Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
Częstotliwość próbkowania  wpływ na pracę układu dyskretnego
2T 10T
20T
*
f (t) f (t) x(t)
T = 0.5
2
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
*
f (t) f (t) x(t)
T = 0.5
1
1 f(u)
x(t)
f(t)
Ekstrapolator
IMPULSATOR
T
Filtr??
Czy częstotliwości z wejścia są
zniekształcane przez impulsowanie?
Czy będą na wyjściu?
x(t) = f (kT ) kT d" t < kT + T
"
x(t) = f (kT )[1(t - kT ) -1(t - kT - T )]
"
k =0
"
1 1 1- e-Ts "
*
x(s) = f (kT )Ą# e-kTs - e-(k +1)Ts ń# = f (kT )e-kTs = E(s) f (s)
" "
ó#s Ą#
s s
Ł# Ś#
k =0 k =0
3
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
" "
*
f (t) = f (kT )� (t - kT ) = f (t) � (t - kT )
" "
k =0 k =-"
Przeprowadzimy analizę częstotliwościową tej funkcji.
Podstawy częstotliwościowej analizy sygnałów:
Okresową funkcję f(t) o okresie T , spełniającą warunki Dirichleta można przedstawić w postaci sumy
szeregu Fouriera
"
2Ą
f ( t ) = a0 + an cosn�At + bn sinn�At ) �A =
"(
T
n=1
t0 +T t0 +T
t0 +T
1 2
2
bm = f ( t )sinm�Atdt
a0 = f ( t )dt am = f ( t )cosm�Atdt
+" , +" , +" , m=1,2,....
T T T
t0 t0 t0
lub:
4
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
" "
jn�At
f ( t ) = a0 + an cosn�At + bn sinn�At )
"( "c e
n
= ,
n=1 n=-"
T
bn 2
T
- j tan-1
an - jbn 1 1 1
2 2 an
f ( t )e- jn�Atdt = f ( t )e- jn�Atdt
cn = = an + bn e
+" +"
=
T T
2 2
T
0
-
2
Transformatę Fouriera (nieokresowej) funkcji x(t) określa:
"
!{x( t )}= X ( j� ) = x( t )e- j�tdt
+"
-"
a transformatę odwrotną
"
1
j�t
!-1{X ( j� )}= x( t ) = X ( j� )e d�
+"
2Ą
-"
"
X ( j� ) = x( t )e- j�tdt = X ( s )
gdy x(t)=0 dla t<0 to +"
s= j�
0
5
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Gdy x(t) jest okresowa, to ma rozwinięcie w szereg Fouriera
"
jn�At
x( t ) =
"c e
n
n=-"
wtedy:
"
" "
" "
jn�At j�t jn�At j�t
!{x( t )}= X ( j� ) = x( t )e- j�tdt
"c e e- dt = "c e e- dt =
n n
+" +" +"
=
n=-" n=-"
-" -" -"
"
"
jn�At
()= "c
2Ą � (� - n�A )
"c ! e
n
n
=
n=-" n=-"
6
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
" "
*
f (t) = f (kT )� (t - kT ) = f (t) � (t - kT )
" "
Zastosujmy to do funkcji
k =0 k =-"
"
� ( t - kT ) jest okresowa o kresie T .
"
Funkcja
k=-"
Współczynniki jej szeregu Fouriera:
T
2
1 1
cn = � ( t )e- jn�Atdt =
+"
T T
T n=1,2,..
-
2
czyli
" "
1 2Ą
� ( t - kT ) = e- jk�At , �A =
" "
T T
k =-" k=-"
7
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
"
1
*
f ( t ) = f ( t ) e- jk�At
"
T
k =-"
"
* *
{}
! f ( t ) = F*( j� ) = f ( t )e- j�tdt
+"
-"
" "
" "
1 1
- jk�At j�t
F*( j� ) = f ( t ) e- dt = f ( t )e- j(k�A +�)tdt
"e "
+" +"
T T
k =-" k=-"
-" -"
"
"
1
F*( j� ) = F(j(k�A + �)) gdzie !{f ( t )}= F( j� ) = f ( t )e- j�tdt
"
+"
T
k=-"
-"
2Ą
A
przesunięte o wielokrotność � = T transformaty Fouriera funkcji f(t)
F( j� ) = 0 � > �1
�A > 2�1
Załóżmy, że dla
8
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
F( j� )
F( j� ) = 0 dla � > �1 i �A > 2�1
- �1 �1
F*( j� )
k = 1
k = -1 k = -2
�A
2
�A
- 2�A -�A - �1 �1 2�A
G( j� )
k = 1
k = -1 k = -2
�A
2
9
- 2�A -�A - �1 �1 �A 2�A
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Stosujemy filtr idealny o transmitancji widmowej
�A
ż#1 dla � <
T
�#
2
G( j� ) =
�#
�A
�#
0 dla � <
�# 2
2T
jego odpowiedz
impulsowa:
�A
"
2
1
j�t 1
j�t
!-1{G( j� )}= g( t ) =
e d�
+"G( j� )e d� = =
+"
2Ą 2Ą
�A
-"
-
2
�A �A
j t - j t ś#
�#ś#
1 1 �A = 1 sin�# �A t 1 sin�# �A t ś#
ś# ź#
ś#
2
�# #
= = sin�# t ś#ź#
=
ś#e 2 - e 2 ź#
ś#ź#
�A
2
2Ą jt T
Ą t 2
�# # T t�# # �A t
�# #
2
2
10
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Tw. Shannona
F( j� ) = 0 � > �1
