł# Ś#
32
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
-1
Ą# ń#
Bs-no
(zI - As-no / s-no ) * * * Ą# ń#
ó# Ą#
-1 ó# Ą#
Bs-o
0 (zI - As-o / s-o )* *
ó# Ą#
ó# Ą#
= [0 Cs-o 0 Cns-o]
-1
ó#
0
0 0 (zI - Ans-no / ns-no ) Ans-no / ns-o Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
-1
0
0 0 0 (zI - Ans-o / ns-o)
ó# Ą#
Ł# Ś#
Ł# Ś#
*
Ą# ń#
-1
ó#
-1
(zI - As-o / s-o ) Bs-o Ą#
ó# Ą#
= [0 Cs-o 0 Cns-o]
Cs-o(zI - As-o / s-o ) Bs-o
=
ó# Ą#
0
ó# Ą#
0
Ł# Ś#
-1
G(z) = Cs-o(zI - As-o / s-o ) Bs-o
1
-1
G(z) = C(zI - A) B =
det(zI - A)Cadj(zI - A)B
33
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Układ niesterowalny:
Układ nieobserwowalny:
34
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Skrócenie zer/biegunów:
35
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
36
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Zadanie:
b
ki sk + ki
P( s ) =
, C( s ) = k + s = Parametry regulatora dobrano tak, by skrócić biegun obiektu i by
s + a s
biegunem układu zamkniętego była wartość rzeczywista -p. Zbadać wszystkie transmitancje układu
(także dotyczące zakłóceń. Znalez
ć opis w przestrzeni stanów, zbadać warunki sterowalności i
obserwowalności, także modalne warunki sterowalności i obserwowalności. Zbadać przebiegi w układzie
dla wolnego obiektu i szybkiego układu zamkniętego (np. a=0.1, p=1.0).
37
Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność
Układy czasu ciągłego i dyskretnego