NIEZAWODNOŚĆ
OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
N I E O D N A WI A N E
OBIEKTY TECHNICZNE
NIEZAWODNOŚĆ ?
Opr. Adam Kadziński
ARKUAZ PODR
CZNIKÓW
1. Bobrowski D.: Modele i metody matematyczne teorii niezawodności
w przykładach i zadaniach. WNT, Warszawa, 1985.
2. Inżynieria niezawodności, Por. pod red. J. Migdalskiego, Wyd. ATR
Bydgoszcz i Ośr. Badań Jakości Wyr. "ZETOM", Warszawa 1992.
3. Jaz
wiński J., Ważyńska-Fiok K.: Niezawodność systemów
technicznych. Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1990.
4. Kadziński A.: Niezawodność pojazdów szynowych. Ćwiczenia
laboratoryjne, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań 1992.
5. Karpiński J., Korczak E.: Metody oceny niezawodności dwu-
stanowych systemów technicznych. Wyd. Omnitech Press, Instytut
Badań Systemowych, Warszawa, 1990.
6. Lesiński S.: Projektowanie elementów urządzeń elektrotechnicznych
ze względu na ich niezawodność. Wydawnictwo Uczelniane
Akademii Techniczno-Rolniczej w Bydgoszczy. Bydgoszcz 1996.
7. Migdalski J.: Podstawy strukturalnej teorii niezawodności. Skrypt
Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce, 1978.
8. Niezawodność autobusów. Pod redakcją Anieli Gołąbek.
Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1993.
9. Niezawodność i eksploatacja systemów. Pod redakcją Wojciecha
Zamojskiego. Wyd. Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1981.
10. Poradnik niezawodności. Podstawy matematyczne. Wydawnictwa
Przemysłu Maszynowego  WEMA , Warszawa 1982.
11. Radkowski S., Podstawy bezpiecznej techniki. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003.
12. Słowiński B.: Podstawy badań i oceny niezawodności obiektów
technicznych. Wyd. Uczelniane Wyższej Szkoły Inżynierskiej
w Koszalinie, Koszalin 1992.
13. Żółtowski J.: Podstawy niezawodności maszyn. Wydawnictwa
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1985.
14. Żółtowski J.: Wybrane zagadnienia z podstaw konstrukcji
i niezawodności maszyn. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2004.
Opr. Adam Kadziński
NIEZAWODNOŚĆ OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
NIEZAWODNOŚĆ NIEODNAWIANYCH OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
(2)
PROBABILIPTYCZNE I PTATYPTYCZNE
CHARAKTERYPTYKI NIEZAWODNOŚCIOWE OBIEKTÓW
WprowadzeWie
ProbabilistyczWe charakterystyki fuWkcyjWe
WiezawodWości WieodWawiaWych obiektów
Model obiektów WieodWawiaWych
DefiWicje probabilistyczWych fuWkcyjWych
charakterystyk WiezawodWościowych obiektów
WieodWawiaWych
Związki między fuWkcyjWymi charakterystykami
WiezawodWościowymi obiektów
WieodWawiaWych
Postaci matematyczWe fuWkcyjWych
charakterystyk WiezawodWościowych obiektów
WieodWawiaWych dla wybraWych rozkładów
czasu do uszkodzeWia obiektów
PtatystyczWe charakterystyki fuWkcyjWe
WiezawodWości WieodWawiaWych obiektów
DefiWicje statystyczWych fuWkcyjWych
charakterystyk WiezawodWościowych obiektów
WieodWawiaWych
Przykładowy problem obliczeWiowy
KlasyczWy fuWkcyjWy model WiezawodWościo-
wy obiektów WieodWawiaWych
PodsumowaWie
[e-mail]
Opr. Adam Kadziński
OBIEKTY TECHNICZNE
OdWawialWe
NieodWawialWe
OdWawiaWe
NieodWawiaWe
OBIEKTY TECHNICZNE
NieodWawiaWe
OdWawiaWe
Opr. Adam Kadziński
PROBABILIPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI
FUNKCYJNE NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEC
OBIEKTÓW
1
t 1
O

b
2
t 2
i

e
3
t 3
k
.

.
t
.
.
.
y
.
N
t N

t = 0
t
MATEMATYCZNY MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
T - czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA NIEZAWODNOÅšCI
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEC
OBIEKTÓW
1
t 1
O

b
2
t 2
i

e
3
t 3
k
.

