POLITECHNIKA POZNAC
SKA
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
Materiały pomocnicze do wykładu (v4)
[e-mail]
Plik: PP_Zerowy_czas_odnowy_Obiekty_odnawiane_wyk_i_ćw_s_p_[v4].doc Opr. Adam Kadziński
NIEZAWODNOŚĆ OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
1)
Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
Wprowadzenie
Niezawodnościowy model obiektów odnawianych z zerowym
czasem odnowy
f& Założenia
Pojęcie funkcji odnowy
Formuła matematyczna ma funkcję odnowy
Przykład zastosowania funkcji odnowy
Podsumowanie
[e-mail]
1)
Przy opracowaniu niniejszej prezentacji i tematu wykładu, w wielu miejscach, wykorzystałem własne
notatki z wysłuchanego wykładu Pana Profesora Dobiesława Bobrowskiego w ramach Studium
Podyplomowego nt. Matematyczne Podstawy Teorii Niezawodności , które było zorganizowane w 1980
roku przez Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 2 z 37
WPROWADZENIE (1)
O ODNAWIANYCH OBIEKTACH W OCENACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH
OBIEKTY
Nieodnawiane
Odnawiane
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 3 z 37
WPROWADZENIE (2)
ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (1)
1.
t0 t2 t n
t1 t 1 t 2 t3 t4 tn
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 4 z 37
WPROWADZENIE (3)
ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (2)
2.
Z(t)
2
1
t0 t2 t n
t1 t 1 t 2 t3 t 3 t4 tn
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 5 z 37
WPROWADZENIE (4)
ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (3)
3.
1
2
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 6 z 37
WPROWADZENIE (5)
ODWZOROWANIA GRAFICZNE NIEZAWODNOŚCIOWYCH MODELI
DWUSTANOWYCH OBIEKTÓW ODNAWIANYCH (1)
t(1),
t(0) t (1) t(2), t(3), t(n), t(n+1),
t (2) t (3) t (n) t (n+1)
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 7 z 37
WPROWADZENIE (6)
�1 �2
�3 �n+1
�4 �n �n+2
t(1),
t (1) t(2), t(3), t(n), t(n+1),
t(0) t (2) t (3) t (n) t (n+1)
t
t1
t2
t3
tn
tn+1
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 8 z 37
WPROWADZENIE (7)
�1 �2
�3 �n+1
�4 �n �n+2
Ł
t(1),
t(0) t (1) t(2), t(3), t(n), t(n+1),
t (2) t (3) t (n) t (n+1)
t
�1,1 �1,2
�1,3 �1,n+1
�1,4 �1,n �1,n+2
1
t(1,n), t (1,n)
t(1,0) t(1,1), t (1,1) t(1,3), t (1,3) t(1,n+1), t (1,n+1)
t(1,2), t (1,2)
t
�2,1 �2,2
�2,3 �2,4 �2,n+1
�2,n �2,n+2
2
t(2,n), t (2,n)
t(2,0) t(2,1), t (2,1) t(2,3), t (2,3) t(2,n+1), t (2,n+1)
t(2,2), t (2,2)
t
"
" "
" " "
" " "
�N,1 � N,2 �N,n+1 �N,n+2
�
� �N,n
N,3
N,4
N
t(N,n), t (N,n)
t(N,0) t(N,1), t (N,1) t(N,3), t (N,3) t(N,n+1),
t (N,n+1)
t(N,2), t (N,2)
t
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 9 z 37
ZAA
OŻENIA (1)
�1 �2
�3 �n+1
�4 �n �n+2
t(1),
t(0) t (1) t(2), t(3), t(n), t(n+1),
t (2) t (3) t (n) t (n+1)
t
t1
t2
t3
tn
tn+1
Charakterystykami procesu odnowy są między innymi:
" sumaryczny czas prawidłowego działania obiektu tn do chwili n-tego uszkodzenia,
" liczba uszkodzeń obiektu Xt do chwili t.
Zapiszmy przez
n
tn = dla n " N1
"�
k
k =1
zmienną losową będącą sumarycznym czasem prawidłowego działania obiektu do wystąpienia
n uszkodzeń.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 10 z 37
Dodatkowo oznaczmy przez Fn(t) dystrybuantę zmiennej losowej tn, tzn.
Fn(t) = P(tn < t) dla n " N1
Dystrybuantę Fn(t) można wyznaczyć z zależności rekurencyjnej:
t
Fn(t) = Fn-1(t - u) dF(n)(u) dla n = 2,3,...
+"
0
Przy założeniu niezależności zmiennych losowych �1, �2, �3, ..., �n
i jednorodności rozkładów tych zmiennych, tzn. jeżeli:
F(1)(t), F(2)(t), F(3)(t),..., F(n)(t) = F(t)
zapisać można, że:
t
Fn (t) = Fn-1(t - u) dF(u) dla n = 2,3,...
+"
0
a jeżeli rozkłady zmiennych losowych �1, �2, �3, ..., �n są typu ciągłego
tzn. dla takich zmiennych obowiązują następujące zależności:
dF(t)
f (t) = i dF(t) = f (t) �" dt
dt
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 11 z 37
prawidłowa jest zależność:
t
Fn (t) = Fn-1(t - u) �" f (u) du dla n = 2,3,...
+"
0
Korzystając z definicji splotu funkcji, powyższą zależność można zapisać w postaci:
Fn(t) = Fn-1(t) " f (t) dla n = 2,3,...
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 12 z 37
ZAA
OŻENIA
Zapiszmy następujące zdarzenia:
Z1 = {Xt e" n dla n " N0}
Z2 = {tn < t dla n " N0}
Okazuje się, że są to zdarzenia jednakowe oznaczające, że do chwili t wystąpi co najmniej n
odnowień obiektu.
Prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń jednakowych są takie same, stąd można zapisać, że:
P(Xt e" n) = P(tn < t)
P(Xt e" n) = Fn(t)
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 13 z 37
POJ
CIE FUNKCJI ODNOWY
Podstawową charakterystyką rozważanego procesu
odnowy jest funkcja odnowy postaci:
H (t) = E(Xt )
P(Xt = i)
gdzie:
"
E(Xt ) = " " " i
i - 4 i - 3 i - 2 i - 1 " " "
"n �" P(Xt = n)
n=1 Liczba uszkodzeń (odnów) n
P(Xt e" 0)
Należy zauważyć, że:
1
" " "
P(Xt = n) = P(Xt e" n) - P(Xt e" n +1)
P(Xt e" i 4)
P(Xt = n) = P(tn < t) - P(tn+1 < t)
P(Xt e" i 3)
P(Xt = n) = Fn(t) - Fn+1(t) dla n " N0
P(Xt = i)
Stąd można zapisać zależność postaci: P(Xt e" i) = Fi(t)
" " "
"
0 " " " - 4 i - 3 i  2 i - 1
i " " "
i
H (t) =
"n �"[Fn(t) - Fn+1(t)]
Liczba uszkodzeń (odnów) n
n=1
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 14 z 37
t
P(
X
=
n
)
t
P(
X
e"
n
)
"
H (t) =
"n �"[Fn(t) - Fn+1(t)]
n=1
Dokonajmy kilku przekształceń otrzymanej zależności:
" "
H (t) =
"n �" Fn(t) - "n �"Fn+1(t)
n=1 n=1
" "
H (t) =
"n �" Fn(t) - "(n -1)�"Fn(t)
n=1 n=2
"
H (t) = F(1)(t) +
"F (t)
n
n=2
stąd:
"
H (t) = dla t > 0
"F (t)
n
n=1
Zależność powyższą można zapisać inaczej w postaci:
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 15 z 37
"
H (t) = F(t) +
"F (t)
n
n=2
lub w postaci:
"
H (t) = F(t) +
"F (t)
n+1
n=1
Jeżeli prawidłowa jest zależność rekurencyjna
Fn(t) = Fn-1(t) " f (t)
to prawidłowe jest równanie postaci:
Fn+1(t) = Fn(t) " f (t)
które można wykorzystać w zależności:
"
H (t) = F(t) +
"[F (t) " f (t)]
n
n=1
Przekształćmy otrzymane równanie.
"
H (t) = F(t) +
"F (t) " f (t)
n
n=1
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 16 z 37
Pozwala to zauważyć, że:
H (t) = F(t) + H (t) " f (t)
lub korzystając z definicji splotu funkcji - zapisać:
t
H (t) = F(t) + H (t - u) �" f (u) du
+"
0
Znając postać analityczną funkcji gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej będącej
czasem między kolejnymi odnowieniami, można rozwiązując powyższe równania całkowe
wyznaczyć funkcję odnowy H(t).
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 17 z 37
Przykład 1 zastosowania funkcji odnowy
Wyznaczyć oczekiwaną liczbę wymian zespołów z.k.-e.s.t. (funkcję odnowy) lokomotywy
SP45, w okresie czasu odpowiadającym przebiegowi 300 000 km, gdy rozkład przebiegu
między uszkodzeniami wymagającymi wymiany z.k.-e.s.t. jest typu wykładniczego
z parametrem  = 2.7�10-5 [1/km].
ROZWI
ZANIE:
Korzystamy z równania całkowego:
H (t) = F(t) + H (t) " f (t)
i po zastosowaniu przekształcenia Laplace a otrzymujemy:
L[H (t)]= L[H (t)]+ L[H (t) " f (t)]
a stosując twierdzenie Borela równanie przyjmuje postać:
L[H (t)]= L[H (t)]+ L[H (t)]�" L[f (t)]
a stąd
L[F(t)]
L[H (t)]=
1- L[f (t)]
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 18 z 37
Wyznaczenie przekształceń Laplace a dla dystrybuanty i funkcji gęstości prawdopodobieństwa
rozkładu wykładniczego.
Dystrybuanta
F(t) = 1- e-�"t
1 1
L[F(t)]= L[1- e-�"t]= L[1]- L[e-�"t]= -
s  + s
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
f (t) =  �" e-�"t
1 
L[f (t)]= L[ �" e-�"t]=  �" L[e-�"t]=  �" =
 + s  + s
Podstawiając wartości przekształceń Laplace a otrzymuje się:
1 1
-

s s + 
L[H (t)]= a stąd: L[H (t)]=

s2
1-
s + 
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 19 z 37
Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia Laplace a otrzymuje się:
 1
Ą#
H (t) = L -1ó# ń# =  �" L -1Ą# ń# =  �"t
ó#s Ą#
2
Ł# Ś# Ł# Ś#
s2 Ą#
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymuje się:
H (3,0�105) = 2,7�10-5 �"3,0�105 = 8,1 H" 9
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 20 z 37
Przykład 2 zastosowania funkcji odnowy
Ile potrzeba co najmniej zespołów wymiennych zestaw kołowy  elektryczny silnik
trakcyjny (z.k.-e.s.t.) dla jednej lokomotywy spalinowej na okres czasu odpowiadający
przebiegowi t = 300 000 km, jeżeli rozkład przebiegu w kilometrach między uszkodzeniami
powodującymi konieczność wymiany zespołu jest typu wykładniczego o parametrze
 = 2,7 10-5.
Przyjąć niezależność i jednorodność rozkładu przebiegu między kolejnymi uszkodzeniami
i wymianami.
Obliczenia przeprowadzić dla prawdopodobieństwa ą = 0,05 zdarzenia, że w okresie czasu
odpowiadającym przebiegowi 300 000 km wystąpi więcej uszkodzeń niż najmniejsza liczba n
spełniająca nierówność:
Fn(t) d" ą
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 21 z 37
Dla t = 300 000 km
P(Xt e" 0)
1
" " "
P(Xt e" i 4)
P(Xt e" i 3)
P(Xt = i)
P(Xt e" i) = Fi(t)
ą =0,05
" " "
i " " "
0 " " " - 4 i - 3 i  2 i - 1
i
Liczba uszkodzeń (odnów) n
Fi (t) d" ą
Poszukiwane jest takie i = ? aby
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 22 z 37
t
P(
X
e"
n
)
Fn(t) = Fn-1(t) " f (t)
L[Fn(t)]= L[Fn-1(t)]�" L[f (t)] dla n = 2,3,...
dla n = 2 L[F2(t)]= L[F1(t)]�" L[f (t)] L[F2(t)]= L[F(t)]�" L[f (t)]
dla n = 3 L[F3(t)]= L[F2(t)]�" L[f (t)] L[F3(t)]= L[F(t)]�" L[f (t)]2
dla n = 4 L[F4(t)]= L[F3(t)]�" L[f (t)] L[F4(t)]= L[F(t)]�" L[f (t)]3
dla n = 5 L[F5(t)]= L[F4(t)]�" L[f (t)] L[F5(t)]= L[F(t)]�" L[f (t)]4
& &
dla n -1 L[Fn-1(t)]= L[Fn-2(t)]�" L[f (t)] L[Fn-1(t)]= L[F(t)]�" L[f (t)]n-2
dla n L[Fn(t)]= L[Fn-1(t)]�" L[f (t)] L[Fn(t)]= L[F(t)]�" L[f (t)]n-1
L[Fn(t)]= L[F(t)]�" L[f (t)]n-1
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 23 z 37
Dystrybuanta i funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego
F(t) = 1- e-�"t dla t e" 0
f (t) =  �" e-�"t dla t e" 0
Transformaty Laplace a dystrybuanty i funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu
wykładniczego
1 1
L[F(t)]= L[1- e-�"t]= L[1]- L[e-�"t]= -
s  + s
1 
L[f (t)]= L[ �"e-�"t]=  �"L[e-�"t]=  �" =
 + s  + s
Na tej podstawie
n-1
1 1 
�# ś# �# ś#
L[Fn(t)]= L[F(t)]�" L[f (t)]n-1 L[Fn(t)]= - �"ś#
ś# ź# ź#
s  + s  + s
�# # �# #
 n-1  �" n-1 n
L[Fn(t)]= �" L[Fn(t)]= L[Fn(t)]=
s( + s)
( + s)n-1 s( + s) �" ( + s)n-1 s �" ( + s)n
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 24 z 37
n
L[Fn(t)]=
s �" ( + s)n
Ą#
n ń#
Poszukiwanie Fn(t) transformaty odwrotnej funkcji L-1 ó#
Ą#
Ł#s �" ( + s)n Ś#
Aby znalez
ć transformatę odwrotną funkcji (funkcja nie występuje w tablicach transformat
Laplace a podstawowych funkcji) zostanie ona rozłożona na ułamki proste:
n A B1 B2 Bn-1 Bn
= + + +L+ +
s s + 
s �" ( + s)n (s + )2 (s + )n-1 (s + )n
a stąd
n = A�" (s + )n + B1 �" s �" (s + )n-1 + B2 �" s �" (s + )n-2 + L+ Bn-1 �" s �" (s + )1 + Bn �" s �" (s + )0
Po zastosowaniu formuły na rozwinięcie dwumianu Newtona postaci:
n
n
�# ś#
(a + b)n =
"ś# r ź# �" an-r �" br
�# #
r=0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 25 z 37
otrzymuje się:
n = A�" (s + )n + B1 �" s �" (s + )n-1 + B2 �" s �" (s + )n-2 + L+ Bn-1 �" s �" (s + )1 + Bn �" s �" (s + )0
n
n
�# ś#
(a + b)n =
"ś# r ź# �" an-r �" br
�# #
r=0
n
n n
Ą# ń# Ą#n-1 -1
ń#
�# ś# �# ś#
n = A�"
"ś# r ź# �" sn-r �" r + B1 �" s �" "ś# r ź# �" sn-1-r �" r +
ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# #
Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś#
1 0
n
Ą#n-2 - 2 1 0
ń# Ą# ń# Ą# ń#
�# ś# �# ś# �# ś#
+ B2 �" s �"
"ś# r ź# �" sn-2-r �"r +L+ Bn-1 �" s �" "ś#r ź# �" s1-r �"r + Bn �" s �" "ś# r ź# �" s0-r �"r
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# # �# #
Ł#r =0 Ś# Ł#r =0 Ś# Ł#r =0 Ś#
Wprowadz
my zmienną s znajdującą się przed nawiasami kwadratowymi pod znak sumy.
Otrzymuje się wtedy postać:
n
n n
ń# Ą#n-2 - 2
ń#
Ą# ń# Ą#n-1 -1 n
�# ś# �# ś# �# ś#
n = A�"
"ś# r ź# �" sn-r �" r + B1 �" "ś# r ź# �" s �" sn-1-r �" r + B2 �" "ś# r ź# �" s �" sn-2-r �" r +
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# # �# #
Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś#
1 0
1 0
Ą# ń# Ą# ń#
�# ś# �# ś#
+L+ Bn-1 �"
"ś#r ź# �" s �" s1-r �"r + Bn �" "ś# r ź# �" s �" s0-r �"r
ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# #
Ł#r =0 Ś# Ł#r =0 Ś#
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 26 z 37
n
n n
Ą# ń# Ą#n-1 -1 n
ń# Ą#n-2 - 2
ń#
�# ś# �# ś# �# ś#
n = A�"
"ś# r ź# �" sn-r �" r + B1 �" "ś# r ź# �" s �" sn-1-r �" r + B2 �" "ś# r ź# �" s �" sn-2-r �" r +
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# # �# #
Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś#
1 0
1 0
Ą# ń# Ą# ń#
�# ś# �# ś#
+L+ Bn-1 �"
"ś#r ź# �" s �" s1-r �"r + Bn �" "ś# r ź# �" s �" s0-r �"r
ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# #
Ł#r =0 Ś# Ł#r =0 Ś#
i ostatecznie:
n
n n
ń# Ą#n-2 - 2
ń#
Ą# ń# Ą#n-1 -1 n
�# ś# �# ś# �# ś#
n = A�"
"ś# r ź# �" sn-r �" r + B1 �" "ś# r ź# �" sn-r �" r + B2 �" "ś# r ź# �" sn-1-r �" r +
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# # �# #
Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś#
1 0
1 0
Ą# ń# Ą# ń#
�# ś# �# ś#
+L+ Bn-1 �"
"ś#r ź# �" s2-r �" r + Bn �" "ś# r ź# �" s1-r �" r
ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# #
Ł#r =0 Ś# Ł#r =0 Ś#
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 27 z 37
n
n n
Ą# ń# Ą#n-1 -1 n
ń# Ą#n-2 - 2
ń#
�# ś# �# ś# �# ś#
n = A�"
"ś# r ź# �" sn-r �" r + B1 �" "ś# r ź# �" sn-r �" r + B2 �" "ś# r ź# �" sn-1-r �" r +
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# # �# #
Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś# Ł#r=0 Ś#
1 0
1 0
Ą# ń# Ą# ń#
�# ś# �# ś#
+L+ Bn-1 �"
"ś#r ź# �" s2-r �" r + Bn �" "ś# r ź# �" s1-r �" r
ó# Ą# ó# Ą#
�# # �# #
Ł#r =0 Ś# Ł#r =0 Ś#
Stałe A, B1, B2, & , Bn-1, Bn wyznaczone zostaną na podstawie porównania współczynników
stojących  po obu stronach równania  przy tych samych potęgach zmiennej s. Otrzymuje się
na tej podstawie n+1 następujących równań:
n n -1
�# ś# �# ś#
dla sn 1. 0 = A�" ś# ź# �" 0 + B1 �"ś# ź# �" 0 ,
0
�#0 # �# #
n n -1 n - 2
�# ś# �# ś# �# ś#
dla sn-1 2. 0 = A�" ś# ź# �" 1 + B1 �" ś# ź# �" 1 + B2 �"ś# ź# �" 0 ,
1 0
�#1 # �# # �# #
M
n n -1 n - 2
�# ś# �# ś# �# ś#
dla s1 n. 0 = A�"ś# ź# �" n-1 + B1 �"ś# ź# �" n-1 + B2 �"ś# ź# �" n-2 +
�#n -1 # �#n -1 # �#n - 2 #
1 0
�# ś# �# ś#
+L+ Bn-1 �"ś# ź# �" 1 + Bn �"ś# ź# �" 0 ,
�#1 # �#0 #
n
�# ś#
dla s0 n+1. n = A�" ś# ź# �" n.
�#n #
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 28 z 37
n n -1
�# ś# �# ś#
dla sn 1. 0 = A�" ś# ź# �" 0 + B1 �"ś# ź# �" 0 ,
0
�#0 # �# #
n n -1 n - 2
�# ś# �# ś# �# ś#
dla sn-1 2. 0 = A�" ś# ź# �" 1 + B1 �" ś# ź# �" 1 + B2 �"ś# ź# �" 0 ,
1 0
�#1 # �# # �# #
M
n n -1 n - 2
�# ś# �# ś# �# ś#
dla s1 n. 0 = A�"ś# ź# �" n-1 + B1 �"ś# ź# �" n-1 + B2 �"ś# ź# �" n-2 +
�#n -1 # �#n -1 # �#n - 2 #
1 0
�# ś# �# ś#
+L+ Bn-1 �"ś# ź# �" 1 + Bn �"ś# ź# �" 0 ,
�#1 # �#0 #
n
�# ś#
dla s0 n+1. n = A�" ś# ź# �" n.
�#n #
Rozwiązaniem układu równań są następujące wartości stałych A, B1, B2, & , Bn-1, Bn :
z r - nia n +1 A = 1
n n -1
�# ś# �# ś#
z r - nia1 0 = 1�"ś# ź# �" 0 + B1 �" ś# ź# �" 0 B1 = -1
0
�#0 # �# #
n n -1 n - 2
�# ś# �# ś# �# ś#
z r - nia 2 0 = 1�"ś# ź# �" 1 - 1�" ś# ź# �" 1 + B2 �"ś# ź# �" 0 B2 = -1
1 0
�#1 # �# # �# #
B3 = -2 , L Bn-1 = -n-2 , Bn = -n-1
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 29 z 37
n A B1 B2 Bn-1 Bn
= + + +L+ +
s s + 
s �" ( + s)n (s + )2 (s + )n-1 (s + )n
Bn = -n-1
B2 = -1 Bn-1 = -n-2
B1 = -1
A =1
n 1 -1 - 1 - n-2 - n-1
= + + +L+ +
s s + 
s �" ( + s)n (s + )2 (s + )n-1 (s + )n
n 1 1 1 n-2 n-1
= - - +L- -
s s + 
s �" ( + s)n (s + )2 (s + )n-1 (s + )n
1 1 1 n-2 n-1
L[Fn(t)]= - - +L- -
s s + 
(s + )2 (s + )n-1 (s + )n
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 30 z 37
W tablicy przekształceń Laplace a można znalez
ć, że:
tn-1 �" e-�"t
1
jeżeli L[u(t)]= to u(t) = ,
(n -1)!
(s + )n
Ą# ń#
(n -1)! (n -1)!
-1
jeżeli L[g(t)]= to g(t) = tn-1 �" e-�"t , tzn. L = tn-1 �" e-�"t
ó#(s + )n Ą#
(s + )n
Ł# Ś#
Przekształćmy równanie:
1 1 1 n-2 n-1
L[Fn(t)]= - - +L- -
s s + 
(s + )2 (s + )n-1 (s + )n
Tak aby można było zastosować wskazane wcześniej przekształcenie Laplace a.
Otrzymuje się zatem co następuje:
1 0 0! 1 1! 2 2!
L[Fn(t)]= - �" - �" - �" +
s 0! 1! 2!
(s + )1 (s + )2 (s + )3
n-2 (n - 2)! n-1 (n -1)!
+L- �" - �"
(n - 2)! (n -1)!
(s + )n-1 (s + )n
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 31 z 37
Dokonując odwrotnego przekształcenia Laplace a mamy:
Ą#1 0 0!
1 1! 2 2!
Fn(t) = L-1ó# - �" - �" - �" +
Ł#s 0! (s + )1 1! (s + )2 2! (s + )3
ń#
n-2 (n - 2)! n-1 (n -1)!
+L - �" - �"
Ą#
(n - 2)! (n -1)!
(s + )n-1 (s + )n Ś#
Ą#1 0 0!
1 1! 2 2!
Fn(t) = L-1ó# - �" - �" - �" +
Ł#s 0! (s + )1 1! (s + )2 2! (s + )3
ń#
n-2 (n - 2)! n-1 (n -1)!
+L - �" - �"
Ą#
(n - 2)! (n -1)!
(s + )n-1 (s + )n Ś#
Ą# ń#
(2 -1)!
