Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
 1. Wyznaczenie transmitancji z równania różniczkowego/różnicowego.
Liniowe, stacjonarne równanie różniczkowe

an y(n) + an-1y(n-1) + ... + a1y + a0 y(t) = bmu(m) + bm-1u(m-1) + ... + b1u + b0u(t)
n e" m
n  rząd układu, stałe współczynniki,
warunki początkowe: y(0), y (0), & ,y(n-1)(0)
Możemy wyznaczyć rozwiązanie korzystając z transformaty Laplace a
"
L f (t ) = f (t )e-stdt = F(s)
[]
+"
0
Pamiętamy, że
df ( t )
Ą#ń#
L = sF( s ) - f ( 0 )
ó#Ą#
dt
Ł#Ś#
2
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
2
Ą#ń#
d f ( t ) Ą# d df ( t ) ń# df ( t )
�#ś#Ą#ń#
L = L = sL
[]-
ś#ź#ó# - f '( 0 ) = s sF( s ) - f ( 0 ) f '( 0 ) =
ó#
dt2 Ą# ó# dt dt dt
�# #Ą# Ą#
Ł#Ś#
Ł#Ś#
Ł#Ś#
= s2F( s ) - sf ( 0 ) - sf '( 0 )
.....
k
Ą#ń#
d f ( t )
k-2 k-1
( ) ( )
L = skF( s ) - sk-1 f ( 0 ) - sk-2 f '( 0 ) -& - sf ( 0 ) - f ( 0 )
ó#
dtk Ą#
Ł#Ś#
Przy zerowych warunkach początkowych wykonujemy transformatę Laplace a obu stron równania:
Y(s)(ansn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0)= U(s)(bmsm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0)
i otrzymujemy transmitancję układu:
Y (s) bmsm + ... + b1s + b0
= G(s) =
U (s) ansn + ... + a1s + a0
3
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Liniowe równania różnicowe:
an y((k + n)T )+ an-1 y((n + k -1)T )+ + a1 y((k +1)T )+ a0 y(kT ) = f (kT )
f (kT ) = bnu((k + n)T )+ bn-1u((n + k -1)T )+ + b1u((k +1)T )+ b0u(kT )
y( n -1), ,y(1),y( 0 )
warunki początkowe:
m-1
m-1
�# ś#
m -i
- x(i )zm-i
Z{x(k + m)}= z X (z) - x(i)z ź#
ś#
zm X( z ) "
"
=
�# i=0 # i=0
anznY( z) + an-1zn-1Y( z) + + a1zY( z) + a0Y( z) =
n-1 n-2
= an y(i )zn-i +an-1 y(i )zn-i + + a1zy( 0 )+F(z)
""
i=0 i=0
4
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
nn-1 n-2
L0( z ) = Azi = an y(i )zn-i +an-1 y(i )zn-i + + a1zy( 0 )
"" "
i
i=1 i=0 i=0
znika dla zerowych warunków początkowych
M( z ) = anzn + an-1zn-1 + + a1z + a0 wielomian charakterystyczny
L0 (z) F(z)
Y (z) = +
M (z)Y (z) = L0 (z) + F(z)
M (z) M (z)
F(z)
ż# �#
F(z)
-1
Y (z) =
y(kT) = Z
�# Ź#
zerowe warunki początkowe ,
M (z)
�#M (z)�#
F(z) = (bn zn + bn-1zn-1 + + b1z + b0)U (z) = L(z)U (z)
Transmitancja dyskretna:
L(z) L(z)
Y(z) = U (z) = G(z)U (z), G(z) =
M (z) M (z)
5
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 2.Wyznaczanie transmitancji dyskretnej i opisu w przestrzeni stanów układu składającego się z impulsatora i części
ciągłej.
Jeżeli układ o wejściu u i wyjściu y składa się z impulsatora i części ciągłej o transmitancji G(s), to na wejście G(s) do chwili t trafia
u(iT )� (t - iT )
ciąg impulsów Diraca . Żeby obliczyć y(t) trzeba zsumować odpowiedzi impulsowe G(s) na wszystkie impulsy do
chwili t. Tak więc:
g(t)=L--1{G(s)}
k
y(kT ) =
"g((k - i)T )u(iT )
i=0
jest splotem ciągów u(kT) i g(kT), transformata Z będzie więc iloczynem transformat
Y (z) = Z{g(kT )}U (z)
czyli
G(z) = Z{g(kT )}
6
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 3. Definicja i wyznaczanie transmitancji widmowej układu ciągłego i dyskretnego.
Transmitancja widmowa. Charakterystyki częstotliwościowe
u( t ) = Um cos(�t )
Rozważmy ustaloną składową odpowiedzi stabilnego układu o transmitancji G(s) na wymuszenie
Ums Ums
U( s ) ==
Transformatą Laplace a tego wymuszenia jest mamy więc dwa bieguny związane z
s2 + �2 s - j� s + j�
()()
wymuszeniem.
�#ś# �#ś#
st st
Ums Ums
yust( t ) = Rej�sś#G( s ) e + Rej� e
sś#G( s )
ź# ź#
s= s=-
s
( - j� s + j� s
)() ( - j� s + j�
)()
�# # �# #
j�t Um j� - j�t j�t - j�t
(- )
Um j� Um Um
= G( j� )e + G( - j� )e = G( j� ) e + G( - j� ) e
2 j� -2 j� 2 2
7
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
j�( � )
G( j� ) = G( j� ) e
G( - j� ) = G( j� ) e- j�( � )
j �t+� ( � ) - j �t+� ( � )
() ()
Um Um
yust( t ) = G( j� ) e + G( j� ) e =
22
j �t+� ( � ) - j �t+� ( � )
() ()
1
= G( j� ) Um e + e = G( j� ) Um cos �t +�(� )
()
( )
2
jx
e = cos x + j sin x
1
jx
cos x = e + e- jx
()
e- jx = cos x - j sin x 2
8
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
j�( � )
G( j� ) = G( j� ) e = P(� ) + jQ(� )
Transmitancja widmowa:
Q(� )
Ym(� )
A(� ) = P2(� ) + Q2(� ), Ć(� ) = arctg
A(� ) =
P(� ) Um(� )
Transmitancja widmowa UKA
ADU DYSKRETNEGO
u(t) = U sin(�t)
~
j�kT jk�i
U (kT) = Ue = Ue �i = �T
~ ~ z
Y (z) = G(z)U (z) = G(z)U
j�i
z - e
ustalona część odpowiedzi:
z
j�i jk�i
~
yust (kT ) = Re sż#G(z)U zk -1�# = G(e )Ue
�# Ź#
j�i
j�i
z=e
z - e
�# �#
j�i
G(z) =G(e )
G( j�i )
j�i
- transmitancja widmowa
z=e
Q(-�i ) = -Q(�i )
G( j�i ) = P(�i ) + jQ(�i ) P(-�i ) = P(�i )
,
9
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 4. Wyznaczanie opisu w przestrzeni stanów z transmitancji (I wariant metody bezpośredniej).
(I wariant metody bezpośredniej)

bsn-1 + b2sn-2 + + bn
Y( s) b0sn + b1sn-1 + + bn
1

b0 +
G( s ) ==
U( s ) sn + a1sn-1 + + an = sn + a1sn-1 + + an
~ ~ ~ ~ ~ ~
b1 = b1 - a1b0, b2 = b2 - a1b0, ,bn = bn - anb0
bs-1 + b2z-2 + + bns-n
1

G( s ) = b0 +
1+ a1s-1 + + ans-n
U( s)

Y( s) = b0U( s) + b1s-1 + b2s-2 + + bns-n
()1+ a1s-1 + + ans-n
U( s)
E( s ) =
1+ a1s-1 + + ans-n
10
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
E( s) = U( s) - a1s-1 + a2s-2 + + ans-n E( s)
( )
X1( s ) = s-nE( s )
X2(s) = sX1(s) = s-n+1E(s), ,Xn(s) = sXn-1(s) = s-1E(s)
wtedy:

x1( t ) 01 0 x1( t ) 0
Ą#ń# Ą# ń# Ą#ń# Ą# ń#
ó#Ą# ó# Ą# ó#
Ą# ó# Ą#

ó#Ą# ó# Ą# ó#Ą# ó# Ą#u( t )
=+

ó#xn-1( t )Ą# ó# 0 0 1 Ą# ó#xn-1( t )Ą# ó#0Ą#
ó#Ą# ó#

xn( t ) -an-1 -a1Ą# ó# xn( t )Ą# ó#1Ą#
Ł#Ś# Ł#-an Ś# Ł#Ś# Ł# Ś#
11
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
x1( t )
Ą#ń#
ó#Ą#

y(t ) = bn bn-1 b1 Ą# + b0u(t )
[]ó#x ( t )Ą#
ó#
n-1
ó#Ą#
xn( t )
Ł#Ś#
Wyznaczanie opisu w przestrzeni stanów  UKA
AD DYSKRETNY
(I wariant metody bezpośredniej)
~ ~ ~
~ b1zn-1 + b2zn-2 + + bn
Y (z) b0zn + b1zn-1 + + bn
b0 +
G(z) = =
U (z) zn + a1zn-1 + + an = zn + a1zn-1 + + an
~ ~ ~ ~ ~ ~
b1 = b1 - a1b0, b2 = b2 - a1b0, ,bn = bn - anb0
~ b1z-1 + b2z-2 + + bnz-n
G(z) = b0 +
1+ a1z-1 + + anz-n
12
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
~
Y (z) = b0U (z) +(b1z-1 + b2z-2 + + bnz-n)1+ a1z-1U (z)
+ + anz-n
U (z)
E(z) =
1+ a1z-1 + + anz-n
E(z) = U (z) -(a1z-1 + a2z-2 + + anz-n)E(z)
X1(z) = z-nE(z)
X2(z) = zX1(z) = z-n+1E(z), , Xn(z) = zXn-1(z) = z-1E(z)
wtedy:
x1((k +1)T ) 0 1 0 x1(kT) 0
Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#

ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#u(kT )
= +
ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#
xn-1((k +1)T ) 0 0 1 xn-1(kT ) 0
ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#
xn((k +1)T )
Ł# Ś# Ł#- an - an-1 - a1Ś#Ł# xn(kT) Ś# Ł#1Ś#
13
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
x1(kT )
Ą# ń#
ó# Ą#
~
y(kT ) = [bn bn-1 b1]ó# Ą# + b0u(kT )
ó# Ą#
xn-1(kT )
ó# Ą#
xn (kT )
Ł# Ś#
14
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 5. Operatorowe i czasowe rozwiązanie równania stanu.
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x0 lub bardziej ogólnie x(t0)=x0
15
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Do rozwiązania równania stanu użyjemy transformaty Laplace a:
sX( s) - x0 = AX( s) + BU( s)
sI
( - A X( s) = x0 + BU( s)
)
-1 -1
X ( s ) = sI - A x0 + sI - A BU( s )
()()
Macierz (sI-A)-1 jest nazywana rezolwentą macierzy A, a jej oryginał
ż#
( )
-1 �#adj sI - A �#
�#
Ś(t ) = L-1 sI - A = L-1 �#
()
Ź#
{}
det sI - A
()�#
�#
�#�#
d
x(t ) = Ax(t ). Rozwiązaniem tego równania z warunkiem
macierzą fundamentalną albo tranzycyjną równania
dt
-1
x( t ) = Ś( t )x0
X( s) = sI - A x0 czyli
()
początkowym x(0)=x0 będzie
16
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
d
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) z warunkiem początkowym x(0)=x0 będzie
a rozwiązaniem równania
dt
-1 -1
X ( s ) = sI - A x0 + sI - A BU( s ), czyli
()()
splot
t
x( t ) =Ś( t )x0 +
+"Ś( t -� )Bu(� )d�
0
Jeżeli warunek początkowy jest dany w x(t0)=x0 to dla t>t0
t
x( t ) =Ś( t - t0 )x0 +
+"Ś( t -� )Bu(� )d�
t0
Opis układów dyskretnych w przestrzeni stanów
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + Bu(kT )
y(kT ) = Cx(kT ) + Du(kT )
17
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
y(kT)
x((k+1)T)
x(kT)
u(kT
1
z
Rozwiązanie:
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + Bu(kT )
x(T ) = Ax(0) + Bu(0)
x(2T ) = Ax(T ) + Bu(T )
A2x(0) + ABu(0) + Bu(T )
=
x(3T ) = Ax(2T ) + Bu(3T )
A3x(0) + A2Bu(0) + ABu(T ) + Bu(2T )
=
18
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
.....................................................................
k
k -1
Ak x(0) + Ai-1Bu((k - i)T )
x(kT ) = Ak x(0) + Ak -i-1Bu(i)
"
"
=
i=0 i=1
Operatorowo
zX (z) - zx(0) = AX (z) + Bu(z)
-1
X (z) = (zI - A) (zx(0) + Bu(z))
-1
-1
Ak = Z {z(zI - A) }
macierz tranzycyjna
-1
-1
Ak -1 = Z {(zI - A) }
19
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
At k
6. Sposób wyznaczania e oraz A
7. Postać modalna rozwiązania równania stanu.
"
A2t2 A3t3 Aiti
Ś(t ) = I + At + + + =
"
2! 3! i!
i=0
i
"
at
a2t2 a3t3
e = 1+ at + + + =
"a ti
Ś(t ) = eAt
przez podobieństwo z oznaczamy
2! 3! i!
i=0
s1 0 0
Ą# ń#
ó# Ą#
0 s2 0
Ą#
A v1 v2 vn = v1 v2 vn
[] []ó#
ó# Ą#
ó#
0 0 sn Ą#
Ł# Ś#
AV = VS
-1 -1
V AV = S , A = VSV
20
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
d
x(t ) = Ax(t ) i zastosujmy przekształcenie zmiennych stanu:
Rozpatrzmy równanie
dt
Vz( t ) = x( t )
d
-1 -1
V z( t ) = AVz( t ), z( 0 ) = V x( 0 ) = V x0 = z0
dt
d
-1 -1 -1
z( t ) = V AVz( t ), z( 0 ) = V x( 0 ) = V x0 = z0
dt
s1 0 0
Ą#ń#
ó#Ą#
0 s2 0
d
-1 -1
ó#Ą#
z( z ) = z( t ), z( 0 ) = V x( 0 ) = V x0 = z0
ó# Ą#
dt
ó#
0 0 sn Ą#
Ł#Ś#
21
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
d
zi( t ) = sizi( t ), zi( 0 ) = zi0 i = 1,2,...,n
dt
i
zi( t ) = est zi0 i = 12,...,n
,
1
Ą#ń#
es t 0 0
ó#Ą#
2
0 es t 0
ó#Ą#
z( t ) = z( 0 ),
ó#Ą#

ó#Ą#
n
0 0 es t Ś#
Ł#
22
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
1
Ą#ń#
es t 0 0
ó#Ą#
2
0 es t 0
ó#Ą#
Vz( t ) = V z( 0 ),
ó#Ą#

ó#Ą#
n
0 0 es t Ś#
Ł#
T
Ą# ń#
1 w1
Ą#ń#
es t 0 0
ó#wT Ą#
ó#Ą#
2
0 es t 0 -1 2
ó# Ą#
ó#Ą#V -1x( 0 ),
V :=
x( t ) = V
ó# Ą#
ó#Ą#

ó# Ą#
ó#Ą#
n
0 0 es t Ś# T
Ł# Ł#wn Ś#
23
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
n
st
i
x(t ) =
"e viwiT x( 0 ), x( t ) = Ś( t )x0
i=1
czyli
1
Ą#ń#
es t 0 0
ó#Ą#
2
n
0 es t 0
st
Ś(t ) = Vó#Ą#V -1
i
Ś(t ) =
ó#Ą# "e viwiT

i=1
ó#Ą#
n
0 0 es t Ś#
Ł#
t
x( t ) =Ś( t )x0 +
+"Ś( t -� )Bu(� )d�
0
24
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
t
nn
si t-�
st ( )
i
x( t ) =
"e vwiT x0 + "e vwiT Bu(� )d� =
i i
+"
i=1 i=1
0
t
n
Ą#ń#
st -� si
i
=
"e viwiT ó#x +Ą#
0
+"e Bu(� )d�
i=1
0
Ł#Ś#
UKA
AD DYSKRETNY
Postać modalna rozwiązania:
A ma n różnych wartości własnych zi
Macierzą przekształcenia przez podobieństwo do postaci diagonalnej jest macierz, której kolumnami są wektory własne:
z1 0 0
Ą# ń#
ó# Ą#
0 z2 0
ó# Ą#
V = [v1 v2 vn], � = ó# Ą#

ó# Ą#
0 0 zn Ś#
Ł#
25
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Avi = zi vi i=1,...., n
AV = V�
-1 -1
A = V�V V AV = �
-1 -1 -1
A2 = V�V V�V = V�2V
-1 -1 -1
A3 = V�2V V�V = V�3V
.........................
T
Ą#w1 ń#
Ą#z1k 0 0 ń#
ó# Ą#
T
ó# Ą#
0 z2k 0 -1
2
ó#w Ą#
ó# Ą#
-1
V =:W =
�k =
Ak = V�kV
, ó# Ą#
ó# Ą#


ó# Ą#
ó# Ą#
T
0 0 zn k Ś#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ł#wn Ś#
n
k
-1
( )
z v wT
" j j j
Ak = V�kV
=
j=1
26
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
k n
n
k
k i-1
x(kT ) (z ) v wT x(0) + (z ) v wT Bu((k - i)T )
Ak x(0) + Ai-1Bu((k - i)T )
""
" j j j j j j
= " ==
i=0 j=1 i=1 j=0
n k
n
i-1
k
(z ) Bu((k - i)T )
"v wT "
"(z ) vi wT x(0) + j j j
i i
=
i=1 j=1 i=0
27
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 8. Wyznaczenie transmitancji z równań stanu.
Opis w przestrzeni stanu a transmitancja
Opis układu w postaci:
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
Wyznaczymy macierz transmitancji:
sX( s) - x0 = AX( s) + BU( s)
sI
( - A X( s) = x0 + BU( s)
)
-1 -1
X ( s ) = sI - A x0 + sI - A BU( s )
()()
28
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
ale przy zerowych warunkach początkowych:
-1
X(s) = sI - A BU(s)
()
Ą#C sI - A -1 B + Dń#U(s) = G(s)U(s)
Y(s) =
()
Ł#Ś#
adj sI - A
( )
-1
G( s ) = C sI - A B + D = C B + D
()
det sI - A
()
mogą wystąpić skrócenia  transmitancja może być niższego rzędu niż wymiar wektora stanu!!
UKA
AD DYSKRETNY
Operatorowo
zX (z) - zx(0) = AX (z) + Bu(z)
-1
X (z) = (zI - A) (zx(0) + Bu(z))
-1
-1
Ak = Z {z(zI - A) }
macierz tranzycyjna
-1
-1
Ak -1 = Z {(zI - A) }
29
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
-1
Y (z) = CX (z) + Du(z) = C(zI - A) (zx(0) + Bu(z))+ Du(z)
-1
x(0) = 0 �! Y (z) =[C(zI - A) B + D]u(z)
-1
G(z) = C(zI - A) B + D
macierz transmitancji dyskretnych
30
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 9. Liniowe przekształcenie zmiennych stanu, niezmienniczość transmitancji.
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
Pq(t ) = x(t ), det P `" 0
d
Pq( t ) = APq( t ) + Bu( t ) nowe równanie stanu
dt
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
31
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
d
q(t ) = P-1APq(t ) + P-1Bu(t ) nowe równanie stanu
dt
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
d
A = P-1AP, B = P-1B


q( t ) = Aq( t ) + Bu( t )
dt

y( t ) = Cq( t ) + Du( t ) C = CP
wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!
Jaka będzie transmitancja:
32
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
-1 -1

G( s ) = C sI - A B + D = CP sI - P-1AP P-1B + D =
() ( )
-1
-1
-1
Ą#ń#
= CP
() ()
Ł#P sI - A PŚ# P-1B + D = CPP-1 sI - A PP-1B + D =
-1
= C sI - A B + D = G( s )
()
-1
-1 -1
MN = N M
( )
bo
liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!
UKA
AD DYSKRETNY
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + Bu(kT )
y(kT ) = Cx(kT ) + Du(kT )
x(kT)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(kT)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
33
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
y(kT)  wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
Pq( kT ) = x( kT ), det P `" 0
Pq(( k +1)T ) = APq( kT ) + Bu( kT ) nowe równanie stanu
y( kT) = CPq( kT) + Du( kT) nowe równanie wyjścia
q(( k +1)T ) = P-1APq( kT ) + P-1Bu( kT ) nowe równanie stanu
y( kT) = CPq( kT) + Du( kT) nowe równanie wyjścia
A = P-1AP, B = P-1B


q(( k +1)T ) = Aq( kT ) + Bu( kT )

y( kT ) = Cq( kT ) + Du( kT ) C = CP
wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!
34
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Jaka będzie transmitancja:
-1 -1

G( z ) = C zI - A B + D = CP zI - P-1AP P-1B + D =
( ) ( )
-1
-1
-1
Ą#ń#
= CP
() ()
Ł#P zI - A PŚ# P-1B + D = CPP-1 zI - A PP-1B + D =
-1
= C zI - A B + D = G( z )
()
-1
-1 -1
liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!
MN = N M
( )
bo
35
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 10. Definicja i matematyczny warunek stabilności układu liniowego.
Układ nazywamy stabilnym, jeśli składowa przejściowa jego odpowiedzi zanika.
Dla UKA
ADU CI
GA
EGO
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności będzie więc zanikanie składowych przejściowych odpowiedzi wszystkich układów
wynikających z rozkładu transmitancji na ułamki proste, czyli składników zawierających funkcje postaci exp(biegun*t) czyli ujemne
bieguny rzeczywiste transmitancji i ujemne części rzeczywiste biegunów zespolonych transmitancji (wszystkie bieguny transmitancji
położone w lewej półpłaszczyz
nie płaszczyzny zespolonej). Równoważnie zanikanie wszystkich modów odpowiedzi swobodnej
n
st
i
x(t ) =
"e viwiT x0
układu , czyli wszystkie wartości własne macierzy stanu położone w lewej półpłaszczyz
nie
i=1
płaszczyzny zespolonej.
Dla UKA
ADU DYSKRETNEGO
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności będzie więc zanikanie składowych przejściowych odpowiedzi wszystkich
układów wynikających z rozkładu transmitancji dyskretnej na ułamki proste, czyli składników zawierających funkcje postaci
(biegun)k czyli bieguny wszystkie bieguny transmitancji położone we wnętrzu koła jednostkowego. Równoważnie zanikanie
n
k
x(kT ) (z ) v wT x(0)
wszystkich modów odpowiedzi swobodnej układu = , czyli wszystkie wartości własne macierzy stanu
" j j j
j=1
36
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
położone we wnętrzu koła jednostkowego.
11. Uzasadnić sposób obliczania transmitancji dyskretnej układu składającego się z części ciągłej oraz
impulsatora/ekstrapolatora. Uzasadnić sposób wyznaczania równań stanu układu składającego się z części ciągłej oraz
impulsatora/ekstrapolatora.
Jeżeli układ o wejściu u i wyjściu y składa się z impulsatora i części ciągłej o transmitancji G(s), to na wejście G(s) do chwili t trafia
u(iT )� (t - iT )
ciąg impulsów Diraca . Żeby obliczyć y(t) trzeba zsumować odpowiedzi impulsowe G(s) na wszystkie impulsy do
chwili t. Tak więc:
g(t)=L--1{G(s)}
k
y(kT ) =
"g((k - i)T )u(iT )
i=0
jest splotem ciągów u(kT) i g(kT), transformata Z będzie więc iloczynem transformat
Y (z) = Z{g(kT )}U (z)
czyli
G(z) = Z{g(kT )}
37
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
d
x(t) = Acx(t) + Bcuc (t)
dt
Układ ciągły:
y(t) = Ccx(t) + Dcuc (t)
poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu (odpowiedniego wymiaru) i impulsatorem:
t
Ac (t-� )
c
x(t) = eA (t-t0 )x(t0) +
+"e Bcuc (� )d� t0 = kT, t = (k +1)T, uc (t) = u(kT )
t0
t
Ac ((k +1)T -� )
c
x((k +1)T ) = eA T x(kT ) + Bcu(kT )d�
+"e
t0
t
Ac ((k +1)T -� )
c
x((k +1)T ) = eA T x(kT ) + d� Bcu(kT )
+"e
t0
t T
Ac ((k +1)T -� ) Ac�
c
A = eA T , B = d� Bc =
+"e +"e d� Bc
t0 0
38
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
T
Ac� -1
c
B = [eA T - I]Bc
det Ac `" 0
gdy +"e d� Bc = Ac
0
c c
A = eA T �! det(A) = det(eA T ) = etr ( AcT ) `" 0
39
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
12. Uzasadnić jakie będą bieguny/wartości własne macierzy stanu układu dyskretnego składającego się z części ciągłej (w
postaci transmitancji lub równań stanu) oraz impulsatora/ekstrapolatora.
1 1
Ą#ń# Ą#ń#
es t 0 0 esT 0 0
ó#Ą#0 es T 0
ó#Ą#
2 2
0 es t 0
c
ó#Ą#V -1 eAT = V ó#Ą#V -1
c
ó#Ą#
Ad = eA T eAt =Ś( t ) = V ó#Ą#