Jeżeli dla to F(j�) jest jednoznacznie określona przez ciąg f(kT) i f(t) jest dana
przez
�A( t - kT )
sin
"
2
f ( t ) = f ( kT )
"
�A( t - kT )
k =-"
2
11
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Moduł transmitancji widmowej
ekstrapolatora zerowego rzędu
0,637
�A �A 2�A
2
12
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
F( j� ) = 0 � > �1
dla
F( j� )
ale � < 2�1
A
�1
- �1
F*( j� )
k =1
k = -1 k = -2
�1 �A
- 2�A -�A- �1 2�A
�2 �A
2
F( j(�2 ) F( j(�A - �2 )
alias �2
13
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Środki zaradcze:
1. Podnieść � tak by � > 2�1 czyli zmniejszyć T. W praktyce� > 5 �10�1
A A A
�A
2. Obciąć widmo f(t) do przez filtr dolnoprzepustowy przed próbkowaniem
2
14
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
15
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
16
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Wolne próbkowanie (undersampling) może być stosowane świadomie. Przetwornik A/C może
przetwarzać informację zakodowana w modulowanym sygnale nośnym o dużej częstotliwości i
wytwarzać sygnał o częstotliwości niższej.
Stosowanie przetwornika próbkującego poniżej częstotliwości Nyquista może być opłacalne finansowo.
Np. Sygnał nośny 10MHz jest modulowany sygnałem o paśmie 100kHz (ą50kHz ośrodku 10MHz).
Próbkowanie z częstotliwością 4MHz daje składniki (f1+f2 i f1-f2) o częstotliwości 14MHz i 6Mz, i
składniki (2f1, 2f2, 2f1+f2, f1+2f2, | 2f1-f2 |, | f1-2f2) | o częstotliwości 8MHz, 20MHz, 18MHz, 2MHz,
24MHz i 16MHz. Sygnał o częstotliwości 2MHz jest tym, o który chodzi. Z sygnału 10MHz przez
próbkowanie wytworzono  alias 2MHz. W sposób cyfrowy można teraz  odzyskać sygnał o
częstotliwości 50kHz. Nie wymaga to kosztownej obróbki analogowej, wystarczy odpowiednie
oprogramowanie.
Szybkie próbkowanie (oversampling) może być używane do redukcji szumów w przypadku zakłócenia
szumem białym. Zbieramy więcej próbek, niż to konieczne do odtworzenia sygnału, potem filtrując dane
redukujemy poziom zakłóceń.
17
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Transmisja sygnałów w układzie regulacji
�A
W układzie regulacji tor główny od sygnału uchybu powinien tłumić częstotliwości � > 2 i widmo
sygnału wyjściowego powinno być takie jak wejściowego. Jeżeli widmo to jest ograniczone przez �1,
to trzeba wybrać � > 2�1 , a w praktyce � > 5 �10�1
A A
Okres próbkowania wpływa na model układu dyskretnego  na transmitancje dyskretne i na macierze
opisu w przestrzeni stanów
t T
Ac ((k +1)T -� ) Ac�
c
A = eA T , B = d� Bc = d� Bc

+"e +"e
t0 0
T
Ac� -1
c
B = [eA T - I]Bc
det Ac `" 0
gdy +"e d� Bc = Ac 
0
ma więc wpływ na dynamikę układu dyskretnego i nawet na jego stabilność.
18
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Sterowalność:
Jeżeli wartościami własnymi układu ciągłego są si, to wartościami własnymi układu po dyskretyzacji są
i
es T . Jeżeli dwie różne wartości własne przejdą na tą samą wartość własną układu dyskretnego, to układ
dyskretny nie będzie sterowalny, mimo że układ ciągły jest całkowicie sterowalny.
s1 = � + j�1, s2 = � + j�2
Jeżeli wartości sterowania są ograniczone to
istotny jest  zakres sterowalności =obszar w
e(� + j�1 )T = e(� + j�2 )T
przestrzeni stanów osiągalny z 0 w N krokach
j(�1 -�2 )T
e = 1
przy ograniczonym sterowaniu. Dla zwiększenia
2Ą
 zakresu sterowalności zaleca się wybierać
T = ąq , q = 1,2,
�1 - �2
częstotliwość próbkowania 3 do 6 razy większą
od częstotliwości dla której następuje utrata
�1 = -�2 = � > 0
gdy
Ą Ą
Ą
< �T <
sterowalności czyli .
T = ąq , q = 1,2,
6 3
�
19
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania