Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
Sztywne sprzężenie zwrotne:
Rozważać będziemy opis układu w postaci:
d
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + Bu(kT )
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu
dt
y(kT ) = Cx(kT ) + Du(kT )
y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) równanie wyjścia
x(t)  wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t)  wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t)  wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x0 lub bardziej ogólnie x(t0)=x0
2
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
x((k+1)T
y(kT)
x(kT)
1
z
u(kT)
Wpływ proporcjonalnego SZ
u(kT ) = yz - Ky(kT ) = yz - KCx(kT )
u( t ) = yz - Ky( t ) = yz - KCx( t )
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + B(yz - KCx(kT ))= (A - BKC)x(kT ) + Byz ,
x( t ) = Ax( t ) + B yz - KCx( t ) = A - BKC x( t ) + Byz ,
() ()
y(kT ) = Cx(kT )
y( t ) = Cx( t )
x( t ) = Pq( t ), det P `" 0 x(kT ) = Pq(kT ), det P `" 0
3
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego

q( t ) = P-1APq( t ) + P-1Bu( t ),
q((k +1)T ) = P-1APq(kT ) + P-1Bu(kT ),
y( t ) = CPq( t )
y(kT ) = CPq(kT )
~ ~ ~


A = P-1AP, B = P-1B, C = CP A = P-1AP, B = P-1B, C = CP
po zamknięciu SZ:


q( t ) = A - BKC q( t ) + Byz = q((k +1)T ) = A - BKC q(kT ) + Byz =
( ) ( )
= P-1 A - BKC Pq( t ) + P-1Byz , = P-1 A - BKC Pq( kT ) + P-1Byz ,
() ()

y(t ) = Cq(t ) = CPq(t ) y( kT ) = Cq( kT ) = CPq( kT )
Niech P przekształca do postaci kanonicznej Kalmana:
As-no / s-no As-no / s-o As-no / ns-no As-no / ns-o Bs-no
Ą# ń# Ą# ń#
ó#
0 As-o / s-o 0 As-o / ns-o Ą# ~ ó# Bs-o Ą#
~
ó# Ą# ó# Ą#
~
A = B =
C = [0 Cs-o 0 Cns-o]
ó# Ą# ó# Ą#
0 0 Ans-no / ns-no Ans-no / ns-o 0
ó# ó# Ą#
0 0 0 Ans-o / ns-o Ą# 0
Ł# Ś# Ł# Ś#
4
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Bs-no
Ą# ń# 0 Bs-noKCs-o 0 Bs-noCns-o
Ą# ń#
ó# Ą#
ó#0 Bs-oKCs-o 0 Bs-oCns-o Ą#
Bs-o
~ ~
ó# Ą#
ó# Ą#
=
K[0 Cs-o 0 Cns-o]
BKC = P-1(BKC)P
ó# Ą# ó# Ą#
0
= 0 0 0 0
ó# Ą# ó# Ą#
0 0 0 0
Ł# Ś# Ł#0 Ś#
As-no / s-no As-no / s-o As-no / ns-no As-no / ns-o 0 Bs-noKCs-o 0 Bs-noCns-o
Ą# ń#
Ą# ń#
ó# ó#0 Bs-oKCs-o 0 Bs-oCns-o Ą#
0 As-o / s-o 0 As-o / ns-o Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
~ ~ ~
-
A - BKC =
ó# Ą# ó# Ą#
0 0 Ans-no / ns-no Ans-no / ns-o 0 0 0 0
ó# Ą# ó#0 Ą#
0 0 0 Ans-o / ns-o Ś# 0 0 0
Ł# Ł# Ś#
Tylko wartości własne części sterowalnej i obserwowalnej mogą być zmienione przez macierz K w
sprzężeniu zwrotnym!!
5
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Sprzężenie zwrotne od wektora stanu, układ o jednym wejściu
Problem dowolnego przesuwania/lokowania biegunów:
Dla dowolnego ustalonego zbioru N n liczb zawierających elementy rzeczywiste lub zespolone parami
sprzężone znalez
ć taką macierz sprzężenia zwrotnego K by zbiór N był zbiorem wartości własnych
macierzy stanu układu zamkniętego A-BK .
Koniecznym i dostatecznym warunkiem istnienia rozwiązania problemu dowolnego
przesuwania/lokowania biegunów przez sprzężenie od wektora stanu jest całkowita sterowalność pary
macierzy (A,B).
Formuła Ackermana:
Niech żądany wielomian charakterystyczny macierzy stany układu zamkniętego Ac=A-BK będzie:
Mc( s ) = det sI - A + BK = det sI - Ac = s - s1 s - s2 s - sn = sn + a1sn-1 + + an-1s + an
( ) ( ) ( )( ) ( )
Z tw. Cayley a-Hamiltona
Mc( Ac ) = Acn + a1Acn-1 + + an-1Ac + anI = 0
6
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
I = I
Ac = A - BK
2
Ac = A - BK A - BK = A2 - ABK - BKAc
()()
3 2
Ac = A - BK A2 - ABK - BKAc = A3 - A2BK - ABKAc - BKAc
()
()
4 2 2 3
Ac = A - BK A3 - A2BK - ABKAc - BKAc = A4 - A3BK - A2BKAc - ABKAc - BKAc
()
()
......................
n-1 n-3 n-2
Ac = An-1 - An-2BK - - ABKAc - BKAc
n n-2 n-1
Ac = An - An-1BK - An-2BKAc - - ABKAc - BKAc
7
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
I = I
Ac = A - BK
2
Ac = A2 - ABK - BKAc
3 2
Ac = A3 - A2BK - ABKAc - BKAc
4 2 3
Ac = A4 - A3BK - A2BKAc - ABKAc - BKAc
......................
n-1 n-3 n-2
Ac = An-1 - An-2BK - - ABKAc - BKAc
n n-2 n-1
Ac = An - An-1BK - An-2BKAc - - ABKAc - BKAc
8
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
anI = anI
an-1Ac = an-1A - an-1BK
2
an-2 Ac = an-2 A2 - an-2 ABK - an-2BKAc
3 2
an-3Ac = an-3A3 - an-3A2BK - an-3ABKAc - an-3BKAc
4 2 3
an-4 Ac = an-4 A4 - an-4 A3BK - an-4 A2BKAc - an-4 ABKAc - an-4BKAc
......................
n-1 n-3 n-2
a1Ac = a1An-1 - a1An-2BK - - a1ABKAc - a1BKAc
n n-2 n-1
Ac = An - An-1BK - An-2BKAc - - ABKAc - BKAc
dodajemy stronami:
n-1 n-2
Mc( Ac ) = Mc( A) - B an-1K + + KAc - AB an-2K + + KAc - A2B * - - An-2B * - An-1BK
( ) ( )
() ( )
=0
9
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
n-1
Ą# ń#
an-1K + + KAc
ó#a K + + KAc Ą#
n-2
n-2
ó#
Ą#ń#Ą#
Mc( A) =
Ł#B AB An-1BŚ# ó#
Ą#

ó# Ą#
K
Ł# Ś#
n-1
Ą#ń#
an-1K + + KAc
ó#a K + + KAc Ą#
n-2
-1
n-2
ó#Ą#
Ą#ń#
=
Ł#B AB An-1BŚ# Mc( A)
ó#Ą#

K jest ostatnim wierszem prawej strony
ó#Ą#
K
Ł#Ś#
-1
Ą#ń#
K = 0 0 1 B AB An-1BŚ# Mc( A)
[]Ł#


n
Formuła Ackermana
10
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Szczególnie łatwo:
01 0 0
Ą#ń# Ą# ń#
Postać będąca wynikiem stosowania
ó#Ą# ó# Ą#
pierwszego wariantu metody bezpośredniej

ó#Ą# ó# Ą#
A = B =
wyboru zmiennych stanu.
ó# 0 0 1 Ą# ó#0Ą#
Postać kanoniczna sterowalna
ó# ó#1Ą#
-an-1 -a1Ą#
Ł#-an Ś# Ł# Ś# Postać normalna regulatorowa
01 00
Ą#ń# Ą# ń#
ó#Ą# ó# Ą#

ó#Ą# ó# Ą#k1 k2 kn =
A - BK = - []
ó# 0 0 1 Ą# ó#0Ą#
k1 = ac,n - an
ó#
-an-1 -a1Ą# ó#1Ą#
Ł#-an Ś# Ł# Ś#
k2 = ac,n-1 - an-1
01 0 01 0

Ą#ń# Ą# ń#
..............
ó#Ą# ó# Ą#


ó#Ą# ó# Ą#
==
kn = ac,1 - a1
ó# 00 0 1 Ą#
1 Ą# ó# 0
ó#
() ) )Ą# ó#
c,n
Ś#
Ł#- an + k1 -(an-1 + k2 -(a1 + kn Ś# Ł#-a -ac,n-1 -ac,1Ą#
11
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Macierzą przekształcenia do postaci kanonicznej sterowalnej jest
an-1 an-2 a1 1
Ą#ń#
ó#aan-3 1 0Ą#
n-2
ó#Ą#
P = QS ó# Ą#
ó#
a1 1 0 0Ą#
ó#Ą#
ó#Ą#
10 0 0Ś#
Ł#


q( t ) = A - BK q( t ) = P-1 A - BKP-1 Pq( t )
( ) ( )

Pq( t ) = A - BKP-1 Pq( t )
()

x( t ) = A - BKP-1 x( t )
()
12
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
" Nadrzędny jest wybór zadanych położeń biegunów układu zamkniętego.
" Decyduje o właściwościach dynamicznych układu zamkniętego.
" Wpływa na wartości sprzężeń zwrotnych  mogą być zbyt duże.
" Musi być kompromisowy  jeśli zwiększamy szybkość odpowiedzi układu zamkniętego to wpływ
zakłóceń i szumów pomiarowych też rośnie.
Jak uzyskać astatyzm układu regulacji?
Przyjmijmy:
" wymuszenie skokowe r(t)=r=const
" wielkością regulowaną jest pierwsza zmienna stanu
" obiekt zawiera element całkujący
13
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
d
x( t ) = Ax( t ) + Bu( t )
dt
u( t ) =-[] ()
0 k2 k2 x( t ) + k1 r( t ) - x( t ) =
1
=-[]
k1 k2 k2 x(t ) + k1r(t ) =-Kx(t ) + k1r(t )
d
x( t ) = A - BK x( t ) + Bk1r( t )
()
dt
Jeśli zaprojektujemy macierz sprzężeń
tak by wartości własne A-BK były w
lewej półpłaszczyz
nie, uzyskamy w
układzie stan ustalony:
0 = A - BK x" + Bk1r
()
-1
x" = A - BK Bk1r
() z uwagi na
całkowanie w
u" =-Kx" + k1r = 0
obiekcie
14
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
e( t ) = x( t ) - x" , wtedy
Oznaczmy:
d
x( t ) - 0 = A - BK x( t ) - x" + Bk1r( t ) - Bk1r( t )
()()
dt
d
e( t ) = A - BK e( t )
()
dt
Wystarczy zaprojektować stabilizujące sprzężenie zwrotne dla układu (A, B) !!
15
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Jeśli obiekt nie zawiera całkowania:
ń# Ą# A - BK ki ń#Ą#xń# Ą#0ń#
x = Ax - B Kx + ki� x
( ) Ą#
=+ r
ó# Ą#
ó# Ą#ó#� Ą# ó#1Ą#
-C 0
� = r - Cx
Ł# Ś#Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł#� Ś#
Jeśli ten układ będzie stabilny, to w stanie równowagi
16
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
00
A - BK ki x"
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
=+ r
ó#0Ą# ó# Ą# ó#� Ą# ó#1Ą#
-C 0
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# " Ś# Ł# Ś#
y" = Cx" = r
A - BK ki A 0 B
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń#
=- []
K ki
ó#Ą# ó#0Ą#
ó#
Trzeba więc ustabilizować macierz
-C 0
Ł#Ś# Ł#-C 0Ą# Ł# Ś#
Ś#

K:= K ki dla układu opisanego macierzami
[ ]
czyli znalez
ć stabilizujące sprzężenie zwrotne

A 0 B A B
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń#
A:= B:=
ó# ó#0Ą# ó#
. Układ ten będzie całkowicie sterowalny, jeśli macierz
Ł#-C 0Ą# Ł# Ś# Ł#-C 0Ą# jest
Ś# Ś#
pełnego rzędu.
17
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
Obliczanie sterowania dead-beat
Układ
x((k +1)T ) = Ax(kT ) + bu(kT )
y(kT ) = cx(kT )
należy wyposażyć w regulator zapewniający zanikanie przebiegów przejściowych w N okresach
impulsowania i zerowy uchyb ustalony przy wymuszeniu jednostkowym.
u((N
Ą# -1)T )
ń#
ó# Ą#
x(NT ) - AN x0 =[b Ab AN -1b]ó# Ą#
ó# Ą#
u(T )
ó# Ą#
u(0)
Ł# Ś#
y(NT ) = cx(NT ) = 1
x((k +1)T ) = x(kT ), u(kT ) = u(NT ) dla k e" N
18
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego
x(NT ) = Ax(NT ) + bu(NT )
Jeśli A nie ma wart wł. równych 1, to macierz I-A jest odwracalna i
x(NT ) = (I - A)-1bu(NT )
y(NT ) = c(I - A)-1bu(NT ) = 1
1 1
u(NT ) = =
c(I - A)-1b Go (1)
Potem wyznacza się x(NT), potem ciąg sterujący.
Jeśli A ma wart wł. równą 1, to u(NT)=0 i
(I - A)x(NT ) = 0
Równanie to ma wiersze liniowo zależne  jeden z nich należy zastąpić przez
cx(NT ) = 1
Stąd wyznacza się x(NT), potem ciąg sterujący.
19
Automatyka i sterowanie 14 Przesuwanie/lokowanie biegunów
Układy czasu ciągłego i dyskretnego