WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ
NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH
c&
c&
c&
Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH c&
1. Wprowadzenie
Struktura ogólna systemu
Struktura ogólna systemu jest twór obejmujący wszystkie relacje na zbiorze ele-
mentów
E={e1, e2K,en}, (1)
,
które z dowolnego punktu widzenia mogą okazać się przedmiotem zainteresowa-
nia.
Struktury ogólnej systemu nie buduje się w określonej formie. Struktura ogólna
systemu jest to szeroko pojęta wiedza o systemie i elementach ją tworzących. Kla-
syfikację elementów systemów pokazano na rys. 1.
ZBIÓR E ELEMENTÓW
SYSTEMÓW / OBIEKTÓW
ELEMENTY AKTYWNE ELEMENTY PASYWNE
EA EP
Elementy rezerwowe
Elementy podstawowe
ER
EN
Rys. 1. Klasyfikacja elementów systemów (obiektów)
Najczęściej przedmiotem zainteresowania jest pewien wycinek (przekrój) struk-
tury ogólnej. Dokonywanie takich przekrojów pozwala budować m.in. strukturę
funkcjonalną, strukturę niezawodnościową i strukturę diagnostyczną systemów.
c&
Dla potrzeb dydaktycznych  na podstawie literatury przedmiotu  zebrał, opracował
i zredagował Adam Kadziński, e-mail: [e-mail]
2 Adam Kadziński
Struktura funkcjonalna systemu
Strukturę funkcjonalną systemu otrzymuje się ze struktury ogólnej systemu
przez wydzielenie z niej zbioru E .
Zbiór E ‚" E jest podzbiorem zbioru E, którego elementy speÅ‚niajÄ… nastÄ™pujÄ…cy
warunek  być elementem zapewniającym prawidłowe funkcjonowanie systemu.
Struktura funkcjonalna systemu jest to forma połączeń między elementami sys-
temu należącymi do zbioru E zapewniająca jednoznaczną transformację stanów
wejść i stanów wyjść elementów na sposób działania systemu jako całości tak, aby
działanie systemu zapewniało wykonanie jego funkcji lub zapewniało uzyskanie
wyznaczonego celu.
Struktura niezawodnościowa systemu
Strukturę niezawodnościową systemu otrzymuje się ze struktury ogólnej syste-
mu przez wydzielenie z niej zbioru E .
Zbiór E ‚" E jest podzbiorem zbioru E, którego elementy speÅ‚niajÄ… nastÄ™pujÄ…cy
warunek  być elementem aktywnym systemu, to znaczy elementem, którego ist-
nienie w systemie i prawidłowe działanie jest niezbędne do realizacji przez system
wyznaczonych zadań (elementy podstawowe) lub być elementem zdolnym do
przejmowania funkcji działania innego elementu system (elementy rezerwowe), w
przypadku, gdy element ten siÄ™ uszkodzi.
Jest to forma połączeń (sprzężeń) między elementami systemu, która w sposób
jednoznaczny wyznacza niezawodność systemu w zależności od niezawodności
jego elementów. Klasyfikację form połączeń (struktur niezawodnościowych) poka-
zano na rys. 2.
Na niezawodność systemu mają wpływ zarówno niezawodność pojedynczych
elementów jak i rodzaj sieci połączeń tych elementów. Wzrost niezawodności sys-
temu można więc uzyskać przez dobór odpowiedniej konfiguracji połączeń ele-
mentów lub poprzez zwiększenie niezawodności tych elementów.
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 3
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE SYSTEMÓW
PROSTE STRUKTURY ZA
OŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOÅšCIOWE NIEZAWODNOÅšCIOWE
szeregowe struktury niezawod- mostkowe struktury niezawod-
nościowe nościowe
równoległe struktury niezawod- progowe struktury niezawodno-
nościowe ściowe
struktury niezawodnościowe
szeregowo-równoległe struktury
typu siatka
niezawodnościowe
struktury niezawodnościowe
równoległo-szeregowe struktury
typu sieć
niezawodnościowe
struktury niezawodnościowe
typu ściana
struktury niezawodnościowe
typu komin
Rys. 2. Klasyfikacja struktur niezawodnościowych systemów (obiektów)
4 Adam Kadziński
2. Niezawodność systemów o prostych strukturach
niezawodnościowych
2.1. Niezawodność systemów o szeregowych
strukturach niezawodnościowych
Definicja
System (obiekt) o strukturze niezawodnościowej szeregowej jest w stanie zdat-
ności tylko wówczas, gdy wszystkie jego elementy znajdują się w stanie zdatności.