, ,
ó#Ą# ó#Ą#
n n
0 0 es t Ś#0 0 es T Ś#
Ł# Ł#
40
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 13. Definicje i warunki astatyzmu.
e" = 0
Układ astatyczny pierwszego rzędu względem wymuszenia  zerowy uchyb ustalony przy wymuszeniu jednostkowym
L0( s )
G0( s ) =
M0( s )
A
e" = lime( t ) = lim sE( s ) = lim sGe( s ) =
t" s0 s0
s
A M0( s )
= lim = lim A
s0 s0
1+ G0( s ) M0( s ) + L0( s )
lim M0( s ) = 0, lim M0( s ) + L0( s ) `" 0
[ ]
s0 s0
M0( s ) = s �" M01( s ) czyli transmitancja uchybowa musi mieć zero =0, transmitancja układu otwartego biegun=0
41
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
L0( s )
Gcl( s ) =
Gcl( 0 ) = 1
w transmitancji uz wyrazy wolne licznika i mianownika musza być równe, czyli
L0( s ) + s �" M01( s )
UKA
AD DYSKRETNY
L0(z)
,
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej G (z) = sztywne ujemne SZ. Zakładamy, że UZ jest stabilny.
0
M0(z)
z
U (z) =
Wymuszenie jednostkowe .
z -1
Uchyb ustalony:
1
M0(z) z
eu = lim e(kT ) = lim(z -1)e(z) = lim(z -1) U (z) lim(z -1)
=
k" z1 z1 z1
1+ G0(z) L0(z) + M0(z) z -1
zM (z)
0
eu = lim = 0 �! M0(z) = (z -1)M01(z)
- astatyzm pierwszego rzędu względem wymuszenia.
z1
L0(z) + M0(z)
Układ astatyczny rzędu r odtwarza z zerowym dyskretnym uchybem ustalonym wymuszenie postaci
r-1
i
u(kT ) = Ai(kT )
"
. Warunkiem astatyzmu rzędu r jest wystąpienie r-krotnego zera =1 w transmitancji uchybowej,
i=0
lub równoważnie r-krotnego bieguna =1 w transmitancji układu otwartego.
42
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Transmitancja układu zamkniętego:
G(z) =1- Ge(z) =1- (z -1)r Ge1(z)
G(1) =1- (1-1)r Ge1(1) =1
dd d
ż#r(
G( z ) =- ( z -1)r Ge1( z ) =- z -1)r-1Ge1( z ) + ( z -1)r Ge1( z )�# = 0
{}
�#Ź#
z=1 z=1 z=1
dz dz dz
�#�#
............
r-1
d
G(z) = 0
z=1
dzr-1
43
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
14. Warunki występowania przebiegów typu Dead Beat w układzie dyskretnym.
L(z)
G(z) = , deg L(z) d" N
G(z) = W (z-1)
Jeżeli transmitancja układu zamkniętego jest postaci , to ,
zN
jest wielomianem względem z-1. Układ realizuje więc opóz
nienia sygnału wejściowego (maksymalnie o N okresów
impulsowania). Przebiegi przejściowe zanikają więc po co najwyżej N okresach impulsowania.
15. Uzasadnić jak wyznaczyć zakres częstotliwości zakłóceń, które będą tłumione/wzmacniane w układzie zamkniętym.
D(s) N(s)
Y(s)
E(s)
F(s) C(s) P(s)
R(s)
v(s)
U(s)
n(s)
44
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
regulator obiekt
Y0(s) = N(s) + P(s)D(s)
Rozważmy jak zachowa się układ bez sterowania:
i układ zamknięty przy r(t)=0 :
11 1
P
Yc(s) = N(s) + D(s) = ( N + PD) =
Y0(s)
1+ PC 1+ PC 1+ PC 1+ PC
czyli zakłócenia o częstotliwościach, dla
1
< 1 , czyli
których
1+ P( j� )C( j� )
1+ P( j� )C( j� ) > 1 będą tłumione,
a te o
częstotliwościach, dla których czyli
1+ P( j� )C( j� ) < 1 wzmacniane:
1+G0(j�)
45
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
�
G0(j�)
1+G0(j�)
G0(j�
Częstotliwości, dla których zakłócenia są tłumione
46
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
16. Wyprowadzić kryterium Nyquista dla układów ciągłych i dyskretnych podąć definicje i interpretację zapasów fazy i
modułu.
Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej
L0( s )
G0( s ) = , M0( s ) = ( s - s01 )( s - s02 ) ( s - s0n )
M0( s )
G( j� ) = G( s )
i transmitancji widmowej daje układ zamknięty o transmitancji
00 s= j�
L0( s ) L0( s )
G( s ) == , M( s ) = ( s - s1 )( s - s2 ) ( s - sn )
L0(s) + M0(s) M(s)
Tw.
Jeżeli M0(s) ma k pierwiastków w prawej i n-k lewej półpłaszczyżnie zmiennej zespolonej (nie ma pierwiastków na
osi liczb urojonych), to M (s) ma n pierwiastków w lewej półpłaszczyz
nie wtedy i tylko wtedy gdy:
" arg 1+ G( j� ) = 2kĄ
{} �!" arg 1+ G( j� ) = kĄ
{ }
0 0
-"<�<" 0<�i <"
G( j� ) = G( s )
(charakterystyka a-f obejmuje w kierunku dodatnim punkt (-1, j0) k razy).
00 s= j�
47
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Dow.
TAKŻE DLA
M( s)
G( s ) =
1+ 0
UKA
ADÓW Z
M0( s)
OPÓy
NIENIAMI
" arg M( j� ) " arg M0( j� ) =
" arg 1+ G0( j� ) = {}- }
{
{}
-"<�<" -"<�<" -"<�<"
nn
nĄ ( n
" arg j� - sl
{}- " arg j� - s0l = -[ - k )Ą - kĄ = 2kĄ
{ } ]
""
=
-"<�<" -"<�<"
l=1 l=1
j�-sl
j�-sl
Im
Im
j�
j�
sl
sl
Re
Re
" arg j� - sl = Ą " arg j� - sl = -Ą
{ } {}
-"<�<" -"<�<"
48
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Jeżeli układ jest stabilny, to jak dalece można zmienić jego parametry, żeby stabilny pozostał?
Miary odporności.
Miarą odporności będzie odległość wykresu Nyquista od punktu
krytycznego sm. Nazywamy ją zapasem stabilności. Pamiętamy
że:
Maksimum modułu funkcji wrażliwości Ms=max|S(j�)|,
przypadające dla pulsacji �sc jest miarą maksymalnego
wzmocnienia zakłóceń w układzie, przypada ono dokładnie
dla tej częstotliwości dla której moduł [1+transmitancja
układu otwartego] osiąga minimum sm=min|P(j�)C(j�)|,
które za chwilę nazwiemy zapasem stabilności. Mamy Ms =
1/sm
Miarę odporności układu można też wyrazić przez zapas
amplitudy (modułu, wzmocnienia) "M i fazy "Ć
sm
wyznaczane w następujący sposób:
"Ć
49
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
lub bezpośrednio z wykresu Bodego:
1/"M
50
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
czyli zapas modułu jest czynnikiem przez który można pomnożyć wzmocnienie układu otwartego bez utraty stabilności (odporność na
zmiany wzmocnienia), a zapas fazy wielkością, o którą można zmniejszyć przesuniecie fazowe układu otwartego dla pulsacji, przy
której moduł =1 (odporność na opóz
nienia w układzie).
51
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
1/"M
"Ć
=1/MS
sm
1/MS
1 1
+ < 1, czyli
Analiza rysunków pozwala napisać
MS "M
MS 1
"M > "� > arcsin
- podobnie
MS -1 MS
52
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Stąd:
Ms = 2 gwarantuje "M e" 2 i "Ć e" 30o
Ms = "2 (1.41) gwarantuje "M e" 3.4 i "Ć e" 45 o
Ms = 2/"3 (1.15) gwarantuje "M e" 7.5 i "Ć e" 60 o
UKA
AD DYSKRETNY
Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej
L0(z)
G0(z) = , M0(z) = (z - z01)(z - z02) (z - z0n)
M0(z)
G( j�i ) = G( z )z=e �i = �Ti daje układ zamknięty o transmitancji
j�i
i transmitancji widmowej
00
L0(z) L0(z)
G(z) = = , M (z) = (z - z1)(z - z2) (z - zn )
L0(z) + M0(z) M (z)
Tw.
Jeżeli M0(z) ma k pierwiastków na zewnątrz okręgu jednostkowego i n-k pierwiastków wewnątrz, to M (z) ma n
pierwiastków wewnątrz okręgu jednostkowego wtedy i tylko wtedy gdy:
" arg {1+ G0( j�i )}= 2kĄ �! " arg{1+ G0( j�i )}= kĄ
-Ą <�i <Ą 0<�i <Ą
53
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
G0( j�i ) = G0(z)
j�i
(charakterystyka a-f obejmuje w kierunku dodatnim punkt (-1, j0) k razy).
z=e
Dow.
M (z)
G0(z) =
1+
M0(z)
" arg {M ( j�i )}- " arg {M0( j�i )}=
" arg {1+ G0( j�i )}=
-Ą <�i <Ą -Ą <�i <Ą -Ą <�i <Ą
n n
Im
j�i j�i
" arg {e - zl}- " arg{e - z0l}=
" "
=
-Ą <�i <Ą -Ą <�i <Ą
l=1 l=1
z2
ej�-z1
2nĄ - (n - k)2Ą = 2kĄ
z1
ej�-z2
ej�i Re
54
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
17. Właściwości podstawowych regulatorów (odpowiedzi, charakterystyki, wpływ na właściwości układu zamkniętego,
zastosowanie).
A
atwe wykład 6
18. Wymagania stawiane układom regulacji, ich związek z pożądanymi charakterystykami i położeniem biegunów
transmitancji.
Wymagania stawiane układom regulacji
" Zdolność odtwarzania (śledzenia) sygnałów zadających.
" Redukcja oddziaływania zakłóceń (obciążeń).
" Redukcja wpływu zakłóceń (szumów) pomiarowych.
" Mała wrażliwość na zmiany właściwości obiektu.
STABILNOŚĆ
1. Wymagania dotyczące stanu ustalonego
Jakie wymuszenie/zakłócenie rozważamy?
55
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Czy dopuszczamy uchyb ustalony, jeśli tak to jaki duży?
2. Wymagania dotyczące stanów dynamicznych.
Jakie sygnały wymuszeń/zakłóceń rozważamy?
Jakiego charakteru odpowiedzi (wyjścia, uchybu) oczekujemy  oscylacyjny/aperiodyczny?
Czy potrafimy podać graniczne parametry odpowiedzi, np.
w odpowiedzi jednostkowej:
" Czas narastania
0
" Czas regulacji
" Maksymalna wartość pierwszego przeregulowania
" Proporcja pierwszego i drugiego przeregulowania
Jak mierzyć?
Całkowe wskaz
niki jakości regulacji
e
56
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
T " T "
I0 = e( t ) dt I0 = e( t ) dt I0 = t )dt I0 = t )dt
+" +" +"e( +"e(
0 0 0 0
T "
I2 = t )2 dt I2 = t )2 dt
+"e( +"e(
0 0
T "
I0t = e( t ) dt I0t = e( t ) dt
+"t +"t
0 0
T "
I2t = t )2 dt I2t = t )2 dt
+"te( +"te(
0 0
T "
k k
I = e( t )p dt Ikp = e( t )p dt
pk
+"t +"t
0 0
3. Wymagania dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu zamkniętego. Powinny być nakładane na każdą z sześciu
transmitancji układu.
57
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
4. Wymagania dotyczące ODPORNOŚCI układu zamkniętego (zmiany parametrów modelu obiektu, niedokładna znajomość
parametrów obiektu, możliwość zmian i ograniczona dokładność nastaw parametrów regulatora)
5. Wymagania specjalne/dodatkowe np. optymalność układu
Dobieramy kompensator/regulator, który zapewni pożądany kształt charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego
L( j� ) = P( j� )C( j� )
.
" Zwykle na wykresach Bodego
P( j� )
" Zaczynamy od charakterystyki obiektu .
" Dobieramy współczynnik wzmocnienia.
" Dodajemy zera i bieguny, żeby otrzymać zadany przebieg charakterystyki.
Zasady:
" Dla małych częstotliwości moduł musi być duży, żeby zapewnić dobre śledzenie wolnych sygnałów zadających.
" Odporność wymaga dostatecznych zapasów modułu i fazy, co kształtuje charakterystykę w okolicy częstotliwości odcięcia.
" Pasmo przenoszenia powinno być dostatecznie duże, częstotliwość odcięcia dostatecznie wysoka (dla uzyskania odpowiedniej
dynamiki układu zamkniętego), nachylenie charakterystyki modułu w okolicy częstotliwości odcięcia dostatecznie duże.
" Dla dużych częstotliwości mały moduł, żeby nie wzmacniać szumów pomiarowych.
" POSZUKUJEMY KOMPROMISU
58
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 19. Dyskretny regulator PID, związek parametrów z nastawami regulatora ciągłego.
t
Ą# ń#
1 d
�# ś#
1
u( t ) = kp ó#e( t ) +
+"e(� )d� + Td dt e( t )Ą# C( s ) = kp ś# sT + sTd ź#
ś#1+ ź#
,
Ti 0
Ł# Ś# �# i #
Algorytm I (pozycyjny)
kwadratura prostokątów  wariant punktu początkowego
k
�#ś#
T
u( kT ) = kp ś#e( kT ) +
"e(iT ) + Td e( kT ) - e((k -1)T ) ź#
Ti i=0 T
�# #
k
ą( kT ) :=
"e( iT ), ą( kT ) -ą(( k -1)T ) = e( kT )
i=0
z
ą( z ) = e( z )
ą( z ) - z-1ą( z ) = e( z )
,
z -1
�#ś#
T z Td z -1
u( z ) = kp ś#1+ +
ź#e( z )
Ti z -1 T z
�# #
59
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Algorytm II (pozycyjny)
t
�# ś#
1 d
u( t ) = Kś#e( t ) +
+"e(� )d� + Td dt e( t )ź#
ś# ź#
Ti 0
�# #
kwadratura trapezów
k
�# ś#
T e(( i -1)T ) + e( iT ) e( kT ) - e(( k -1)T )
ś# ź#
u( kT ) = K kT ) + + Td
"
ś#e( ź#
Ti i=1 2 T
�# #
k
e((i -1)T ) + e( iT )
g( kT ) := g( 0 ) = 0
"
,
2
i=1
e((i -1)T ) + e( iT )
f (iT ) := , f ( 0 ) = 0
2
z-1e( z ) + e( z ) z +1
f ( z ) = = e( z )
2 z
k
g( kT ) = f ( iT )
"
i=1
60
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
g( kT ) - g(( k -1)T ) = f ( kT )
g( z ) - z-1g( z ) = f ( z )
z z +1
g( z ) = f ( z ) = e( z )
z -1 2( z -1)
�# ś#
T e( kT ) - e(( k -1)T )
ś# ź#
u( kT ) = Kś#e( kT ) + g( kT ) + Td
ź#
Ti T
�# #
�# ś#
T z +1 Td z -1ź# z +1 2z
ś#
u( z ) = Kś#1+ +
= -1+
ź#e( z ) ,
2Ti z -1 T z
z -1 z -1
�# #
�# ś#
T T z Td z -1ź#
ś#
u( z ) = Kś#1- + +
ź#e( z )
2Ti Ti z -1 T z
�# #
Algorytm III (prędkościowy):
61
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
t
�# ś#
1 d
u( t ) = Kś#e( t ) +
+"e(� )d� + Td dt e( t )ź#
ś# ź#
Ti 0
�# #
�#
TTd
"u( kT ) = u( kT ) - u(( k -1)T ) = K kT ) - e(( k -1)T ) + e( kT ) + e( kT ) - 2e(( k -1)T ) + e(( k - 2 )T )
()ś#
ś#e( ź#
Ti T
�# #
�# ś#
�# ś#
T Td Td Td
�# ś#e((
= Kś#ś#1+ +
ź#e(
ś#ś# Ti T ź# kT ) + ś#-1- 2 T ź# k -1)T ) + T e(( k - 2 )T )ź#
ź#
�# #
�# #
�# #
= K( Q1e( kT ) + Q2e(( k -1)T ) + Q3e(( k - 2 )T ))
(1- z-1 )u( z ) =
K(Q1 + z-1Q2 + z-2Q3)e( z )
62
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
63
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 20. Definicja stanów sterowalnych/obserwowalnych. Warunki sterowalności/obserwowalności, wpływ liniowego
przekształcenia zmiennych stanu na sterowalność/obserwowalność, postać kanoniczna Kalmana, transmitancja układów
niecałkowicie sterowalnych/obserwowalnych. Dualność sterowalnosci i obserwowalności.
Rozważać będziemy opis układu w postaci:
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x0 lub bardziej ogólnie x(t0)=x0
t
x( t ) =Ś( t - t0 )x0 +
+"Ś( t -� )Bu(� )d�
t0
64
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Def.: Stan x0 nazywać będziemy sterowalnym, jeżeli istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające układ z x0 sprowadzające
S
wektor stanu układu z punktu x0 do 0 w skończonym czasie. Zbiór wszystkich stanów sterowalnych oznaczymy przez .
T1. Zbiór stanów sterowalnych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni stanów.
n-1
Ą#ń#
S = lin
Ł#B,AB, ,A BŚ#
Def.: Stan x0 nazywać będziemy osiągalnym, jeżeli istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające układ z x0 sprowadzające wektor
stanu układu z punktu 0 do x0 w skończonym czasie.
Tw. Stan x0 jest osiągalny wtedy i tylko wtedy gdy jest sterowalny UKA
AD CI
A
Y!!.
Wniosek:
x1 " S, x2 " S,, to istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające układ z x do x2 w skończonym czasie.
Jeśli
1
Def.: Układ, w którym przestrzeń stanów sterowalnych pokrywa się z przestrzenia stanu nazywamy całkowicie sterowalnym.
Wniosek: Koniecznym I dostatecznym warunkiem całkowitej sterowalności układu jest
65
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
n-1
n-1
Ą#ń#
rank
Ą#ń#
detŁ#b,Ab, ,A bŚ# `" 0
. Dla układu jednowejściowego B=b :
Ł#B,AB, ,A BŚ# = n
n-1
Ą#ń#
QS =
macierz sterowalności układu.
Ł#B,AB, ,A BŚ#
Sterowalność a liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
Pq( t ) = x( t ), det P `" 0
d
Pq( t ) = APq( t ) + Bu( t ) nowe równanie stanu
dt
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
d
q(t ) = P-1APq(t ) + P-1Bu(t ) nowe równanie stanu
dt
y( t ) = CPq( t ) + Du( t ) nowe równanie wyjścia
66
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
d


-1
q( t ) = Aq( t ) + Bu( t ) A = P-1AP, B = P-1B
Ą# ń#
QSq =
dt
Ł#P B,P-1AB, ,P-1An-1BŚ# =

y( t ) = Cq( t ) + Du( t ) C = CP
Ą#ń#
= P-1 Ł#B,AB, ,An-1BŚ# = P-1QS
Modalny warunek sterowalności:
s1In1 0 0 B1
Ą#ń# Ą# ń#
ó#Ą# ó#B Ą#
0 s1In1 0
2
ó# Ą#
ó#Ą#
A = B =
Tw.: Układ o macierzach jest całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy
ó# Ą# ó# Ą#
ó# ó#B Ą#
0 0 sk Ink Ą#
Ł#Ś# Ł# k Ś#
rank Bi = ni i = 1,...,k
.
Dow.:
67
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
B1 s1B1 n-1
Ą#ń# B1 0 0 Ą# ń#
s1 B1 Ą#ń# In1 s1In1 s1n-1In1
ó#B ó#I s2In2 s1n-1In1 Ą#
Ą#
n
0 B2 0
n2
ó#Ą# ó# Ą#
n-1Bń# = 2 s2B2 s2-1B2 Ą# ó#
ó#
Ą#
QS = =Ą#
Ł#B,AB, ,A Ś#
ó#Ą# ó# Ą#
ó# Ą#

ó#Ą# ó# Ą#
ó#
n-1
0 0 Bk Ą# Ł#Ink
sk Ink sk n-1Ink Ś#
k Ś#
Ł#B sk1Bk sk Bk Ś# Ł#
Rozważmy przekształcenie układu do postaci kanonicznej diagonalnej:
s1 0 0
Ą#ń#
ó#Ą#
0 s2 0
ó#Ą# -1 -1
A =
A = V AV , B = V B
, - ten układ będzie całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy gdy każdy z wierszy
ó# Ą#
ó#
0 0 sn Ą#
Ł#Ś#
68
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
T
Ą# ń#
w1
ó#wT Ą#
-1 2
ó# Ą#
-1

"i wiT B `" 0, gdzie V =:W = ó# Ą# .
B = V B
macierzy będzie niezerowy, czyli
ó# Ą#
T
Ł#wn Ś#
Porównajmy ten warunek z postacią modalną rozwiązania równania stanu:
tt
nn n
Ą# ń#
si t-�
st ( ) st -� si
i i
x( t ) =
ó#x Ą#
"e vwiT x0 + "e vwiT Bu(� )d� = "e vwiT +
i i i 0
+"+"e Bu(� )d�
i=1 i=1 i=1
0 Ł# 0 Ś#
wiT B `" 0
warunek sterowalności i-tego modu
Dualizm sterowalności i obserwowalności:
Para (A,B) jest sterowalna �! Para (BT,AT) jest obserwowalna
Para (C,A) jest obserwowalna �! Para (AT,BT) jest sterowalna
Postać kanoniczna Kalmana równań stanu
69
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
xs-no(( k +1)T ) As-no/ s-no As-no/ s-o As-no/ ns-no As-no/ ns-o xs-no( kT ) Bs-no
Ą#ń# Ą#ń# Ą#ń# Ą# ń#
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
As-o/ s-o
xs-o(( k +1)T ) 00 As-o/ ns-o Ą# ó# xs-o( kT ) Bs-o
ó#Ą# ó#Ą# ó#Ą# ó# Ą#
= + u( kT )
ó#xns-no(( k +1)T )Ą# ó# 00 Ans-no/ ns-no Ans-no/ ns-o Ą# ó#xns-no( kT )Ą# ó# 0 Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
xns-o(( k +1)T )Ą# ó# 00 0 Ans-o/ ns-o Ą# ó# xns-o( kT ) 0
Ł#Ś# Ł#Ś# Ł#Ś# Ł# Ś#
xs-no (kT)
Ą# ń#
ó# Ą#
y(kT) = [0 Cs-o 0 Cns-o]ó# xs-o (kT) Ą#
ó# Ą#
xns-no (kT)
ó# Ą#
xns-o (kT )
Ł# Ś#
70
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Bs-no
xs-no
1
.
z
As-no/s-o
..
...2
Unit Delay
u
As-no/ns-no
...3 As-no/s-no
As-no/ns-o ...
...4
Bs-o
xs-o
1
Cs-o
.1
z
.2
As-o/ns-o
..1
Unit Delay1
...5
As-o/s-o
...1
y
Ans-no/ns-o
xns-no
1
...6 z
..5
..4
Unit Delay2
Ans-no/ns-no
...7
xns-o
1
Cns-o
z
.3
Unit Delay3
Ans-o/ns-o
71
...9
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
-1
-1 -1 -1
X Z Ą# ń#
Ą# ń# X - X ZY
=
ó# Ą#
ó# Ą#
-1
0 Y
0 Y
Ł# Ś#
Ł# Ś#
-1
�# As-no / s-no As-no / s-o As-no / ns-no As-no / ns-o ś# Bs-no
Ą# ń# Ą# ń#
ś# ź#
ó#
0 As-o / s-o 0 As-o / ns-o Ą# ó# Bs-o Ą#
ś# ź#
ó# Ą# ó# Ą#
zI -
G(z) = [0 Cs-o 0 Cns-o]
ś#
=
ó# Ą# ó# Ą#
0 0 Ans-no / ns-no Ans-no / ns-o ź# 0
ś# ź#
ó# Ą# ó# Ą#
ś#
0 0 0 Ans-o / ns-o Ś# ź# Ł# 0
Ł# Ś#
�# #
-1
zI
Ą# - As-no / s-no - As-no / s-o - As-no / ns-no - As-no / ns-o Bs-no
ń# Ą# ń#
ó#
0 zI - As-o / s-o 0 - As-o / ns-o Ą# ó# Bs-o Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
= [0 Cs-o 0 Cns-o]0
=
ó# Ą# ó# Ą#
0 zI - Ans-no / ns-no Ans-no / ns-o 0
ó# Ą# Ą#
0 0 0 zI - Ans-o / ns-o Ś# ó# 0
Ł# Ł# Ś#
72
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
-1
Ą# ń#
Bs-no
(zI - As-no / s-no ) * * * Ą# ń#
ó# Ą#
-1 ó# Ą#
Bs-o
0 (zI - As-o / s-o )* *
ó# Ą#
ó# Ą#
= [0 Cs-o 0 Cns-o]
-1
ó#
0
0 0 (zI - Ans-no / ns-no ) Ans-no / ns-o Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
-1
0
0 0 0 (zI - Ans-o / ns-o)
ó# Ą#
Ł# Ś#
Ł# Ś#
*
Ą# ń#
-1
ó#
-1
(zI - As-o / s-o ) Bs-o Ą#
ó# Ą#
= [0 Cs-o 0 Cns-o]
Cs-o(zI - As-o / s-o ) Bs-o
=
ó# Ą#
0
ó# Ą#
0
Ł# Ś#
-1
G(z) = Cs-o(zI - As-o / s-o ) Bs-o
1
-1
G(z) = C(zI - A) B =
det(zI - A)Cadj(zI - A)B
73
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
21. Formuła Ackermana  wzór, sens, do czego służy. Wyprowadzenie sprzężenia zwrotnego od wektora stanu
powodującego przesuniecie biegunów układu do zadanych położeń dla układu w postaci kanonicznej sterowalnej.
Tylko wartości własne części sterowalnej i obserwowalnej mogą być zmienione przez macierz K w sprzężeniu zwrotnym!!
-1
Ą#ń#
K = 0 0 1 B AB An-1BŚ# Mc( A)
[]Ł#


n
Szczególnie łatwo:
01 0 0
Ą#ń# Ą# ń#
Postać będąca wynikiem stosowania
ó#Ą# ó# Ą#
pierwszego wariantu metody bezpośredniej

ó#Ą# ó# Ą#
A = B =
wyboru zmiennych stanu.
ó# 0 0 1 Ą# ó#0Ą#
Postać kanoniczna sterowalna
ó# ó#1Ą#
-an-1 -a1Ą#
Ł#-an Ś# Ł# Ś# Postać normalna regulatorowa
74
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
01 00
Ą#ń# Ą# ń#
ó#Ą# ó# Ą#

ó#Ą# ó# Ą#k1 k2 kn =
A - BK = - []
ó# 0 0 1 Ą# ó#0Ą#
k1 = ac,n - an
ó#
-an-1 -a1Ą# ó#1Ą#
Ł#-an Ś# Ł# Ś#
k2 = ac,n-1 - an-1
01 0 01 0

Ą#ń# Ą# ń#
..............
ó#Ą# ó# Ą#


ó#Ą# ó# Ą#
==
kn = ac,1 - a1
ó# 00 0 1 Ą#
1 Ą# ó# 0
ó#
() ) )Ą# ó#
c,n
Ś#
Ł#- an + k1 -(an-1 + k2 -(a1 + kn Ś# Ł#-a -ac,n-1 -ac,1Ą#
75
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 22. Wyprowadzenie metody projektowania sterowania dead-beat.
Obliczanie sterowania dead-beat
Układ
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + bu(kT )
y(kT ) = cx(kT )
należy wyposażyć w regulator zapewniający zanikanie przebiegów przejściowych w N okresach impulsowania i zerowy uchyb
ustalony przy wymuszeniu jednostkowym.
u((N
Ą# -1)T )
ń#
ó# Ą#
x(NT ) - AN x0 =[b Ab AN -1b]ó# Ą#
ó# Ą#
u(T )
ó# Ą#
u(0)
Ł# Ś#
y(NT ) = cx(NT ) = 1
76
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
x((k +1)T ) = x(kT ), u(kT ) = u(NT ) dla k e" N
x(NT ) = Ax(NT ) + bu(NT )
Jeśli A nie ma wart wł. równych 1, to macierz I-A jest odwracalna i
x(NT ) = (I - A)-1bu(NT )
y(NT ) = c(I - A)-1bu(NT ) = 1
1 1
u(NT ) = =
c(I - A)-1b Go (1)
Potem wyznacza się x(NT), potem ciąg sterujący.
Jeśli A ma wart wł. równą 1, to u(NT)=0 i
(I - A)x(NT ) = 0
Równanie to ma wiersze liniowo zależne  jeden z nich należy zastąpić przez
cx(NT ) = 1
Stąd wyznacza się x(NT), potem ciąg sterujący.
77
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 23. Obserwator pełnego rzędu  struktura, równanie błędu estymacji, zasady i metoda projektowania.
Rozważać będziemy opis układu w postaci:
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
(a)
y( t ) = Cx( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
Równaniem obserwatora jest więc
d
x( t ) = � - KeC x( t ) + B�( t ) + Ke y( t )
()
Model układu
dt
lub inaczej:
d
Ć Ć
x(t ) = �x(t ) + Bu(t ) + Ke y(t ) - Cx(t )
()
Sprzężenie od różnicy wyjść układu i modelu
dt
78
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
d d
x( t ) = � - KeC x( t ) + B�( t ) + Ke y( t ) odejmujemy od x(t ) = Ax(t ) + Bu(t )
()
dt dt
d
Ć
x( t ) - x( t ) = � x( t ) - x( t ) - KęC x( t ) - x( t )
() () ()


dt
e( t )
d
e( t ) = A - KeC e( t )
()
dt
A - KeC
( )
Warunkiem koniecznym działania obserwatora jest by macierz była stabilna, a dostatecznym by estymacja była
A - KeC
( )
szybka by wartości własne leżały bardziej na lewo (2-4 razy) niż wartości własne A. Wartości własne
T
A - KeC A
( ) ( - KeC = AT - CT KeT . Macierz
) KeT musi być tak
są takie same jak wartości własne
AT ,CT
( )
zaprojektowana by przesunąć wartości własne w układzie w zadane położenia. Więc:
79
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
AT ,CT
C,A
( ) ( )
1. Sterowalność pary jest konieczna dla rozwiązania tego zadania, czyli obserwowalność pary jest konieczna
dla zaprojektowania obserwatora.
KeT można wyznaczyć z formuły Ackermana
2.
-1
TTn-1
Ke = 0 0 1 AT CT ń# Mc( AT )
[]Ą#Ą#
( )
ó#CATCT


Ł#Ś#
n
80
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
 24. Przesuwanie biegunów z zastosowaniem obserwatora. Struktura układu, wartości własne układu zamkniętego.
Ć
u( t ) = -Kx( t ).
Połączmy teraz obserwator z problemem przesuwania biegunów:
81
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Otrzymaliśmy układ stopnia 2n. Jakie będą jego bieguny?
d
Ć
x(t ) = Ax(t ) - BKx(t )
dt
d
x(t ) = Ax(t ) - BK x(t ) - e(t )
[]
dt
d
e( t ) = A - KeC e( t )
()
dt
x(t ) A - BK BK x(t )
Ą#ń# Ą#ń# Ą#ń#
d
ó#e( t )Ą# = ó#
0 A - KeCĄ# ó#e( t )Ą#
dt
Ł#Ś# Ł#Ś# Ł#Ś#
det Ą#sI - ( - BK ń# det - ( - KeC
A Ą#ń#
A
)Ś# Ł#sI )Ś#
wielomianem charakterystycznym jest
Ł#
82
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Takie same wartości własne będzie miał układ równań
d
Ć
x( t ) = Ax( t ) - BKx( t )
dt
d
Ć
x(t ) = � - KeC x(t ) + B�(t ) + Ke y(t ) = A - KeC x(t ) - BKx(t ) + Ke
x(t )
() ()
dt
x(t ) A -BK x(t ) x(t ) I 0 x(t )
Ą#ń# Ą#ń# Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
d
ó#x(t )Ą# = ó#K C A - BK - KeCĄ# ó#x(t )Ą# , b� ó#x(t )Ą# = ó#I -I Ą# ó#e(t )Ą# ,
dt
Ł#Ś# Ł# ę Ś# Ł#Ś# Ł#Ć Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
czyli układ możemy projektować niezależnie
det Ą#sI - ( - BK ń# det - ( - KeC ń#
A Ą# A
) )Ś#
Ł#

Ś# Ł#sI
wartości własne odpowiadające za regulację wektora stanu x(t)
Ć
x( t )
wartości własne odpowiadające za dynamikę wektora stanu obserwatora
83
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
25. Omówić wpływ okresu próbkowania na właściwości układu.
Ostatni wykład
84
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie