Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
Intuitively, the state may be regarded as a kind of information storage or memory or accumulation
of past causes. We must, of course, demand that the set of internal states x be sufficiently
rich to carry all information about the past history of x to predict the effect of the past upon
the future. We do not insist, however, that the state is the least such information although this
is often a convenient assumption.
R.E.Kalman, P.L. Falb and M.A.Arbib, Topics in Mathematical SystemTheory, 1969
Rozważać będziemy opis układu w postaci:
d
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + Bu(kT )
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y(kT ) = Cx(kT ) + Du(kT )
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x0 lub bardziej ogólnie x(t0)=x0
2
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
x((k+1)T
y(kT)
x(kT)
1
z
u(kT)
-1 -1
-1
X ( s ) = sI - A x0 + sI - A BU( s ),
()() X (z) = (zI - A) (zx(0) + Bu(z))
t
k -1
x( t ) =Ś( t )x0 +
x(kT ) = Ak x(0) + Ak -i-1Bu(i)
+"Ś( t -� )Bu(� )d�
"
=
0 i=0
k
Ak x(0) + Ai-1Bu((k - i)T )
"
=
i=1
3
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
ż#
( )
-1 �#adj sI - A �#
�#
-1
-1
Ś(t ) = L-1 sI - A = L-1 �#
()
Ź#
{} Ak = Z {z(zI - A) }
det sI - A
()�#
�#
�#�#
"
A2t2 A3t3 Aiti
Ś(t ) = I + At + + + =
"
2! 3! i!
i=0
Ś(t ) = eAt
t
k -1
x( t ) =Ś( t - t0 )x0 +
+"Ś( t -� )Bu(� )d�
x(kT ) = Ak x(0) + Ak -i-1Bu(i)
"
=
t0
i=0
k
Ak x(0) + Ai-1Bu((k - i)T )
"
=
i=1
4
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Postać modalna rozwiązania:
t
nn
si t-�
st ( )
i
x( t ) =
"e vwiT x0 + "e vwiT Bu(� )d� =
i i
+"
i=1 i=1
0
n
n k
k
i-1
t
n
x(kT ) + wT (z ) Bu((k - i)T )
Ą#ń#
"(z ) vi wT x(0)
i i
= "v " j
j j
st -� si
i
= i=1 j=1 i=0
ó#x
"e viwiT + Ą#
0
+"e Bu(� )d�
i=1
Ł# 0 Ś#
Ą#C sI - A -1 B + Dń#U(s) = G(s)U(s) Y( z) = zI - A -1 B + Dń#u( z) = G( z)u( z)
Ą#C
Y(s) =
()
()
Ł#Ś#
Ł#Ś#
adj sI - A
( ) adj( zI - A)
-1 -1
Ą#C
G( s ) = C sI - A B + D = C B + D G( z ) = zI - A B + Dń# = C B + D
() ()
Ł#Ś#
det sI - A
() det( zI - A)
mogą wystąpić skrócenia  transmitancja może być niższego rzędu niż wymiar wektora stanu!!
5
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
Pq( t ) = x( t ), det P `" 0
Pq( kT ) = x( kT ), det P `" 0
d
Pq( t ) = APq( t ) + Bu( t ) nowe równanie stanu
Pq(( k +1)T ) = APq( kT ) + Bu( kT )
dt
y( kT ) = CPq( kT ) + Du( kT )
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
d
q(t ) = P-1APq(t ) + P-1Bu(t ) nowe równanie stanu q(( k +1)T ) = P-1APq( kT ) + P-1Bu( kT )
dt
y( kT ) = CPq(kT ) + Du(kT )
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
d


q( t ) = Aq( t ) + Bu( t ) A = P-1AP, B = P-1B
q(( k +1)T ) = Aq( kT ) + Bu( kT )
dt

y( kT ) = Cq( kT ) + Du( kT )

y( t ) = Cq( t ) + Du( t ) C = CP
wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!
liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!
6
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
d
x(t) = Acx(t) + Bcuc (t)
dt
Układ ciągły:
y(t) = Ccx(t) + Dcuc (t)
poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu
(odpowiedniego wymiaru) i impulsatorem:
t
Ac ((k +1)T -� )
c
x((k +1)T ) = eA T x(kT ) + d� Bcu(kT )
+"e
t0
t T
Ac ((k +1)T -� ) Ac�
c
A = eA T , B = d� Bc =
+"e +"e d� Bc
t0 0
T
Ac� -1
c
B = d� Bc = Ac [eA T - I]Bc
det Ac `" 0
gdy
+"e
0
c c
A = eA T �! det(A) = det(eA T ) = etr ( AcT ) `" 0
7
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Diagonalizacja równania stanu
y( s ) b0sn + b1sn-1 + + bn c1 c2 cn
= G( s ) = = b0 + + + +
u( s ) s + p1 s + p2 s + pn s + p1 s + p2 s + pn
()() () () () ()
1 d
xi(s) = u(s) �! xi(t ) = - pi xi(t ) + u(t )
s + pi dt
()

x1( t ) - p1 0 0 x1( t ) 1
Ą#ń# Ą# ń# Ą#ń# Ą# ń#
x1( t )
Ą#ń#
ó#x ( t )Ą# ó# Ą# ó#x ( t )Ą# ó#1Ą#
ó#x ( t )Ą#

0 - p2 0
2 2
ó#Ą# ó# Ą# ó#Ą# ó# Ą#u( t )
=+
y( t ) = c1 c2 cn 2 Ą# + bu( t )
[]ó#
0
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
ó#x ( t )Ą# ó#
ó#x ( t )Ą#

0 0 - pn Ą# ó#xn( t )Ą# ó#1Ą#
Ł# n Ś# Ł# Ś# Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# n Ś#
8
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Przypomnienie:
vi `" 0, Avi = sivi definicja wartości wektorów własnych
siI
( - A vi = 0
)
det siI - A = 0
( )
det sI - A det sI - A = 0
( ) ( )
wielomian charakterystyczny A równanie charakterystyczne
czyli jest n wartości własnych A rzeczywistych lub zespolonych parami sprzężonych, jedno lub
wielokrotnych. Dalej zakładamy, że wartości własne są jednokrotne.
Równania definiujące wektory i wartości własne można zapisać łącznie:
9
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
s1 0 0
Ą# ń#
ó# Ą#
0 s2 0
Ą#
A v1 v2 vn = v1 v2 vn
[] []ó#
ó# Ą#
ó#
0 0 sn Ą#
Ł# Ś#
AV = VS
-1 -1
V AV = S , A = VSV
Jeśli potrafimy wskazać n niezależnych liniowo wektorów własnych macierzy stanu, to równanie stanu
możemy przekształcić do postaci kanonicznej diagonalnej. Będzie tak zawsze w przypadku różnych
wartości własnych, ale nie tylko.
10
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Co w przypadku wielokrotnych biegunów transmitancji:
y( s ) b0sn + b1sn-1 + + bn c1 c2 c3 c4
= G( s ) = = b0 + + + + +
33 2
u( s ) s + p1 s + p4
() ()
s + p1 s + p4 s + pn s + p1 s + p1
() () () () ()
1 d
xi(s) = u(s) �! xi(t ) = - pi xi(t ) + u(t )
i = 3,4,& ,n
:
s + pi dt
()
11 d
x2(s) = u(s) = x3(s) �! x2(t ) = - p1x2(t ) + x1(t )
2
s + p1 dt
()
s + p1
()
11 d
x1(s) = u(s) = x2(s) �! x1(t ) = - p1x1(t ) + x2(t )
3
s + p1 dt
()
s + p1
()
11
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego

x1( t ) Ą# - p1 10 ń# x1( t ) 0
Ą#ń# Ą#ń# Ą#ń# Ą# ń#
ó#Ą#
ó#x ( t )Ą# ó#Ą# ó#x ( t )Ą# ó#0Ą#

0 - p1 1 0 0
2 2
ó#Ą#
ó#Ą# ó#Ą# ó#Ą# ó# Ą#
ó#Ł# Ą#

ó#x3( t )Ą# ó#Ą# ó# x3( t )Ą# ó#1Ą#
00 - p1Ś#
ó#Ą#
ó#x ( t )Ą# = ó#x ( t )Ą# + ó#1Ą#u( t )

0 - p2 0
4 4
ó#Ą#
ó#Ą# ó#Ą# ó# Ą#
ó#Ą#
ó#Ą# ó#Ą# ó# Ą#


ó#Ą#
ó#Ą# ó#Ą# ó# Ą#

( t )Ś# ó#Ą# ( t )Ś# Ł#1Ś#
00 - pn Ś# Ł#xn
Ł#xn
Ł#
x1( t )
Ą#ń#
ó#x ( t )Ą#
y(t ) = c1 c2 cn 2 Ą# + b0u(t )
[]ó#
ó# Ą#
ó#x ( t )Ą#
Ł# n Ś#
12
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Postać kanoniczna Jordana:
Klatką Jordana związaną z liczbą si nazwiemy macierz postaci
Ą#si 1 0 & 0 ń#
ó#0 si 1 & 0 Ą#
ó#
Jij = Ą#
ó# Ą#
ó#0 0 0 & 1 Ą#
ó# Ą#
Ł#0 0 0 & siŚ#
a blokiem Jordana macierz blokową postaci
Ą#Ji1 0 & 0 ń#
ó#0 Ji2 & 0 Ą#
Ji =
ó# Ą#

ó# Ą#
ó#0 0 & Jid Ą#
Ł# i Ś#
gdzie Ji j j=1,& ,di są klatkami Jordana związanymi z tą sama liczbą si, a pozostałe elementy są zerami.
Jak widać każdy blok Jordana ma tylko jedna wartość własną si. .
13
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Każda macierz kwadratowa jest podobna do macierzy blokowej, która ma na głównej przekątnej bloki
Jordana, a poza nią bloki zerowe. Macierz tą
Ą#J1 0 & 0 ń#
ó#0 J2 & 0 Ą#
J =
ó# Ą#

ó# Ą#
Ł#0 0 & JkŚ#
nazywamy postacią kanoniczną Jordana macierzy A.
Niech T = Ą# t2 tn ń# będzie macierzą przekształcenia do postaci kanonicznej Jordana składającej się z k
Ł#t1 Ś#
s1,s2 ,& sk
klatek Jordana o wartościach własnych i wymiarach (czyli krotnościach wartości własnych)
m,m2 ,& mk
.
1
14
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Ą# ń#
Ą#s1 1 0ń#
ó# Ą#
ó#Ą#
0 s1 0
ó#
ó#
1Ą# 0 & 0 Ą#
Ą#J1 0 & 0 ń#
ó# Ą#
ó#
AT = T
ó#Ą#
0 J & 0
Ś#
ó#Ł#0 0 s1Ą#Ą#
2
AT = T
ó#Ą#
0 J & 0
ó# Ą#

2
ó#0 0 & J Ą#
ó# Ą#
Ł#Ś#
k
ó#00 & J Ą#
Ł# k Ś#
At1 = s1t1,1
wektor własny związany z wartością własną s1
At2 = t1,1 + s1t1,2

Atm1 = t1,m1-1 + s1t1,m1 wektory główne związane z wartością własną s1
Jaka będzie macierz tranzycyjna, jeśli postacią kanoniczną macierzy stanu jest postać Jordana?
15
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
1
Ą#e tes
1 sit t
i i i
Ą#ń#
eJ t 0 0
tm -1es t ń#
ó# Ą#
mi
( -1 !
)
ó#Ą#
2
Ą#
0 eJ t 0
t
i i
Ś(t ) = Tó#Ą#T -1 eJ = ó# 0 est
ó# Ą#
ó#Ą#

ó# Ą#
i
test
ó#Ą#
ó# Ą#
k
0 0 eJ t Ś#
i
Ł#
ó# Ą#
0 0est
Ł# Ś#
T
Ą# ń#
�1
ó# Ą#
T
-1
ó#�2 Ą#
T =: � =
k
st TT-1 ó# Ą#
ii i i

Ś(t ) =Ł#
"Ą#e ti,1�i,1 + testti,2�i,2 + + tm estti,m�iT ń#
,mi
i Ś#
ó# Ą#
i=1
T
Ł#�n Ś#
16
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Mody odpowiedzi swobodnej układu:
Jeśli postać kanoniczna macierzy stanu jest diagonalna:
T
Ą# ń#
w1
ó#wT Ą#
-1 2
ó# Ą#
V =:W =
ó# Ą#

V- nieosobliwa macierz wektorów własnych,
ó# Ą#
T
Ł#wn Ś#
1
Ą#ń#
es t 0 0
ó#Ą#
2
n
0 es t 0
st
Ś(t ) = Vó#Ą#V -1 i
Ś(t ) =
ó#Ą# "e viwiT

i=1
ó#Ą#
n
0 0 es t Ś#
Ł#
17
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
t
x( t ) =Ś( t )x0 +
+"Ś( t -� )Bu(� )d�
0
tt
nn n
Ą# ń#
si t-�
st ( ) st -� si
i i
x( t ) =
ó#x Ą#
"e vwiT x0 + "e vwiT Bu(� )d� = "e vwiT +
i i i 0
+"+"e Bu(� )d�
i=1 i=1 i=1
0 Ł# 0 Ś#
n
st
i
x(t ) =
"e viwiT x0
Bez wymuszenia:
i=1
Jeżeli wartość własna si jest rzeczywista to odpowiadający jej wektor własny vi jest też rzeczywisty.
Składnik tej sumy  mod opisuje ruch rzutu rozwiązania na prostą wyznaczoną przez wektor vi.Jeżeli
ii
x0 = ąvi x(t ) = ąestvi = est x0 wiTvi = 1, wjTvi = 0 j `" i
, to , bo . Trajektoria rozpoczynająca się w x0
będzie prostoliniowa, ekspotencjalnie dążąca do 0 lub nieskończoności zależnie od znaku si. Jeżeli mod
związany z wartością własną si ma nie wystąpić w rozwiązaniu, to warunek początkowy x0 musi mieć
składową = zeru w kierunku wektora vi .
18
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
A =
-3.6667 -2.6667
-1.3333 -2.3333
S =
-1 0
0 -5
V =
1 2
-1 1
19
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
A =
-3.0000 -4.0000
-2.0000 -1.0000
S =
1 0
0 -5
V =
1 2
-1 1
20
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
A =
-3.6667 -2.6667
-1.3333 -2.3333
S =
1 0
0 5
V =
1 2
-1 1
21
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
A =
-3.3333 -3.3333
-1.6667 -1.6667
S =
0 0
0 -5
V =
1 2
-1 1
22
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
A =
-5.0000 0
0.0000 -5.0000
S =
-5 0
0 -5
wektorami własnymi mogą być dowolne
liniowo niezależne wektory
23
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Jeżeli postać kanoniczna jest postacią Jordana (dalej rozważamy rzeczywiste wartości własne), to
trajektorie prostoliniowe będą wyznaczone tylko przez wektory własne (jest ich po jednym na klatkę
Jordana). Trajektorie zaczynające się na prostych wyznaczonych przez wektory główne nie są
prostoliniowe!
1
Ą#e tes
1 sit t
i i i
Ą#ń#
eJ t 0 0
tm -1es t ń#
ó# Ą#
mi
( -1 !
)
ó#Ą#
2
Ą#
0 eJ t 0
t
i i
Ś(t ) = Tó#Ą#T -1 eJ = ó# 0 est
ó# Ą#
ó#Ą#

ó# Ą#
i
test
ó#Ą#
ó# Ą#
k
0 0 eJ t Ś#
i
Ł#
ó# Ą#
0 0est
Ł# Ś#
Trajektorie w przestrzeni stanów można rozłożyć na składowe odpowiadające rzutom na podprzestrzenie
rozpięte na wektorze własnym i wektorach głównych związanych z kolejnymi klatkami Jordana.
24
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
A =
-4.6667 0.3333
-0.3333 -5.3333
S =
-5 1
0 -5
T =
1 2
-1 1
25
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
si = � + j�
W przypadku zespolonej pojedynczej wartości własnej istnieje sprzężona do niej. Odpowiednie
wektory własne są też zespolone sprzężone. W sumie dwu modów zwianych ze sprzężonymi wartościami
własnymi nastąpi skrócenie części urojonych i pozostanie część rzeczywista w postaci drgań
harmonicznych o pulsacji równej modułowi części urojonej wartości własnej tłumiona (lub wzmacniana)
e� t
wykładniczo zgodnie z .
A =
0 1
-1 0
S =
0 + 1.0000i 0
0 0 - 1.0000i
V =
1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i
-1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i
26
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
A =
-1 1
-1 -1
S =
-1.0000 + 1.0000i 0
0 -1.0000 - 1.0000i
V =
1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i
-1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i
27
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Bardzo podobne rozważania można przeprowadzić dla układów dyskretnych w czasie korzystając z
n
k
i i
x(kT ) "(z ) vi wT x(0) .
zależności =
i=1
x1
Ą# ń#
ó#x Ą#
2
ó# Ą#
Kosmita talerzowy łagodny porusza się w przestrzeni skokami, zgodnie z równaniem
ó# Ą#
3
Ł#x Ś#
x1
Ą# ń#
x1( k +1) 0.9 0.7 - 0.7 x1( k )
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#x Ą#
ó#x ( k +1)Ą# ó#0.4 0.9 - 0.4Ą# ó#x ( k )Ą#
=10
= �"
2
2 2
. Z którego punktu na kuli ó# Ą# musi wystartować kosmita by
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
ó# Ą# Ą#
3 Ł#0.4 Ł#x Ą#
3 3
Ł#x ( k +1)Ś# ó# 0.7 - 0.2Ś# ó# ( k )Ś# Ł#x Ś#
trafić do początku układu współrzędnych po linii prostej. Narysuj wszystkie trajektorie prostoliniowe.
Po ilu skokach znajdzie się w odległości mniejszej niż zasięg szczypiec (0.1) od celu.
28
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
A =
0.9000 0.7000 -0.7000
0.4000 0.9000 -0.4000
0.4000 0.7000 -0.2000
>> [V S]=eig(A)
V =
0 -0.5774 0.7071
-0.7071 -0.5774 -0.0000
-0.7071 -0.5774 0.7071
S =
0.5000 0 0
0 0.9000 0
0 0 0.2000
Mamy 3 stabilne, rzeczywiste wartości własne, będą więc 3 proste wyznaczające trajektorie
prostoliniowe  kierunki 3 wektorów własnych. Dadzą one 6 punktów przecięcia ze sferą o promieniu 10.
29
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Najszybsza będzie trajektoria związana z
najmniejszą wartością własną 0.2. Ruch
po niej odpowiada mnożeniu położenia
w przestrzeni stanów przez 0.2 w
każdym kroku. Odległości od celu będą
więc wynosić kolejno 10, 2, 0.4, 0.08,
0.004 .......
30
Automatyka i sterowanie 12 Ruch w przestrzeni stanów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego