Niezawodność obiektów odnawialnych
Niezawodność obiektów odnawialnych
Ogólnie odnowa obiektu mo\
e być realizowana przez:
Ogólnie odnowa obiektu mo\
e być realizowana przez:
naprawę obiektu,
wymianę na nowy obiekt lub wymianę uszkodzonych
elementów obiektu,
kontrolę, regulację lub smarowanie.
Zadaniem odnowy jest przywrócenie uszkodzonemu
obiektowi, właściwości jakie posiadał przed uszkodzeniem,
obiektowi, właściwości jakie posiadał przed uszkodzeniem,
umo\
liwiających poprawną pracę.
Obiekt odnawialny  to obiekt, który na przemian w
Obiekt odnawialny  to obiekt, który na przemian w
kolejnych przedziałach czasu jest zdatny (pracuje), a w
przypadku uszkodzenia jest odnawiany (naprawiany).
przypadku uszkodzenia jest odnawiany (naprawiany).
Model procesu odnowy z zerowym czasem odnowy
Model procesu odnowy z zerowym czasem odnowy
Chwile uszkodzeń
Chwile uszkodzeń
Chwile uszkodzeń (odnów) obiektu są określone
następująco:
t = T
t1 = T1
t2 = T1 + T2
t2 = T1 + T2
.
.
.
.
t = T + T + & + T
tn = T1 + T2 + & + Tn
Model procesu odnowy z zerowym czasem odnowy
Proces odnowy
Proces odnowy
Proces odnowy z zerowym czasem odnowy analizuję się za
pomocą procesu losowego
0
1
1
(t),
(t), t e"
NN(t), t e" 00
NN(t), t te"e" 0
wyra\
ającego liczbę uszkodzeń (odnów) w przedziale czasu
(0; t).
Wówczas funkcja prawdopodobieństwa uszkodzeń
Wówczas funkcja prawdopodobieństwa uszkodzeń
F(t) = P[N(t)e" n] 2
F(t) = P[N(t)e" n] 2
Model procesu odnowy z zerowym czasem odnowy
Funkcja odnowy
Funkcja odnowy
Funkcja odnowy wyra\
a oczekiwaną liczbę uszkodzeń
(odnów) w przedziale czasu (0; t)
H(t) = E[N(t)], t e" 0.
H(t) = E[N(t)], t e" 0.
3
3
( ) [ ( )]
H(t) = E[N(t)], t e" 0
Dla dostatecznie du\
ych wartości t, gdy t", oszacowaniem
funkcji odnowy jest
funkcji odnowy jest
t
lim H(t) =
lim H(t) =
4
4
t "
ET
Model procesu odnowy z zerowym czasem odnowy
Funkcja gęstości odnowy
Funkcja gęstości odnowy
Je\
eli zmienne losowe Ti opisujące czasy zdatności są
bezwzględnie ciągłe, to w punktach ró\
niczkowalności
bezwzględnie ciągłe, to w punktach ró\
niczkowalności
istnieje pochodna funkcji odnowy, nazywana gęstością
odnowy
odnowy
'
h(t) = H (t)
5
d
h(t) = H(t)
6
dt
dt
d
h(t) = {E[N(t)]}
h(t) = {E[N(t)]}
7
7
dt
dt
Model procesu odnowy z zerowym czasem odnowy
Funkcja gęstości odnowy c.d.
Funkcja gęstości odnowy c.d.
Dla dostatecznie du\
ych wartości t, gdy t", oszacowaniem
funkcji gęstości odnowy jest
1
1
lim h(t) =
8
t "
ET
ET
Funkcję gęstości odnowy mo\
na interpretować jako
Funkcję gęstości odnowy mo\
na interpretować jako
oczekiwaną liczbę uszkodzeń (odnów) w jednostce czasu.
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Chwile uszkodzeń
Chwile uszkodzeń
Chwile uszkodzeń obiektu są określone następująco:
t1 = T1
t  = T  + T  + T 
t2 = T1 + T1 + T2
.
.
.
.
tn = T1 + T1 + T2 + & + Tn
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Chwile odnów
Chwile odnów
Chwile odnów obiektu są określone następująco:
t1 = T1 + T1
t  = T  + T  + T  + T 
t2 = T1 + T1 + T2 + T2
.
.
.
.
tn = T1 + T1 + T2 + & + Tn + Tn
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Proces odnowy
Proces odnowy
Proces odnowy ze skończonym czasem odnowy analizuję się
za pomocą dwóch procesów losowych:
0
13
13
(t),
(t), t e"
NN(t), t e" 00
NN(t), t te"e" 0
wyra\
ającego liczbę uszkodzeń w przedziale czasu (0; t),
M(t), t e" 0
14
M(t), t e" 0
wyra\
ającego liczbę odnów w przedziale czasu (0; t).
wyra\
ającego liczbę odnów w przedziale czasu (0; t).
