Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej
L0( s )
G0( s ) = , M0( s ) = ( s - s01 )( s - s02 )L( s - s0n )
M0( s )
G0( jÉ ) = G0( s )
i transmitancji widmowej daje układ zamknięty o transmitancji
s= jÉ
L0( s ) L0( s )
G( s ) = = , M ( s ) = ( s - z1 )( s - z2 )L( s - sn )
L0( s ) + M0( s ) M ( s )
Tw.
Jeżeli M0(s) ma k pierwiastków w prawej i n-k lewej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej
(nie ma pierwiastków na osi liczb urojonych), to M (s) ma n pierwiastków w lewej
półpłaszczyz
nie wtedy i tylko wtedy gdy:
" arg 1+ G0( jÉ ) = 2kÄ„
{ } Ô! " arg 1+ G0( jÉ ) = kÄ„
{ }
-"<É<" 0<Éi <"
G0( jÉ ) = G0( s )
(charakterystyka a-f obejmuje w kierunku dodatnim punkt (-1, j0) k
s= jÉ
razy).
2
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Dow.
TAKŻE DLA
M( s )
( s ) =
1+G0
UKA
ADÓW Z
M0( s )
OPÓy
NIENIAMI
" arg M ( jÉ ) " arg M0( jÉ ) =
" arg 1+ G0( jÉ ) = { }-
{ }
{ }
-"<É<" -"<É<" -"<É<"
n n
nĄ ( n
" arg jÉ - sl ]
{ }- " arg jÉ - s0l = -[ - k )Ä„ - kÄ„ = 2kÄ„
{ }
" "
=
-"<É<" -"<É<"
l=1 l=1
jÉ-sl
Im
Im jÉ-sl
jÉ
jÉ
sl
sl
Re
Re
" arg jÉ - sl = Ä„ " arg jÉ - sl = -Ä„
{ } { }
-"<É<" -"<É<"
3
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Analizujemy parametryczny opis granicy stabilnoÅ›ci jÉ i jego obraz w przeksztaÅ‚ceniu
G0(jÉ)
0.01e-02s
G0( jÉ ) =
( s +1)( s + 0.1)( s + 0.01)
wykres we współrzędnych biegunowych:
1+G0(jÉ)
É
G0(jÉ)
4
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Wykres Nyquista Wykresy Bodego
5
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Procedura:
1. Narysuj wykres Nyquista  zacznij od pulsacji =0 skończ na pulsacji dużej  tak
dużej, ze moduł transmitancji widmowej układu otwartego będzie pomijalnie mały
(tak będzie dla każdego układu realizowalnego).
2. Wyznacz liczbę N obejść punktu krytycznego zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek
zegara. Możesz postąpić tak: narysuj półprostą z punktu krytycznego w dowolnym
kierunku, policz przejścia wykresu Nyquista przez półprostą zgodnie z kierunkiem
wskazówek zegara z + przeciwnie z -.
3. Wyznacz liczbę P biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyz
nie.
4. Oblicz liczbę biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyz
nie: Z=N+P.
6
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Jeżeli układ jest stabilny, to jak dalece można zmienić jego parametry, żeby stabilny pozostał?
Miary odporności.
Miarą odporności będzie odległość wykresu
Nyquista od punktu krytycznego sm. Nazywamy jÄ…
zapasem stabilności. Pamiętamy że:
Maksimum moduÅ‚u funkcji wrażliwoÅ›ci Ms=max|S(jÉ)|,
przypadajÄ…ce dla pulsacji Ésc jest miarÄ… maksymalnego
wzmocnienia zakłóceń w układzie, przypada ono
dokładnie dla tej częstotliwości dla której moduł
[1+transmitancja układu otwartego] osiąga minimum
sm=min|1+P(jÉ)C(jÉ)|, które za chwilÄ™ nazwiemy
zapasem stabilności. Mamy M = 1/s
s m
sm
Miarę odporności układu można też wyrazić przez
zapas amplitudy (modułu, wzmocnienia) "M i
fazy "Ć wyznaczane w następujący sposób:
7
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
1/"M
"Ć
8
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
lub bezpośrednio z wykresu
Bodego:
czyli zapas modułu jest
czynnikiem przez który można
pomnożyć wzmocnienie układu
otwartego bez utraty stabilności
(odporność na zmiany
wzmocnienia), a zapas fazy
wielkością, o którą można
zmniejszyć przesuniecie fazowe
układu otwartego dla pulsacji,
przy której moduł =1 (odporność
na opóz
nienia w układzie).
9
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
1
M
S
1/"M
"Ć
=1/MS
sm
1 1
+ < 1
Analiza rysunków pozwala napisać ,
M "M
S
1 1 MS -1
MS 1
< 1- =
"M > "Õ > arcsin
czyli , podobnie
"M MS MS
MS -1 MS
10
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
StÄ…d: Ms = 2 gwarantuje "M e" 2 i "Ć e" 30o Ms = "2 (1.41) gwarantuje "M e" 3.4 i "Ć e" 45 o Ms = 2/"3
(1.15) gwarantuje "M e" 7.5 i "Ć e" 60 o
Na problem odporności można spojrzeć i
tak:
Przy jakiej zmianie transmitancji obiektu
"P układ pozostanie stabilny:
Dla każdej pulsacji musimy mieć
"PC < 1+ PC
"P
1+ PC 1
< =
P PC TYR
1+PC
"PC
11
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Co w przypadku gdy bieguny układu zamkniętego znajdują się na osi liczb urojonych?
jÉ G0( jÉ )
Jeżeli biegun układu otwartego znajduje się na osi liczb urojonych w odwzorowaniu
wystąpią osobliwości.
Bieguny
Zamiast odwzorowania osi liczb
układu
I jÉ G0( jÉ ) rozważamy
urojonych I
otwartego
odwzorowanie ścieżki N przedstawionej na
rysunku
12
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
N
i opisanej
zależnościami:
W odwzorowaniu
N jÉ G0( jÉ )
półokręgi o promieniu
dążącym do 0 przejdą w
półokręgi o promieniu
nieskończonym. W
przypadku biegunów
wielokrotnych okręgi o
promieniu
nieskończonym będą
wielokrotnie obiegane.
13
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
1
G0( s ) =
s( s +1)
odpowiedz
jednostkowa uchybu
14
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
1
G0( s ) =
s3( s +1)
odpowiedz
jednostkowa uchybu
15
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
( s +10 )2
G0( s ) =
s3
odpowiedz
jednostkowa uchybu
16
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
10( s +10 )2
G0( s ) =
s3
odpowiedz
jednostkowa uchybu
17
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
85( s +1)( s2 + 2s + 43.25)
G0( s ) =
s2( s2 + 2s + 82 )( s2 + 2s +101)
odpowiedz
jednostkowa uchybu
18
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
 Stabilność układów dyskretnych
Układ o transmitancji dyskretnej
L(z)
G(z) = , M (z) = (z - z1)(z - z2)L(z - zn )
M (z)
nazywamy stabilnym jeśli składowa przejściowa jego odpowiedzi pozostaje ograniczona
dla dowolnej chwili impulsowania k, a asymptotycznie stabilnym gdy zanika dla k
dążącego do nieskończoności. Twierdzenie
Układ o transmitancji dyskretnej
L(z)
G(z) = , M (z) = (z - z1)(z - z2)L(z - zn )
M (z)
zi <1, i =1,2,L, n
jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy
19
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Kryteria stabilności:
Warunki konieczne:
Jeżeli wielomian ma wszystkie pierwiastki wewnątrz okręgu
zm + a1zm-1 +L+ am-1z + am
jednostkowego, to
ëÅ‚möÅ‚
1. ak < ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
2. 1+ a1 + a2 + a3 +L + am > 0
3. 1- a1 + a2 - a3 +L+ (-1)m am > 0
Przekształcenie homograficzne:
w +1
z =
w -1
20
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
w +1öÅ‚ w +1öÅ‚m w +1öÅ‚m-1 w +1öÅ‚
ëÅ‚
M = am ëÅ‚ + am-1ëÅ‚ +L+ a1ëÅ‚ + a0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
w -1 w -1 w -1 w -1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
-m m m-1
= (w -1) [am(w +1) + am-1(w +1) (w -1)+
m-1 m -m
+L+ a1(w +1)(w -1) + a0(w -1) ] = (w -1) B(w)
Wielomian M(z) ma wszystkie pierwiastki wewnÄ…trz koÅ‚a o promieniu 1 Ô! wielomian B(w) ma
wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyz
nie.
+ algebraiczne kryteria stabilności dla układów ciągłych.
Kryteria algebraiczne dla układów dyskretnych (Jury ego, Mardena, ...)
21
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej
L0(z)
G0(z) = , M0(z) = (z - z01)(z - z02)L(z - z0n)
M0(z)
jÉi
i transmitancji widmowej G ( jÉi ) = G0( z ) z=e Éi = ÉTi daje ukÅ‚ad zamkniÄ™ty o
0
L0(z) L0(z)
transmitancji G(z) = L0(z) + M0(z) = M (z) , M (z) = (z - z1)(z - z2)L(z - zn )
Tw.
Jeżeli M0(z) ma k pierwiastków na zewnątrz okręgu jednostkowego i n-k pierwiastków
wewnątrz, to M (z) ma n pierwiastków wewnątrz okręgu jednostkowego wtedy i tylko
wtedy gdy:
" arg {1+ G0( jÉi )}= 2kÄ„ Ô! " arg{1+ G0( jÉi )}= kÄ„
-Ä„ <Éi <Ä„ 0<Éi <Ä„
jÉi
(charakterystyka a-f G ( jÉi ) = G0(z) z=e obejmuje w kierunku dodatnim punkt (-1, j0) k
0
razy).
22
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Dow.
M (z)
0
1+G (z) = M0(z)
" arg {M ( jÉi )}- " arg {M0( jÉi )}=
" arg {1+ G0( jÉi )}=
-Ä„ <Éi <Ä„ -Ä„ <Éi <Ä„
-Ä„ <Éi <Ä„
n n
Im
jÉi jÉi
" arg {e - zl}- " arg {e - z0l}=
= " "
-Ä„ <Éi <Ä„ -Ä„ <Éi <Ä„
l=1 l =1
z2
2nĄ - (n - k)2Ą = 2kĄ
ejÉ-z1
=
z1
ejÉ-z2
ejÉi Re
23
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
24
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista