POLITECHNIKA POZNAC
SKA
ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW
W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Prognostyczne modele uszkodzeń i wymian nieodnawianych obiektów pojazdów
fn(t)
Materiały pomocnicze do wykładu (v5)
A B C
t
[e-mail]
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 1 / 30
WPROWADZENIE
MODELE MATEMATYCZNE
Założenia i przyjęte oznaczenia
Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych
Prognostyczny model liczby uszkodzeń obiektów w okresie ich starzenia
MODEL KOMPUTEROWY DO ANALIZY USZKODZEC
OBIEKTÓW W OKRESIE
USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Symulator komputerowy algorytmów modeli matematycznych
Przykładowe problemy badawcze
Konfigurowanie symulatora i wyniki prognozowania
PODSUMOWANIE
[e-mail]
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 2 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 MODELE MATEMATYCZNE
Założenia i przyjęte oznaczenia (1)
1. Obserwowana jest grupa N nieodnawianych obiektów typu mechanicznego. Zakłada się podział
tej grupy obiektów na dwie frakcje (rys. 1). Pierwszą z nich - o liczności Ą - stanowią obiekty,
które ulegają uszkodzeniom wczesnym i przypadkowym. Drugą frakcję obiektów - o liczności
Ns - stanowią te, które ulegają uszkodzeniom na skutek starzenia. Chwile czasowe przewidywa-
nych uszkodzeń obiektów tworzą szereg pozycyjny:
t(1),t(2) , ... ,t(Ą ),t(Ą +1) , ... ,t(N ) . (1)
Frakcja pierwsza obiektów Frakcja druga obiektów
t(Ą+�)
t(Ą) t(Ą+1)
t(1) t(2) t(3) t(4) t(N)
tp
ti-1 ti tk
t0 t2 tk+r
t1
n("t1,2) n("ti-1,i)
n("t0,1)
� = n("tp,k)
nsk(ti)
Ns = N - Ą = n("tp,k+r)
- oznaczenie chwil uszkodzeń obiektów przed okresem uszkodzeń starzeniowych
- oznaczenie chwil uszkodzeń obiektów w okresie uszkodzeń starzeniowych
Rys. 1. Schemat wybranych oznaczeń w formułach modeli matematycznych
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 3 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Założenia i przyjęte oznaczenia (2)
2. Czas obserwacji uszkodzeń obiektów podzielono na przedziały o równej długości (rys. 1):
"ti-1,i = ti - ti-1, i =1,2, ... , p, ... ,k, ... ,k + r, k > p, r = 1,2, ... . (2)
3. W kolejnych przedziałach czasu rejestruje się liczby n("ti-1,i) uszkodzeń obiektów, a w chwilach
pokrywających się z górnymi granicami przedziałów czasowych wyznacza się skumulowane
liczby uszkodzeń (rys. 1):
i
nsk (ti ) = ("t� -1, ), i = 1,2, ... , p, ... ,k, ... ,k + r, k > p, r = 1,2, ... . (3)
"n
�
� =1
4. Zakłada się, że rozkład czasu T do uszkodzeń obiektów nieodnawianych zaliczonych do frakcji
drugiej jest rozkładem normalnym N(ź,�).
5. Przyjmuje się, że początek uszkodzeń starzeniowych przypada na chwilę tp (rys. 1), tzn. przyjmu-
je się, że uszkodzenie pierwszego obiektu będące wynikiem jego starzenia pokrywa się z chwilą
tp. Zakłada się, że proces starzenia przebiega tak, że wszystkie Ns obiektów drugiej frakcji
uszkadza się do chwili tk+r . Z założeń tych wynika, że:
t(m) " t ,tk+r , m = Ą +1,Ą + 2, ... , N , (4)
p
a dodatkowo zakłada się, że
tk+r - t = 6�"� . (5)
p
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 4 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 MODELE MATEMATYCZNE
Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (1)
Prognostyczny model parametrów rozkładu obiektów to formuły matematyczne na estymatory
parametrów rozkładu czasu T do uszkodzeń starzeniowych obiektów (rozkład normalny N(ź,�)). Es-
tymatory te oszacowuje się na podstawie liczby n("tp,k) uszkodzeń obiektów w okresie od chwili tp do
chwili tk oraz liczności Ns obiektów, dla których przewiduje się, że ulegną uszkodzeniom na skutek ich
starzenia. Schemat ideowy tego prognostycznego modelu przedstawiono na rys. 2.
n("tp,k) {n("tp,k), Ns} N(ź,�)
Ns
czas
t0 t2 ti-1 ti tp
t1
tk
Rys. 2. Schemat ideowy prognostycznego modelu parametrów rozkładu uszkodzeń obiektów
w okresie uszkodzeń starzeniowych
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 5 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (2)
Obserwując uszkodzenia obiektów w kolejnych przedziałach czasu można wskazać chwilę tp po-
czątku uszkodzeń starzeniowych. Pomocnym w tym względzie może być śledzenie przebiegów empi-
rycznych postaci funkcji fn(t) gęstości prawdopodobieństwa czasu T do uszkodzenia obiektów i funkcji
n(t) intensywności uszkodzeń. Wartości tych funkcji na końcach przedziałów czasowych wyznacza
się z zależności:
nsk (ti )- nsk (ti-1) ni("t), i = 1,2, ... ,
fn(ti ) = = (7)
N �"(ti - ti-1) N �" "t
nsk (ti )- nsk (ti-1) ni("t)
n(ti ) = = , i = 1,2, ... . (8)
[N - nsk (ti-1)]�"(ti - ti-1) [N - nsk (ti-1)]�" "t
A
atwo jest zauważyć, że
n("t )
p,k
= FN(ź;� )(tk )- FN(ź;� )(t ) , (9)
p
Ns
gdzie: FN(ź;� )(t ), FN(ź;� )(tk ) - są wartościami dystrybuant rozkładu N(ź,�) uszkodzeń starzeniowych w
p
chwilach czasowych odpowiednio tp i tk,
a z przyjętych założeń wynika, że: FN(ź;� )(t )= 0
p
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 6 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (3)
Jeżeli różnicę realizacji zmiennej losowej T odpowiadających chwilom czasowym tp i tk wyrazi się
w jednostkach odchylenia standardowego rozkładu N(0,1), to otrzyma się następującą zależność (dalej
umieszczono szkice pomocnicze):
t - ź n("t )
�# ś#
tk - ź
p
- -
ś# ź#
- = FN1(0;1)ś# p,k ź# - FN1(0;1)(0) , (10)
� � Ns #
�#
-1
gdzie: FN(0,1)(x) - jest zapisem oznaczającym wartości odwrotne dystrybuant rozkładu N(0,1)
w punkcie x.
Ponieważ
FN(0;1)(- 3) = 0,0013499, (11)
to można przyjąć, że
-1
FN(0;1)(0) E" -3 . (12)
Zatem uwzględniając zależność (12)
t - ź n("t )
�# ś#
tk - ź
p
-
ś# ź#
- = FN1(0;1)ś# p,k ź# - (-3) , (13)
� � Ns #
�#
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 7 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Szkice pomocnicze
Szkice pomocnicze
2
t
(t -ź )2
f(t)
1
2
1
2
f~ (t) = �" e 2�
t
f (t) = �" e
�(0,1)
2 
� �" 2 
n("t )
p,k
�(ź,�)
Ns
ź
0 t
~
tk tp
tk
tp ~
F(t)
�(ź,�)
�(0,1)
2
z
t
1
1,0
2
F~ (t) = e dz
+"
t
t - ź
( z -ź )2
~
2  t
- "
t =
1
2
2�
� F (t) = e dz
+"
� �" 2  -"
tk - ź
~
tk =
�
tp tk
ź
0 t
t - ź
tk - ź
~
~ p
tk =
tp =
�
�
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 8 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (4)
)
�
ostateczną postać modelu (estymator odchylenia standardowego i estymator wartości oczekiwanej
)
ź ) można przedstawić za pomocą formuł:
�# ś#
ś# ź#
tk - t
ś# ź#
1
) p
� = entś# +
ź#
(14)
n("t )
�# ś# 2
-
ś# ź#
ś# ź#
FN1(0;1)ś# p,k ź# + 3
ś# ź#
Ns #
�#
�# #
oraz
) )
ź = tp + 3�"�
(15)
Dodatkowo - na podstawie przyjętych założeń - można przyjąć, że uszkodzenie N-tego obiektu
nastąpi w chwili
)
t(N ) = tp + 6�"�
. (16)
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 9 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 MODELE MATEMATYCZNE
Prognostyczny model liczby uszkodzeń obiektów w okresie ich starzenia
Idea prognostycznego modelu liczb uszkodzeń obiektów w okresie ich starzenia opiera się na
oszacowanych wcześniej wartościach parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych i znajomości
liczby uszkodzonych obiektów od chwili tp do chwili tk+j-1 początku okresu dokonywania prognozy.
Schemat ideowy algorytmu modelu prognozowania uszkodzeń pokazano na rys. 3.
{N(ź,�), n("tp,k+j-1), Ns} n("tk+j-1, k+j)
n("tk+j-1,k+j)
Ns
czas
t0 t2 ti-1 ti tp
t1 tk tk+j-1
tk+j
Rys. 3. Schemat ideowy prognostycznego modelu liczb uszkodzeń obiektów w okresie uszkodzeń starzeniowych
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 10 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Krok 1-szy. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk, tk+1)
Krok 1-szy. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk, tk+1)
{N(ź,�), n("tp,k), Ns} n("tk, k+1)
n("tk+,k+1)
Ns
czas
t0 t2 ti-1 ti tp
t1 tk tk+1
Na podstawie formuły (14) i założenia, że parametry rozkładu uszkodzeń starzeniowych nie ulega-
Na podstawie formuły (14) i założenia, że parametry rozkładu uszkodzeń starzeniowych nie ulega-
ją zmianie w kolejnych przedziałach czasu, to:
ją zmianie w kolejnych przedziałach czasu, to:
tk+1 - t
) p
� = , (17)
n("t )
�# ś#
-
ś# ź#
FN1(0;1)ś# p,k+1 ź# + 3
( )
Ns #
�#
n("t ) tk +1 - t
�# ś#
p
-
ś# ź#
a stąd FN1(0;1)ś# p,k +1 ź# = - 3 . (18)
)
Ns # �
�#
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 11 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Krok 1-szy. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk, tk+1) cd.
Krok 1-szy. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk, tk+1) cd.
Po wykonaniu operacji funkcji odwrotnej otrzymuje się:
Po wykonaniu operacji funkcji odwrotnej otrzymuje się:
tk
�# - t
ś#
ś# ź#
n("t )= Ns �" FN(0;1)ś# +1 p - 3ź# , (19)
()
p,k+1 ( ) )
�
�# #
a gdy zauważy się, że:
n("t )= n("t )+ n("tk ,k+1) , (20)
p,k+1 p,k
to liczbę uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk, tk+1) można wyznaczyć z zależności:
�# tk ś#
�# - t
ś#
1
ź#
ś# ź#
n("tk ,k +1)= entś# Ns �" FN(0;1)ś# +1 p - 3ź# + - n("t )
) p,k
ś# ź# . (21)
� 2
�# #
�# #
{N(ź,�), n("tp,k), Ns} n("tk, k+1)
n("tk+,k+1)
Ns
czas
ti
t0 t2 ti-1 tp
t1 tk+1
tk
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 12 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Krok 2-gi. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+1, tk+2)
Krok 2-gi. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+1, tk+2)
Wykorzystując wyniki obliczeń dokonanych w kroku 1-szym (zależności (21) i (20)) i powta-
Wykorzystując wyniki obliczeń dokonanych w kroku 1-szym (zależności (21) i (20)) i powta-
rzając zastosowany w nim algorytm obliczeniowy, liczbę uszkodzeń obiektów w przedziale czasu
rzając zastosowany w nim algorytm obliczeniowy, liczbę uszkodzeń obiektów w przedziale czasu
(tk+1, tk+2) można wyznaczyć z zależności:
(tk+1, tk+2) można wyznaczyć z zależności:
�# tk+2 ś#
�# - t
ś#
1
ź#
ś# ź#
n("tk+1,k+2)= entś# Ns �" FN(0;1)ś# ) p - 3ź# + - n("t )
p,k+1
ś# ź# , (22)
� 2
�# #
�# #
{N(ź,�), n("tp,k+1), Ns} n("tk+1, k+2)
n("tk+1,k+2)
Ns
czas
t0 t2 ti-1 ti
tp
t1
tk
tk+1 tk+2
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 13 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Krok j-ty. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+j-1, tk+j)
Krok j-ty. Prognozowanie liczby uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+j-1, tk+j)
{N(ź,�), n("tp,k+j-1), Ns} n("tk+j-1, k+j)
n("tk+j-1,k+j)
Ns
czas
t0 t2 ti-1 ti
tp
t1 tk+j-1
tk
tk+j
Uogólniając wyniki obliczeń uzyskane w krokach 1-szym i 2-gim, można zauważyć, że liczbę
Uogólniając wyniki obliczeń uzyskane w krokach 1-szym i 2-gim, można zauważyć, że liczbę
uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+j-1, tk+j), j =1,2, ... , r, (rys. 3) wskazuje zależność:
uszkodzeń obiektów w przedziale czasu (tk+j-1, tk+j), j =1,2, ... , r, (rys. 3) wskazuje zależność:
�# tk+ ś#
�# - t
ś#
1
ź#
ś# ź#
n("tk+ j-1,k+ j )= entś# Ns �" FN(0;1)ś# j p - 3ź# + - n("t ), j = 1,2, ... ,r
) p,k+ j-1
ś# ź# , (23)
� 2
�# #
�# #
gdzie:
n("t ), j = 1
ż#
p,k
�#
j-1
n("t )= . (24)
�#n
p,k+ j-1
("t )+ ("tk+� -1,k+� ), j = 2,3, ... ,r
"n
p,k
�#
�# � =1
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 14 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
MODEL KOMPUTEROWY DO ANALIZY USZKODZEC
OBIEKTÓW
W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Symulator komputerowy Kaja.xls algorytmów modeli matematycznych
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 15 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Przykładowy problem badawczy
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 16 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Konfigurowanie symulatora (1)
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 17 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Konfigurowanie symulatora (2)
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 18 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Wyznaczanie parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (1)
Wyznaczanie parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (1)
�# ś#
ś# ź#
tk - tp
1
) ź#
� = entś# +
ś# ź#
n("tp,k )
�# ś# 2
-
ś# FN1 ś# ź# + 3 ź#
(0;1)
ś#
ś# ź#
Ns ź#
�# #
�# #
�# ś# �# ś#
ś# ź# ś# ź#
600 - 400 1 200 1 200 1 1
ś#
) ś#
ź# ź#
� = entś# + = entś# + = ent�# + = ent�#62,3053 +
ś# ź#
ś# ź#
21ś# 21ś#
ś# ź# ś# ź#
2 2 0,21+ 3 2 2
- - �# #
�# #
FN1 �# ź# + 3 FN1 �# ź# + 3
ś# ś#
ś# (0;1) ź# ś# (0;1)
ź#
36 36
�# # �# #
�# # �# #
)
� = ent(62,8053) = 62
) )
ź = tp + 3�"�
)
ź = 400 + 3�" 62 = 400 +186 = 586
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 19 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Wyznaczanie parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (2)
Wyznaczanie parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych (2)
21
- -
FN1 �# ś# = FN1 (0,58333) = 0,21
ś# ź#
(0;1) (0;1)
36
�# #
1
u
- �"x2
1
2
F(u) = �" e dx
+"
2 �"  -"
Dystrybuanta rozkładu N(0;1)
Dystrybuanta rozkładu N(0;1)
u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
lub
=ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(0,58333) 0,21042
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 20 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Wyniki prognozowania (1)
Wyniki prognozowania (1)
tk + j - t
�# ś#
�# ś# 1
p
ś# ź#
n("tk + j -1, k + j )= ent N �" FN (0;1)ś# - 3 ź# + - n("t ), j = 1,2, ... , r
s ) p , k + j -1
ś# ź#
� 2
�# #
�# #
Krok 1
j =1
650-400 1
ś#
n("t600,650)= ent �#36�" FN(0;1)�# -3ś#+ -21
ś# ź#
ś# ź#
62 2 #
�# #
�#
1
ś#
n("t600,650)= ent �#36�" FN(0;1)(4,032258-3)+
ś# ź#-21
2
�# #
1
ś#
n("t600,650)= ent �#36�" FN(0;1)(1,032258)+
ś# ź#-21
2
�# #
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 21 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Krok 1 cd.
1
ś#
n("t600,650)= ent �#36�" FN(0;1)(1,032258)+
ś# ź#-21
2
�# #
1
u
- �"x2
1
2
F(u) = �" e dx
+"
2 �"  -"
Dystrybuanta rozkładu N(0;1)
Dystrybuanta rozkładu N(0;1)
u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
lub
=ROZKA
AD.NORMALNY.S(1,032258) 0,849024
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 22 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Krok 1 cd.
1
ś#
n("t600,650)= ent �#36�"0,84849+
ś# ź#-21
2
�# #
1
ś#
n("t600,650)= ent �#30,54564+
ś# ź#-21
2
�# #
n("t600,650)= ent (31,04564)-21
n("t600,650)= 31-21=10
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 23 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Wyniki prognozowania (2)
Wyniki prognozowania (2)
tk + j - t
�# ś#
�# ś# 1
p
ś# ź#
n("tk + j -1, k + j )= ent N �" FN (0;1)ś# - 3 ź# + - n("t ), j = 1,2, ... , r
s ) p , k + j -1
ś# ź#
� 2
�# #
�# #
Krok 2
j = 2
700-400 1
ś#
n("t650,700)= ent �#36�" FN(0;1)�# -3ś#+ -31
ś# ź#
ś# ź#
62 2 #
�# #
�#
1
ś#
n("t650,700)= ent �#36�" FN(0;1)(4,83871-3)+
ś# ź#-31
2
�# #
1
ś#
n("t650,700)= ent �#36�" FN(0;1)(1,83871)+
ś# ź#-31
2
�# #
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 24 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Krok 2 cd.
1
ś#
n("t650,700)= ent �#36�" FN(0;1)(1,83871)+
ś# ź#-31
2
�# #
1
u
- �"x2
1
2
F(u) = �" e dx
+"
2 �"  -"
Dystrybuanta rozkładu N(0;1)
Dystrybuanta rozkładu N(0;1)
u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169
lub
=ROZKA
AD.NORMALNY.S(1,83871) 0,967021
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 25 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Krok 2 cd.
1
ś#
n("t650,700)= ent �#36�"0,96638+
ś# ź#-31
2
�# #
1
ś#
n("t650,700)= ent �#34,78968+
ś# ź#-31
2
�# #
n("t650,700)= ent (35,28968)-31
n("t650,700)= 35-31= 4
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 26 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Wyniki prognozowania (3)
Wyniki prognozowania (3)
tk + j - t
�# ś#
�# ś# 1
p
ś# ź#
n("tk + j -1, k + j )= ent N �" FN (0;1)ś# - 3 ź# + - n("t ), j = 1,2, ... , r
s ) p , k + j -1
ś# ź#
� 2
�# #
�# #
Krok 3
j = 3
750-400 1
ś#
n("t700,750)= ent �#36�" FN(0;1)�# -3ś#+ -35
ś# ź#
ś# ź#
62 2 #
�# #
�#
1
ś#
n("t700,750)= ent �#36�" FN(0;1)(5,645161-3)+
ś# ź#-35
2
�# #
1
ś#
0,99598= FN(0;1)(2,645161)
n("t700,750)= ent �#36�" FN(0;1)(2,645161)+
ś# ź#-35
2
�# #
1
ś#
n("t700,750)= ent �#36�"0,99598+
ś# ź#-35
2
�# #
n("t700,750)= 36-35=1
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 27 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Zebrane wyniki prognozowania (4)
Zebrane wyniki prognozowania (4)
tk + j - t
�# ś#
�# ś# 1
p
ś# ź#
n("tk + j -1, k + j )= ent N �" FN (0;1)ś# - 3 ź# + - n("t ), j = 1,2, ... , r
s ) p , k + j -1
ś# ź#
� 2
�# #
�# #
650-400 1
ś#
Krok 1
n("t600,650)= ent �#36�" FN(0;1)�# -3ś# + -21=10
ś# ź#
ś# ź#
62 2 #
�# #
�#
700-400 1
ś#
Krok 2
n("t650,700)= ent �#36�" FN(0;1)�# -3ś# + -31= 4
ś# ź#
ś# ź#
62 2 #
�# #
�#
750-400 1
ś#
Krok 3
n("t700,750)= ent �#36�" FN(0;1)�# -3ś# + -35=1
ś# ź#
ś# ź#
62 2 #
�# #
�#
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 28 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 Wyniki prognozowania z symulatora Kaja.xls (5)
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 29 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH
 PODSUMOWANIE
1. MODELE MATEMATYCZNE
Założenia
Prognostyczny model parametrów rozkładu uszkodzeń starzeniowych
Prognostyczny model liczby uszkodzeń obiektów w okresie ich starzenia
2. MODEL KOMPUTEROWY DO ANALIZY USZKODZEC
OBIEKTÓW W OKRESIE
USZKODZEC
STARZENIOWYCH
Symulator komputerowy algorytmów modeli matematycznych
Przykładowe problemy badawcze
Konfigurowanie symulatora i wyniki prognozowania
Plik: PP_Modele_Starzenie_obiektów_nieodnawianych_s_p_[v5] 30 / 30
A. KADZIC
SKI, ANALIZA USZKODZEC
OBIEKTÓW SYSTEMÓW W OKRESIE USZKODZEC
STARZENIOWYCH