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Proces odnowy
Proces odnowy
Wówczas:
Wówczas:
1. funkcja prawdopodobieństwa uszkodzeń
F(t) = P[N(t)e" n]
15
2. funkcja prawdopodobieństwa odnowy
( ) = [ ( )e" ]
G(t) = P[M(t)e" m]
16
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Wówczas mo\
na rozpatrywać dwie funkcje:
17
( ) [ ( )]
H(t) = E[N(t)], t e" 0
czyli funkcje odnowy, wyra\
ającą oczekiwaną liczbę
czyli funkcje odnowy, wyra\
ającą oczekiwaną liczbę
uszkodzeń w przedziale czasu (0; t) oraz
18
( ) [ ( )]
I(t) = E[M(t)], t e" 0
o takich samych właściwościach jak funkcja odnowy,
o takich samych właściwościach jak funkcja odnowy,
wyra\
ającą oczekiwaną liczbę odnów w przedziale (0; t).
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Je\
eli zmienne losowe opisujące czasy zdatności Ti oraz
czasy odnowy Ti są bezwzględnie ciągłe, to w punktach
i
ró\
niczkowalności istnieją pochodne funkcji H(t) oraz I(t) czyli
ró\
niczkowalności istnieją pochodne funkcji H(t) oraz I(t) czyli
gęstości tych funkcji:
'
19
h(t) = H (t)
'
( ) = ( )
i(t) = I'(t)
20
gdzie:
gdzie:
h(t)  oczekiwana liczba uszkodzeń w jednostce czasu,
i(t)  oczekiwana liczba odnów w jednostce czasu.
i(t)  oczekiwana liczba odnów w jednostce czasu.
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Z analizy procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
wynika, \
e w dowolnej chwili czasu, liczba uszkodzeń obiektu
wynika, \
e w dowolnej chwili czasu, liczba uszkodzeń obiektu
N(t) jest równa lub o jeden większa od liczby odnów obiektu
M(t).
Dla dostatecznie du\
ych wartości t, mo\
na przyjąć
21
21
( ) ( )
N(t) = M(t), dla t "
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Funkcja odnowy
Funkcja odnowy
Wówczas, dla dostatecznie du\
ych wartości t, gdy t",
oszacowaniem funkcji odnowy jest
lim H(t) = lim E[N(t)]= lim E[M(t)]
22
t " t " t "
t " t " t "
t
lim H(t) =
lim H(t) =
23
23
' "
t "
ET + ET
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Funkcja gęstości odnowy
Funkcja gęstości odnowy
Wówczas, dla dostatecznie du\
ych wartości t, gdy t",
oszacowaniem funkcji gęstości odnowy jest
1
'
lim h(t) = lim H (t) =
24
' "
' "
t " t"
t " t"
ET + ET
ET + ET
gdzie:
gdzie:
ET  wartość oczekiwana czasu zdatności,
ET  wartość oczekiwana czasu odnowy.
ET  wartość oczekiwana czasu odnowy.
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Gotowość funkcjonalna (techniczna)
Gotowość funkcjonalna (techniczna)
Gotowość funkcjonalna Kg(t) obiektu technicznego (OT)  jest
g
to prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, \
e
to prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, \
e
w dowolnej chwili t, OT znajduje się w stanie zdatności
funkcjonalnej.
funkcjonalnej.
Gotowość funkcjonalna OT dotyczy zbioru stanów
Gotowość funkcjonalna OT dotyczy zbioru stanów
eksploatacyjnych, w których OT jest zdatny, zaopatrzony i
mo\
e funkcjonować w przedmiocie zadania, jednak bez
prognozy dotyczącej wystarczalności zasobów i mo\
liwości
prognozy dotyczącej wystarczalności zasobów i mo\
liwości
zachowania zdatności do chwili zakończenia zadania.
Model procesu odnowy ze skończonym czasem odnowy
Gotowość funkcjonalna (techniczna) c.d.
Gotowość funkcjonalna (techniczna) c.d.
Gotowość funkcjonalna jest charakterystyką OT (systemu lub
elementu), mierzoną prawdopodobieństwem tego, \
e OT w
elementu), mierzoną prawdopodobieństwem tego, \
e OT w
dowolnej chwili t jest gotowy do rozpoczęcia zadania.
Gdy wartość t jest dostatecznie du\
a (gdy t"), zamiast
funkcji Kg(t) dogodniej jest posługiwać się asymptotycznym
funkcji Kg(t) dogodniej jest posługiwać się asymptotycznym
współczynnikiem gotowości technicznej
'
'
ET
ET
25
( )
K = lim K (t) =
g g
' "
t "
ET + ET
ET + ET