.
t
.
.
.
y
.
N
t N

t = 0
t
T - czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
FUNKCJA NIEZAWODNOÅšCI R(t)
Jest to prawdopodobieństwo tego, że obiekt pracujący nie ulegnie
uszkodzeniu do chwili t, tzn.
R(t)=P(Te"t)
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA ZAWODNOÅšCI
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEC
OBIEKTÓW
1
t 1
O

b
2
t 2
i

e
3
t 3
k
.

.
t
.
.
.
y
.
N
t N

t = 0
t
T - czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
FUNKCJA ZAWODNOÅšCI F(t)
Jest to prawdopodobieństwo tego, że obiekt pracujący ulegnie
uszkodzeniu przed chwilÄ… t, tzn.
F(t)= P(T < t)
Komentarz:
Jeżeli obiekt nie ulegnie uszkodzeniu przed chwilą t, to jest
równoznaczne z uszkodzeniem się obiektu co najmniej w chwili t.
Można więc zapisać, że:
P(T < t) + P(T e" t) =1
P(T < t) =1- P(T e" t)
F(t)=1-R(t) i R(t)=1-F(t)
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA G
PTOÅšCI PRAWDOPODOBIEC
PTWA
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEC
OBIEKTÓW
1
t 1
O

b
2
t 2
i

e
3
t 3
k
.

.
t
.
.
.
y
.
N
t N

t = 0
t t+"t
T - czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
FUNKCJA G
PTOÅšCI PRAWDOPODOBIEC
PTWA f(t)
Jest to iloraz prawdopodobieństwa uszkodzenia obiektu
w przedziale czasu (t, t+"t) i długości przedziału "t, kiedy wielkość
tego przedziału dąży do zera, tzn.
P(t < T d" t + "t)
f(t)=
lim
"t
"t0
Komentarz:
Z definicji funkcji gęstości prawdopodobieństwa czasu do
uszkodzenia, funkcji niezawodności i funkcji zawodności wynika,
że:
t
F(t)=P(T+"f
0
"
R(t)=P(Te"t)= (s) ds
+"f
t
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA INTENPYWNOÅšCI UPZKODZEC

POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEC
OBIEKTÓW
1
t 1

O
2
t 2
b

i
3
t 3
e
.

.
k
.
.
.
t
.
N
t N
y

t = 0
t t+"t
T - czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
FUNKCJA INTENPYWNOÅšCI UPZKODZEC
(t)
Jest to iloraz prawdopodobieństwa uszkodzenia obiektu w
przedziale czasu (t, t+"t) i długości przedziału "t, kiedy wielkość
tego przedziału dąży do zera, przy zachowaniu warunku, że przed
chwilą t uszkodzenie obiektu nie nastąpiło, tzn.
P(t < T d" t + "t)
(t)=
lim
"t Å" P(T e" t)
"t0
Komentarz:
Zależność na funkcję intensywności uszkodzeń można przekształcić
do postaci:
P(t < T d" t + "t)
lim
f (t)
"t
"t0
(t)= =
P(T e" t) R(t)
d
a stÄ…d (t)=- ln R(t)
dt
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA WIOD
CA ROZKA
ADU
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEC
OBIEKTÓW
1
t 1
O

b
2
t 2
i

e
3
t 3
k
.

.
t
.
.
.
y
.
N
t N

t = 0
t
T - czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
FUNKCJA WIOD
CA ROZKA
ADU ›(t)
Jest to skumulowana funkcja intensywności uszkodzeń i wyraża się
zależnością postaci:
t
›(t)= ds
+"(s)
0
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
ZWI
ZKI MI
DZY FUNKCYJNYMI CHARAKTERYPTYKAMI
NIEZAWODNOŚCIOWYMI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
Patrz plik: Matryca_ch_funkcyjnych_przeliczenia
Opr. Adam Kadziński
PTATYPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI FUNKCYJNE
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH (1)
W systemie jednorodnych obiektów technicznych, poddanych
obserwacji w trakcie normalnej eksploatacji, zamontowanych jest Å‚Ä…cznie
N e - tych elementów / obiektów (np. łożyska toczne, koła zębate,
końcówki wtryskiwaczy, tłoki silników, itp.).
W trakcie eksploatacji e - te elementy / obiekty mogą ulegać
uszkodzeniom w kolejnych chwilach czasowych t(1), t(2), ..., t(N). Chwile te
tworzÄ… szereg pozycyjny.
t(1) t(2)
t(3) t(4) t(N)
t0
t1 t2 ti-1
ti
n("ti-1,i)
n("t0,1) n("t1,2)
Rys. 1
nsk(ti)
Schemat ideowy systemu jednorodnych obiektów technicznych oraz
schemat ideowy stanu zaawansowania procesu uszkodzeń e - tych
elementów / obiektów w chwili ti-1, przedstawiono na rys. 2.
1 2 ...
. . .
. . . . . . . . .
e e e
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
ti-1
e e e e e
e
e e e
e
e e
e
e
e e e
e e e
e e
e
e e
e e e e
e e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti 1)
nsk(ti 1)
N
Rys. 2
Opr. Adam Kadziński
PTATYPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI FUNKCYJNE
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH (2)
Schemat ideowy systemu jednorodnych obiektów technicznych oraz
schemat ideowy stanu zaawansowania procesu uszkodzeń e - tych
elementów / obiektów od chwili ti 1 do ti przedstawiono na rys. 3.
1 2 ...
. . .
. . . . . . . . .
e e e
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
ti 1
e e e e e
e
e e e
e e e
e
e
e e e
e e e
e e e
e e
e e e e
e
e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti 1)
nsk(ti 1)
N
ti
e e
e e
e
e e e
e e e
e
e
e e e
e
e e e e
e
e e
e e e e
e
e
e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti)
nsk(ti)
N
Rys. 3
Opr. Adam Kadziński
FORMUA
Y MATEMATYCZNE (1)
PTATYPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI FUNKCYJNE
NIEZAWODNOŚCI NIEODNAWIANYCH OBIEKTÓW
ti-1 ti+1
0 ti
N N N
N
nsk(ti-1) nsk(ti) nsk(ti+1)
0
N nsk(ti+1)
N nsk(ti-1) N nsk(ti)
N
nsk (ti )
Funkcja
Fn (ti )=
zawodności
N
N-nsk (ti )
Funkcja
Rn (ti )=
niezawodności
N
nsk (ti ) - nsk (ti-1)
Funkcja gęstości
fn (ti ) =
prawdopodobieństwa
N Å" "ti-1,i
nsk (ti ) - nsk (ti-1)
Funkcja intensywności
n (ti ) =
uszkodzeń
[N - nsk (ti-1)]Å" "ti-1,i
Opr. Adam Kadziński
FORMUA
Y MATEMATYCZNE (2)
PTATYPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI FUNKCYJNE
NIEZAWODNOŚCI NIEODNAWIANYCH OBIEKTÓW
ti-1 ti+1
0 ti
N N N
N
nsk(ti-1) nsk(ti) nsk(ti+1)
0
N nsk(ti+1)
N nsk(ti-1) N nsk(ti)
N
nsk (ti+1)
Funkcja
Fn (ti+1)=
zawodności
N
N-nsk (ti+1)
Funkcja
Rn (ti+1)=
niezawodności
N
nsk (ti+1) - nsk (ti )
Funkcja gęstości
fn (ti+1) =
prawdopodobieństwa
N Å" "ti,i+1
nsk (ti+1) - nsk (ti )
Funkcja intensywności
n (ti+1) =
uszkodzeń
[N - nsk (ti]Å" "ti,i+1
)
Opr. Adam Kadziński
1 2 ...
. . .
. . . . . . . . .
. . .
e e e
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ti 1
e e e e e
e
e e e
e
e e
e
e
e e e
e e e
e e
e
e e
e e e e
e e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti 1)
nsk(ti 1)
N
ti
e e
e e
e
e e e
e e e
e
e
e e e
e
e e e
e
e
e e
e e e e
e
e
e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti)
nsk(ti)
N
Funkcja niezawodności
N-nsk (ti )
Rn (ti )=
N
Opr. Adam Kadziński
1 2 ...
. . .
. . . . . . . . .
. . .
e e e
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ti 1
e e e e e
e
e e e
e
e e
e
e
e e e
e e e
e e
e
e e
e e e e
e e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti 1)
nsk(ti 1)
N
ti
e e
e e
e
e e e
e e e
e
e
e e e
e
e e e
e
e
e e
e e e e
e
e
e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti)
nsk(ti)
N
Funkcja zawodności
nsk (ti )
Fn (ti )=
N
Opr. Adam Kadziński
1 2 ...
. . .
. . . . . . . . .
. . .
e e e
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ti 1
e e e e e
e
e e e
e
e e
e
e
e e e
e e e
e e
e
e e
e e e e
e e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti 1)
nsk(ti 1)
N
ti
e e
e e
e
e e e
e e e
e
e
e e e
e
e e e
e
e
e e
e e e e
e
e
e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti)
nsk(ti)
N
Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
nsk (ti ) - nsk (ti-1)
fn (ti ) =
N Å" "ti-1,i
Opr. Adam Kadziński
1 2 ...
. . .
. . . . . . . . .
. . .
e e e
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ti 1
e e e e e
e
e e e
e
e e
e
e
e e e
e e e
e e
e
e e
e e e e
e e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti 1)
nsk(ti 1)
N
ti
e e
e e
e
e e e
e e e
e
e
e e e
e
e e e
e
e
e e
e e e e
e
e
e
e
e
e
e e e
N  nsk(ti)
nsk(ti)
N
Funkcja intensywności
uszkodzeń
nsk (ti ) - nsk (ti-1)
n (ti ) =
[N - nsk (ti-1)]Å" "ti-1,i
Opr. Adam Kadziński
FORMUA
Y MATEMATYCZNE (3)
Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
Rn(ti-1)-Rn(ti )
fn(ti )=
"ti-1,i
ale
N-nsk (ti-1) N-nsk (ti )
Rn(ti-1)= , Rn(ti )=
N N
stÄ…d
N-nsk (ti-1) N-nsk (ti )
-
N N
fn(ti )=
"ti-1,i
i ostatecznie
nsk (ti ) - nsk (ti-1)
fn(ti ) =
N Å" "ti-1,i
lub jeżeli przyjmie się, że
n("ti-1,i )=nsk (ti )-nsk (ti-1)
to
n("ti-1,i )
fn (ti ) =
N Å" "ti-1,i
Opr. Adam Kadziński
FORMUA
Y MATEMATYCZNE (4)
Funkcja intensywności
uszkodzeń
Rn(ti-1) - Rn(ti )
n(ti ) =
Rn(ti-1) Å" "ti-1,i
ale
N-nsk (ti-1) N-nsk (ti )
Rn(ti-1)= , Rn(ti )=
N N
stÄ…d
N - nsk (ti-1) N - nsk (ti )
-
N N
n(ti ) =
N - nsk (ti-1)
Å" "ti-1,i
N
i ostatecznie
nsk (ti ) - nsk (ti-1)
n(ti ) =
[N - nsk (ti-1)]Å" "ti-1,i
lub jeżeli przyjmie się, że
n("ti-1,i )=nsk (ti )-nsk (ti-1)
to
n("ti-1,i )
n(ti ) =
[N - nsk (ti-1)]Å" "ti-1,i
Opr. Adam Kadziński
PCHEMAT IDEOWY POZYPKIWANIA INFORMACJI
O UPZKODZENIACH OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH DO WYZNACZANIA
ICH PTATYPTYCZNYCH CHARAKTERYPTYK
FUNKCYJNYCH NIEZAWODNOÅšCI
t(1) t(2)
t(3) t(4) t(N)
t2 ti-1
t1 ti
t0
n("ti-1,i)
n("t0,1) n("t1,2)
nsk(ti)
k tk-1 tk n("tk-1,k) nsk(tk) Rn(tk) fn(tk) n(tk)
1 t0 t1 n("t0,1)
2 t1 t2 n("t1,2)
. . . . . .
i  1 ti 2 ti 1 n("ti-2,i-1) nsk(ti-1)
i ti 1 ti n("ti-1,i) nsk(ti)
i + 1 ti ti+1 n("ti,i+1) nsk(ti+1)
. . . . . .
r tr 1 tr n("tr-1,r)
Opr. Adam Kadziński
PCHEMAT IDEOWY WYZNACZANIA
PTATYPTYCZNYCH CHARAKTERYPTYK
FUNKCYJNYCH NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
k tk-1 tk n("tk-1,k) nsk(tk) Rn(tk) fn(tk) n(tk)
1 t0 t1 n("t0,1)
2 t1 t2 n("t1,2)
. . . . . .
i  1 ti 2 ti 1 n("ti-2,i-1) nsk(ti-1) Rn(ti-1) fn(ti-1) n(ti-1)
i ti 1 ti n("ti-1,i) nsk(ti) fn(ti) n(ti)
Rn(ti)
n("ti,i+1) Rn(ti+1)
i + 1 ti ti+1 nsk(ti+1) fn(ti+1) n(ti+1)
. . . . . .
r tr 1 tr n("tr-1,r)
N-nsk (ti )
Rn(ti )=
N
n("ti-1,i )
fn (ti ) =
N Å" "ti-1,i
n("ti-1,i )
n(ti ) =
[N - nsk (ti-1)]Å" "ti-1,i
Opr. Adam Kadziński
ILUPTRACJE GRAFICZNE
PTATYPTYCZNYCH CHARAKTERYPTYK
FUNKCYJNYCH NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
k tk-1 tk n("tk-1,k) nsk(tk) Rn(tk) fn(tk) n(tk)
1 t0 t1 n("t0,1) nsk(t1) Rn(t1) fn(t1) n(t1)
2 t1 t2 n("t1,2) nsk(t2) Rn(t2) fn(t2) n(t2)
. . . . . . . . . . . .
i  1 ti 2 ti 1 n("ti-2,i-1) nsk(ti-1) Rn(ti-1) fn(ti-1) n(ti-1)
i ti 1 ti n("ti-1,i) nsk(ti) fn(ti) n(ti)
Rn(ti)
i + 1 ti ti+1 n("ti,i+1) nsk(ti+1) Rn(ti+1) fn(ti+1) n(ti+1)
. . . . . . . . . . . .
r tr 1 tr n("tr-1,r) nsk(tr) Rn(tr) fn(tr) n(tr)
FUNKCJA NIEZAWODNOÅšCI
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
FUNKCJA INTENPYWNOÅšCI UPZKODZEC

0,4
0,3
0,0000250
0,2
0,1
0,0000200
0,0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
0,0000150
Czas t * 1000 [km]
0,0000100
FUNKCJA G
PTOÅšCI PRAWDOPODOBIEC
PTWA
0,0000050
0,0000000
0,0000040
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
0,0000035
t
Czas * 1000 [km]
0,0000030
0,0000025
0,0000020
0,0000015
0,0000010
0,0000005
0,0000000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Czas t * 1000 [km]
Opr. Adam Kadziński
R
(
t
)
(
t
)




f
(
t
)
PRZYKA
AD WYZNACZANIA
PTATYPTYCZNYCH CHARAKTERYPTYK
FUNKCYJNYCH NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
Problem badawczy
1.
2.
A
Ä…cznie 100 osi
zestawów kołowych
"
"
"
"
"
"
"
"
w 25 lokomotywach
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
25.
Cztery osie
zestawów kołowych
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
KLAPYCZNY MODEL NIEZAWODNOÅšCIOWY
NIEODNAWIANEGO OBIEKTU TECHNICZNEGO
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEC
OBIEKTÓW
1 t 1
O

b
2
t 2
i

e
3 t 3
k
.

.
t
.
.
.
y
.
t N
N

t = 0
ti-1
ti
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW
FUNKCJA G
PTOÅšCI PRAWDOPODOBIEC
PTWA
n("ti-1,i )
fn (ti ) =
N Å" "ti-1,i
fn(t)
A B C
t
T - czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
ZALEŻNOŚCI MI
DZY PROBABILIPTYCZNYMI FUNKCYJNYMI
CHARAKTERYPTYKAMI NIEZAWODNOÅšCIOWYMI
OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
Opr. Adam Kadziński
ZESTAWIENIE ZALEŻNOŚCI MI
DZY PROBABILISTYCZNYMI FUNKCYJNYMI
CHARAKTERYSTYKAMI NIEZAWODNOŚCIOWYMI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
R(t)
R(t)
F(t)
F(t)
f (t)
f(t)
(t)
(t)
›(t)
›(t)
Opr. Adam Kadziński
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY f(t) a F(t) (1 ?)
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
R(t)
R(t)
1-F(t)
F(t)
F(t)
1-R(t)
dF(t)
f(t)
f (t)
dt
(t)
(t)
›(t)
›(t)
Opr. Adam Kadziński
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY f(t) a F(t) (1 !)
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
R(t)
R(t)
1-F(t)
F(t)
F(t)
1-R(t)
dF((tt)
dF )
f(t)
f (t)
dt
dt
(t)
(t)
›(t)
›(t)
Opr. Adam Kadziński
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY (t) a F(t) (2 ?)
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
R(t)
R(t)
1-F(t)
1-R(t) F(t)
F(t)
dR(t) dF(t)
f(t) -
f (t)
dt dt
d
(t) - ln R(t) (t)
dt
›(t)
›(t)
Opr. Adam Kadziński
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY (t) a F(t) (2 !)
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
R(t)
R(t)
1-F(t)
1-R(t) F(t)
F(t)
dR(t) dF(t)
f(t) -
f (t)
dt dt
dd
d
(t)
ln[1 ( ( )
(t) - ln R(t) -- ln[1--FFt)]t ]
dt dt
dt
›(t)
›(t)
Opr. Adam Kadziński
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY f(t) a (t) (3 !)
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
R(t)
"
t
-+"(u) du
1-F(t)
R(t)  › ( t )
e
+"f (u) du
0
e
t
t
t
-+"(u) du
1-R(t) F(t)
F(t)
+"f (u) du 1-e-›(t)
0
1-e
0
t
dR(t) dF(t) -t(t()ududu
)
-+"
+"
f(t) -
f (t)
0
0
dt dt e
(t()t)Å"Å"e
d d d›(t)
(t)
(t) - ln R(t) - ln[1-F(t)]
dt
dt dt
t
›(t)
+"(u) du ›(t)
0
Opr. Adam Kadziński
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY (t) a f(t) (4 !)
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
"
t
+"f (u) du -+"(u) du
R(t) 1-F(t)
R(t)
e-›(t)
0
t
e
t
t
-+"(u) du
1-R(t) F(t)
F(t)
+"f (u) du 1-e-›(t)
0
1-e
0
dR(t)
t
dF(t) d›(t)
-
-+"(u) du
Å"e-›(t)
f(t)
f (t)
dt
0
(t)Å"e
dt dt
f (t)
f (t)
d d d›(t)
""
(t) - ln R(t) - ln[1-F(t)] (t)
f (u) du
dt dt dt
+"+"f (u) du
t
t
t
›(t)
+"(u) du ›(t)
0
Opr. Adam Kadziński
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY ›(t) a f(t) (5 !)
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
"
t
+"f (u) du -+"(u) du
R(t) 1-F(t)
R(t)
e-›(t)
0
t
e
t
t
-+"(u) du
1-R(t) F(t)
F(t)
+"f (u) du 1-e-›(t)
0
1-e
0
t
dR(t) dF(t) d›(t)
-+"(u) du
f(t) -
Å"e-›(t)
f (t)
0
(t)Å"e
dt dt
dt
d f (t)
- ln R(t)
d d›(t)
"
dt
- ln[1-F(t)] (t)
(t)
dt dt
+"f (u) du
t
t
f (u) du
t
+""
›(t)
0
+"f ( s) ds +"(u) du ›(t)
0
u
Opr. Adam Kadziński
ZESTAWIENIE ZALEŻNOŚCI MI
DZY PROBABILISTYCZNYMI FUNKCYJNYMI
CHARAKTERYSTYKAMI NIEZAWODNOŚCIOWYMI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
R(t) F(t) f(t) (t) ›(t)
"
t
-+"(u) du
R(t) 1-F(t)
R(t)
+"f (u) du e-›(t)
0
e
t
t
t
-+"(u) du
1-R(t) F(t)
F(t)
+"f (u) du 1-e-›(t)
0
1-e
0
t
dR(t) dF(t) d›(t)
-+"(u) du
f (t)
f(t) - Å"e-›(t)
0
(t)Å"e
dt dt dt
f (t)
d d d›(t)
"
(t)
(t) - ln R(t) - ln[1-F(t)]
dt
dt dt +"f (u) du
t
t
f (u) du
t
R(0) 1-F(0)
+""
ln ln
›(t)
+"(u) du ›(t)
0
R(t) 1-F(t)
+"f (s) ds
0
u
Opr. Adam Kadziński