-1
a stąd:
Ą# ń#
(n -1)!
t2-1 �" e-�"t = L
-1
ó# Ą#
tn-1 �" e-�"t = L
ó# Ą#
Ł#(s + )2 Ś#
Ł#(s + )n Ś#
0 1 2 n-2 n-1
Fn(t) = 1- �"t0e-t - �"t1e-t - �"t2e-t +L- �" tn-2e-t - �"tn-1e-t
0! 1! 2! (n - 2)! (n -1)!
i ostatecznie:
n-1
( �" t)r
Fn(t) = 1- �" e-t
"
r!
r=0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 32 z 37
Podstawmy wyznaczoną postać funkcji Fn(t) do nierówności wyjściowej:
Fn(t) d" ą
n-1
( �"t)r
Fn(t) = 1- �" e-t
"
r!
r=0
n-1
( �"t)r
1- �" e-t d" ą
"
r!
r =0
a stąd:
n-1
( �" t)r
�" e-t e" 1-ą
"
r!
r =0
n-1
( �"t)r
e" (1-ą) �"et
"
r!
r=0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 33 z 37
Dane:
 = 2,7 �"10-5
t = 3,0 �"105
ą = 0,05
Rozwiązanie:
n-1
( �"t)r
e" (1-ą) �"et
"
r!
r=0
n-1
-5
e" (1- 0,05) �" e2,7�"10 �"3,0�"105
"(2,7 �"10-5 �"3,0 �"105)r
r!
r=0
r
n-1
"(8,1) e" (1- 0,05) �" e8,1
r!
r=0
r
n-1
"(8,1) e" 3129,75
r!
r=0
Poszukujemy najmniejszej wartości n spełniającą powyższą nierówność.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 34 z 37
n-1
14
r 10 11 12 13
10
0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
(8,1)r
= 2622,00
1 8,100 8,100 8,100 8,100 8,100 "
r!
r=0
3 88,574 88,574 88,574 88,574 88,574
179,361
4 179,361 179,361 179,361 179,361
r
11
5 290,565 290,565 290,565 290,565 290,565
=
"(8,1) 2868,71
6 392,263 392,263 392,263 392,263 392,263
r!
r=0
7 453,905 453,905 453,905 453,905 453,905
459,578
8 459,578 459,578 459,578 459,578
r
12
9 413,621 413,621 413,621 413,621 413,621
=
"(8,1) 3035,23
10 335,033 335,033 335,033 335,033 335,033
r!
r=0
246,706
11 246,706 246,706 246,706
166,526
12 166,526 166,526
r
13
13 103,759 103,759
=
"(8,1) 3138,99
14 60,032
r!
r=0
Suma 2622,00 2868,71 3035,23 3138,99 3199,02
!!!!!!
Na tej podstawie:
r
13
"(8,1) e" 3129,75 A więc: (n-1)=13 a stąd n=13+1=14
r!
r=0
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 35 z 37
Uwaga końcowa
Wynik przeprowadzonych obliczeń wskazuje, że dla zapewnienia ciągłości pracy
lokomotywy, ze względu na uszkodzenia zespołu z.k. e.s.t., na okres czasu
odpowiadający przebiegowi 300 000 km, trzeba przygotować 14 zespołów
wymiennych, a liczba ta będzie wystarczająca z prawdopodobieństwem (1-ą)=0,95.
Dla t = 300 000 km
P(Xt e" 0)
1
" " "
P(Xt e" 10)
P(Xt e" 11)
P(Xt = 14)
P(Xt e"14) = F14(t)
ą =0,05
" " "
0 " " " 10 11 14 " " "
12 13
Liczba uszkodzeń (odnów) n
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 36 z 37
t
P(
X
e"
n
)
PODSUMOWANIE
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY
Modele niezawodnościowe obiektów odnawianych.
Sumaryczny czas pracy obiektu i dystrybuanta sumarycznego czasu pracy
obiektu.
Pojęcie funkcji odnowy.
Przykład 1 zastosowania funkcji odnowy.
Przykład 2 zastosowania funkcji odnowy.
Adam Kadziński
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW ODNAWIANYCH Z ZEROWYM CZASEM ODNOWY 37 z 37