Schemat ideowy systemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej pokazano
na rys. 3.
1 2 n
Rys. 3. Schemat ideowy systemu (obiektu) n-elementowego
o szeregowej strukturze niezawodnościowej
Niech:
Zi  oznacza zdarzenia polegające na tym, że i-ty (i = 1,2,..., n) element syste-
mu (obiektu) znajduje się w stanie zdatności,
Z  oznacza zdarzenie, że system o szeregowej strukturze niezawodnościowej
znajduje się w stanie zdatności.
Przy tak przyjętych oznaczeniach można zapisać, że:
Z = Z1 )" Z2 )",K,)"Zn , (2)
zaś prawdopodobieństwo zdarzenia Z przedstawiają następujące zależności:
P(Z)= P(Z1 )" Z2K,)"Zn)
,
P(Z)= P(Z1 )"(Z )",K,)"Z))
2 n
P(Z)= P(Z1 Z2 )"& )" Zn)Å" P(Z )"& )" Zn)
2
P(Z)= P(Z1 Z2 )"& )" Z)Å" P(Z2 Z3 )"& )" Zn)Å" P(Z3 )"& )" Zn)
n
P(Z)= P(Z1 Z2 )"& )" Zn)Å"(Z2 Z3 )"& )" Zn)Å"(Z3 Z4 )"& )" Zn)Å"& Å" P(Zn)
P P
Jeżeli zdarzenia Zi (i = 1,2,..., n) są zdarzeniami niezależnymi, to prawdopodo-
bieństwo iloczynu tych zdarzeń równe jest iloczynowi ich prawdopodobieństw, wg
zależności:
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 5
n
P(Z )= ) (3)
"P(Zi
i=1
Dodatkowo, jeżeli przyjmie się oznaczenia, takie że: R = P(Z), Ri = P(Zi), to:
n
R= . (4)
"Ri
i=1
gdzie: R  niezawodność systemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej,
Ri  niezawodność i-tego (i = 1,2,..., n) elementu systemu.
Sterowanie niezawodnością systemów o szeregowych strukturach niezawodnościo-
wych
Niech istnieje system (obiekt) 3-elementowy o szeregowej strukturze nieza-
wodnościowej (rys. 4) i o niezawodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3).
Niezawodność takiego systemu wskazuje zależność:
R=R1Å"R2Å"R3
R, "R
1 2 3
R1, "R1 R2, "R2 R3, "R3
Rys. 4. Schemat ideowy systemu (obiektu) 3-elementowego
o szeregowej strukturze niezawodnościowej
Z punktu widzenia sterowania niezawodnością systemu interesującym jest uzy-
skanie odpowiedzi na pytanie  jak zmieni się niezawodność systemu, gdy nieza-
wodności elementów tego systemu zwiększy się o "Ri (i = 1,2,3) (rys. 4). Zatem
R+"R=(R1+"R1)Å"(R2+"R2)Å"(R3+"R3)
"R = -R +(R1 R2 + R1 "R2 + R2 "R1 + "R1 "R2)Å"(R3 + "R3)
"R = -R +(R1 R2 R3 + R1 R3 "R2 + R2 R3 "R1 + R3 "R1 "R2 + R1 R2 "R3 +
+R1"R2"R3+R2"R1"R3+"R1"R2"R3)
"R=R1 R3"R2+R2 R3"R1+R1 R2"R3
Na tej podstawie względny przyrost niezawodności systemu 3-elementowego
o szeregowej strukturze niezawodnościowej wskazuje zależność:
6 Adam Kadziński
"R "R2 "R1 "R3
= + +
R R2 R1 R3
Zależność tę można uogólnić dla systemu n-elementowego o szeregowej struk-
turze niezawodnościowej. Ma ona wtedy postać:
"R "R1 "R2 "Rn
= + +K+
R R1 R2 Rn
Jeżeli założy się, że będzie się zwiększać niezawodność tylko jednego elementu
systemu, np. elementu j-tego, to można zapisać, że:
"Ri=0 dla i = 1,2,3, j-1, j+1,..., n,
i wtedy wzrost niezawodności systemu wyraża zależność:
"R
j
"R=RÅ" . (5)
R
j
Z zależności tej wynika, że dla systemów o niezawodnościowej strukturze sze-
regowej, wzrost ich niezawodności zależy od względnego przyrostu niezawodności
dowolnego elementu, niezależnie od tego czy element jest najsłabszym czy najsil-
niejszym ogniwem.
Oczywistym jest jednak, że łatwiej jest osiągnąć identyczny względny przyrost
niezawodności dla elementu, który jest najsłabszym ogniwem niż dla elementu,
który jest najsilniejszym ogniwem systemu (gdyż dla tego pierwszego bezbłędny
przyrost niezawodności "Rj musi być mniejszy).
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 7
2.2. Niezawodność systemów o równoległych
strukturach niezawodnościowych
Definicja
System (obiekt) o strukturze niezawodnościowej równoległej jest w stanie nie-
zdatności tylko wówczas, gdy wszystkie jego elementy znajdują się w stanie nie-
zdatności.
Schemat ideowy systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej pokaza-
no na rys. 5.
1
2



n
Rys. 5. Schemat ideowy systemu (obiektu) n-elementowego
o równoległej strukturze niezawodnościowej
Niech:
Yi  oznacza zdarzenia polegające na tym, że i-ty (i = 1,2,..., n) element syste-
mu (obiektu) znajduje się w stanie niezdatności,
Y  oznacza zdarzenie, że system o równoległej strukturze niezawodnościowej
znajduje się w stanie niezdatności.
Przy tak przyjętych oznaczeniach można zapisać, że:
Y = Y1 )" Y2 )",K,)"Yn , (6)
zaś prawdopodobieństwo zdarzenia Y przedstawiają następujące zależności:
P(Y)= P(Y1 )"Y2,K,)"Yn)
P(Y)= P(Y1 )"(Y2)",& ,)"Yn))
P(Y)= P(Y1 Y2 )"& )"Yn)Å" P(Y2 )"& )"Yn)
P(Y)= P(Y1 Y2 )"& )"Yn)Å"(Y2 Y3 )"& )"Yn)Å" P(Y3 )"& )"Yn)
P
P(Y)= P(Y1 Y2 )"& )"Yn)Å"(Y2 Y3 )"& )"Yn)Å"(Y3 Y4 )"& )"Yn)Å"& Å" P(Yn)
P P
8 Adam Kadziński
Jeżeli zdarzenia Yi (i = 1,2,..., n) są zdarzeniami niezależnymi, to prawdopodo-
bieństwo iloczynu tych zdarzeń równe jest iloczynowi ich prawdopodobieństw, wg
zależności:
n
P(Y )= ) (7)
"P(Yi
i=1
Dodatkowo, jeżeli przyjmie się oznaczenia, takie że: F = P(Y), Fi = P(Yi), to:
n
F= . (8)
"Fi
i=1
gdzie: F  zawodność systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej,
Fi  zawodność i-tego (i = 1,2,..., n) elementu systemu,
ale
F=1-R i Fi=1-Ri ,
a stÄ…d
n
R=1- ). (9)
"(1-Ri
i=1
gdzie: R  niezawodność systemu o równoległej strukturze
niezawodnościowej,
Ri  niezawodność i-tego (i = 1,2,..., n) elementu systemu.
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 9
Sterowanie niezawodnością systemów o równoległych strukturach niezawodno-
ściowych
Niech istnieje system (obiekt) 3-elementowy o równoległej strukturze nieza-
wodnościowej (rys. 6) i o niezawodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3).
Niezawodność takiego systemu wskazuje zależność:
R=1-(1-R1)Å"(1-R2)Å"(1-R3)
R, "R
R1, "R1
1
R2, "R2
2
R3, "R3
3
Rys. 6. Schemat ideowy systemu (obiektu) 3-elementowego
o równoległej strukturze niezawodnościowej
Z punktu widzenia sterowania niezawodnością systemu interesującym jest uzy-
skanie odpowiedzi na pytanie  jak zmieni się niezawodność systemu, gdy nieza-
wodności elementów tego systemu zwiększy się o "Ri (i = 1,2,3) (rys. 6). Zatem
R+"R=1-[1-(R1+"R1)]Å"[1-(R2+"R2)]Å"[1-(R3+"R3)]
1- R - "R =(1- R1)Å"(1- R2)Å"(1- R3)-(1- R1)Å"(1- R3)"R2 -(1- R2)Å"(1- R3)"R1 +
+(1- R3)"R1 "R2 -(1- R1)Å"(1- R2)"R3 +(1- R1)"R2 "R3 +
+(1-R2)"R1"R3-"R1"R2"R3
Na tej podstawie dla systemu 3-elementowego o równoległej strukturze nieza-
wodnościowej można wykazać, że:
"R "R2 "R1 "R3
= + +
1- R 1- R2 1- R1 1- R3
Zależność tę można uogólnić dla systemu n-elementowego o równoległej struk-
turze niezawodnościowej. Ma ona wtedy postać:
"R "R1 "R2 "Rn
= + +& +
1- R 1- R1 1- R2 1- Rn
10 Adam Kadziński
Często bywa tak, że można oddziaływać tylko na jeden element systemu, np.:
na element j-ty ("Rj > 0). Przy takim założeniu przyrost niezawodności pozosta-
łych elementów jest zerowy, tzn.
"Ri=0 dla i = 1,2,3, j - 1, j + 1,..., n
Wtedy otrzymuje się, że:
"R
j
"R =(1 - R)Å" (10)
1 - R
j
Aby odpowiedzieć na pytanie, na który element systemu o równoległej struktu-
rze niezawodnościowej należy oddziaływać, aby uzyskać maksymalny wzrost jego
niezawodności, rozważmy przykład systemu 3-elementowego, których wyjściowa
niezawodność jest zróżnicowana wg następującej relacji:
R1Obliczmy różnicę w przyroście niezawodności systemu przy podnoszeniu nieza-
wodności elementu pierwszego ("R(1)) i trzeciego ("R(3)). Mamy zatem
ëÅ‚ öÅ‚
"R1 "R3
ìÅ‚
"R(1) - "R(3) =(1- R)Å"ìÅ‚ - ÷Å‚
,
÷Å‚
íÅ‚1- R1 1- R3 Å‚Å‚
a na tej podstawie
"R(1) - "R(3) =(1- R2)Å"[(1- R3)"R1 -(1- R1)"R3] .
Przyjmijmy, że niezawodność elementu pierwszego i trzeciego zwiększy się w tym
samym stopniu k wg zależności:
"R1 "R3
k= = .
R1 R3
Na tej podstawie można zapisać, że:
"R1 = k Å" R1 oraz "R3 = k Å" R3 ,
oraz że:
"R(1) - "R(3) = k(1- R2)Å"[(1- R3)R1 -(1- R1)R3]
Å"
"R(1) - "R(3) = k(1- R2)Å"[R1 - R1 R3 - R3 + R1 R3]
Å"
i ostatecznie
"R(1) - "R(3) = k Å"(1 - R2)Å"(R1 - R3) (11)
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 11
Z relacji (11) wynika, że R1 < R3 Z tego zaś wynika, że R1 - R3 < 0. Wykorzystu-
jąc te spostrzeżenia i zależność (11), można zauważyć, że:
"R(1) - "R(3) < 0
"R(1)<"R(3)
Z przeprowadzonych tu rozważań wynika, że lepsze efekty zwiększenia nieza-
wodności systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej daje poprawa nie-
zawodności elementu o największej niezawodności (tzn. najmocniejszego ogniwa
systemu).
2.3. Niezawodność systemów o szeregowo-równoległych
i równoległo-szeregowych strukturach niezawodnościowych
" Niezawodność systemów o szeregowo-równoległych strukturach niezawodno-
ściowych
m
n j
ëÅ‚ öÅ‚
÷Å‚
Rs-r =1- (12)
"ìÅ‚1-"Rij
ìÅ‚ ÷Å‚
j=1 i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład
R11
R12 R22
Rys. 7. Przykładowy system o strukturze niezawod-
R13 R23
no
Rs-r =1-(1- R11)Å"(1- R12 Å" R22)Å"(1- R13 Å" R23)
" Niezawodność systemów o równoległo-szeregowych strukturach niezawodno-
ściowych
m
n j
ëÅ‚
Rr-s = ( Rij)öÅ‚ (13)
"ìÅ‚1-"1- ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
j=1 i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład
R13
R11 R12
Rys. 8. Przykładowy system o strukturze
R23
niezawodnościowej równoległo-szeregowej
12 Adam Kadziński
Rr-s = R11 Å" R12 Å"(1 -(1 - R13)Å"(1 - R23))
3. Niezawodność systemów o złożonych strukturach
niezawodnościowych
3.1. Uwagi wstępne
Systemami o strukturach niezawodnościowych złożonych przyjęto w teorii
i praktyce niezawodności nazywać systemy nie należące do klasy systemów szere-
gowo-równoległych.
Podstawowym problemem w procesie analizy i syntezy niezawodnościowej sys-
temów o złożonych strukturach niezawodnościowych jest problem obliczania ich
niezawodności. Szczegółowo problem ten przedstawiono w pracy Profesora Janu-
sza Migdalskiego 1.
Do wyznaczania niezawodności systemów o złożonych strukturach niezawod-
nościowych stosuje się tzw. metody dekompozycyjne. W myśl tych metod system
o złożonych strukturach niezawodnościowych dekomponuje się na pewną liczbę
podsystemów o prostych strukturach niezawodnościowych. Metody te różnią się
sposobem dekompozycji systemu o złożonych strukturach niezawodnościowych.
JednÄ… z tych metod jest metoda dekompozycji prostej.
3.2. Metoda dekompozycji prostej obliczania niezawodności systemów
o złożonych strukturach niezawodnościowych
Metoda dekompozycji prostej należy do efektywniejszych metod obliczania
niezawodności systemów o złożonych strukturach niezawodnościowych. Idea tej
metody polega na tym, że system o niezawodnościowej strukturze złożonej zostaje
drogą kolejnych operacji strukturalnych przekształcony na pewną liczbę podsyste-
mów o prostych strukturach niezawodnościowych, tj. podsystemów o strukturach
szeregowych, równoległych, szeregowo-równoległych i równoległo-szeregowych.
Cechą charakterystyczną metody dekompozycji prostej jest to, że dekompozy-
cję n-elementowego systemu o złożonej strukturze niezawodnościowej wykonuje
się zawsze względem jednego odpowiednio wybranego elementu systemu, w wy-
niku czego otrzymuje siÄ™ na dwa podsystemy (n 1)-elementowe nie zawierajÄ…ce
elementu według, którego dokuje się dekompozycji. W przypadku gdy struktury
tak otrzymanych (n 1)-elementowych podsystemów są nadal złożonymi struktu-
1
Migdalski J., Podstawy strukturalnej teorii niezawodności. Skrypt Politechniki Swięto-
krzyskiej nr 57. Kielce, 1978.
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 13
rami niezawodnościowymi, to przeprowadza się ich kolejne dekompozycje dopóty,
dopóki nie otrzyma się podsystemów o strukturach prostych.
3.3. Ogólna formuła wyznaczania niezawodności systemu
Formalnym zapisem algorytmu obliczeń, opierającego się na opisanej wcześniej
metodzie dekompozycji prostej, jest zależność zwana ogólną formułą niezawodno-
ści systemu. Dalej przedstawiono kolejne kroki procedury pozyskania ogólnej for-
muły niezawodności systemu.
Niech istnieje system składający się z n elementów i o dowolnej strukturze nie-
zawodnościowej. Schemat ideowy takiego systemu przedstawia rys. 9a. Niech i-ty
element tego systemu jest elementem według którego odbywa się jego dekompo-
zycja. Po takiej operacji system n-elementowy składa się z dwóch podsystemów
(rys. 9b)  pierwszy z nich jest podsystemem jednoelementowym a drugi jest pod-
systemem (n 1)-elementowym.
a)
SYSTEM
n - elementowy
O DOWOLNEJ
STRUKTURZE
NIEZAWODNOÅšCIOWEJ
b)
Podsystem
(n - 1) - elementowy
Rys. 9. Schemat ideowy systemu n-
i-ty element
elementowego (a) i system n-elementowy po
dekompozycji
14 Adam Kadziński
Przyjmuje się interpretację geometryczną (rys. 10), opis i oznaczenia następują-
cych zdarzeń:
A  zdarzenie, że system n-elementowy znajduje się w stanie zdatności,
Ai  zdarzenie, że i-ty element systemu jest zdatny,
Ai  zdarzenie, że i-ty element systemu jest niezdatny,
I  zdarzenie pewne, tzn. takie które musi wystąpić.
I
Ai
Ai
A
Rys. 10. Interpretacja geometryczna zdarzeń A, Ai,
i, i I
Na podstawie opisanych wcześniej zdarzeń oraz na podstawie rys. 10, można
zapisać następujące tożsamości:
A = I )" A (14)
I = Ai *" A (15)
i
a stÄ…d A =(Ai *" A))" A (16)
i
i A =(Ai )" A)*"(A )" A). (17)
i
Ponieważ zdarzenia (Ai)"A) i (A )"A) są rozłączne (rys. 10), to na podstawie
i
tożsamości (4), prawdopodobieństwo zdarzenia A przedstawia zależność:
P(A)= P(Ai )" A)+(A )" A). (18)
P
i
Ze znanych zależności na prawdopodobieństwa warunkowe postaci:
P(A )" Ai)
P(A Ai)= (19)
P(Ai)
P(A )" A)
i
P(A A)= (20)
i
P(A)
i
i zależności (18) wynika, że:
P(A)=P(Ai)Å"P(A Ai)+P(A)Å"P(A A) (21)
i i
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 15
Dla uproszczenia zapisu przyjmuje się następujące oznaczenia:
Rs(n)=P(A)
Ri =P(Ai)
1-Ri=P(A)
i
Ri(n-1)=P(A Ai)
R((n-1)=P(A A)
i
i)
a na tej podstawie zależność (21) ma postać:
Rs(n)= Ri Å" Ri(n-1)+(1- Ri)Å" R((n-1) (22)
i)
Zależność (22) to postać matematyczna ogólnej formuły niezawodności syste-
mu. W wyznaczonej formule, poszczególnym jej częściom, można nadawać inter-
pretację geometryczną. W myśl takiego podejścia, element na pewno uszkodzony
(Ri = 0) przedstawić można za pomocą  przerwy dla przepływu strumienia infor-
macji lub energii (brak możliwości przepływu), zaś element na pewno zdatny (tzn.
Ri = 1) przedstawia się przez  zwarcie (brak oporu) dla przepływu strumienia
informacji lub energii. W myśl interpretacji geometrycznej, realny element struktu-
ry niezawodnościowej systemu/obiektu przedstawia dla przepływu informacji lub
energii pewną rezystancję (opór), którego miara określona jest na przedziale
0 < Ri < 1.
3.4. Niezawodność systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej
System o strukturze niezawodnościowej mostkowej jest najprostszym systemem
z klasy systemów złożonych. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodno-
ściowej mostkowej (zwanego dalej systemem mostkowym) przedstawiono na
rys. 11.
2
1
5
4
3
Rys. 11. Schemat ideowy systemu o strukturze
niezawodnościowej mostkowej
16 Adam Kadziński
Zgodnie z procedurÄ… obliczeniowÄ…, odbywajÄ…cÄ… siÄ™ z wykorzystaniem formu-
ły (22), dokonuje się dekompozycji systemu mostkowego względem jednego jego
elementu. Dobór elementu do dokonania dekompozycji systemu jest dowolny.
Dalej przyjęto, że system mostkowy będzie dekomponowany względem elementu
piątego (rys. 11). Uwzględniając ten fakt, formułę (22) można zapisać w postaci:
(5
RM)= R5 Å" R5(4)+(1- R5)Å" R((4) (23)
5)
W wyniku dekompozycji systemu mostkowego względem piątego elementu
otrzymuje się m.in. podsystemy 4-elementowe o strukturach niezawodnościowych
przedstawionych na rys. 12. Jeden z nich jest systemem 4-elementowym
o strukturze niezawodnościowej równoległo-szeregowej (rys. 12a), zaś drugi jest
systemem 4-elementowym o strukturze szeregowo-równoległej (rys. 12b).
a) b)
2 1 2
1
3 4 3 4
Rys. 12. Schemat ideowy podsystemów 4-elementowych otrzymanych po dekompozycji
systemu mostkowego z rys. 11 względem jego piątego elementu
Na tej podstawie składowe formuły (23), posiłkując się zależnościami (12)
i (13), przedstawiają się następująco:
R5(4)=(1-(1- R1)Å"(1- R3))Å"(1-(1- R2)Å"(1- R4)) (24)
R((4)=1-(1- R1 R2)Å"(1- R3 R4) (25)
5)
a stąd niezawodność systemu mostkowego przedstawia zależność:
(5
RM)= R5(1-(1- R1)Å"(1- R3))Å"(1-(1- R2)Å"(1- R4))+
Å"
+(1-R5)Å"(1-(1-R1 R2)Å"(1-R3 R4)) (26)
skÄ…d
(5
RM)= R5(R1 + R3 - R1 R3)Å"(R2 + R4 - R2 R4)+
Å"
+(1-R5)Å"(R1 R2+R3 R4-R1 R2 R3 R4) (27)
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 17
a po redukcji wyrażenia (27) otrzymuje się:
(5
RM)= R1 R2 + R3 R4 + R1 R4 R5 + R2 R3 R5 - R1 R2 R4 R5 - R2 R3 R4 R5 +
- R1 R2 R3 R4 - R1 R2 R3 R5 - R1 R3 R4 R5 + 2 R1 R2 R3 R4 R5 (28)
3.5. Niezawodność systemów o progowych
strukturach niezawodnościowych
Definicja
System o progowej strukturze niezawodnościowej jest w stanie zdatności tylko
wówczas, gdy co najmniej k spośród n jego elementów jest w stanie zdatności.
Systemy o progowej strukturze niezawodnościowej w teorii i praktyce nieza-
wodnościowej nazywa się systemami typu  k z n zdatnych elementów.
Warto zauważyć, że systemy o szeregowych i równoległych strukturach nieza-
wodnościowych są szczególnymi przypadkami systemów typu  k z n zdatnych
elementów. System o szeregowej strukturze niezawodnościowej jest systemem
 n z n , zaś system o równoległej strukturze niezawodnościowej jest systemem
 1 z n .
Niezawodność systemu typu  2 z 3 o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 3-elementowy o strukturze niezawodnościowej  2 z 3
(rys. 13) i o niezawodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3). System taki jest
w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej 2 spośród 3 jego elementów są
w stanie zdatności.
 2 z 3
1 2
1 3
Rys. 13. Schemat ideowy systemu o strukturze
2 3
niezawodnościowej  2 z 3
Wyznaczenie niezawodności systemu  2 z 3 , zgodnie z procedurą obliczenio-
wą wykorzystującą formułę (22), dokonuje się dekomponując ten system wzglę-
dem jednego jego elementu. Dobór elementu do dokonania dekompozycji systemu
18 Adam Kadziński
jest dowolny. Dalej przyjęto, że system  2 z 3 będzie dekomponowany względem
elementu drugiego (rys. 13). Uwzględniając ten fakt, formułę (22) można zapisać
w postaci:
(
R"(3) = R2 Å" R22)+(1- R2)Å" R((2) (29)
2z3" 2)
W wyniku dekompozycji systemu  2 z 3 względem drugiego elementu otrzy-
muje siÄ™ podsystemy 2-elementowe. Jeden z nich jest systemem 2-elementowym
o strukturze niezawodnościowej równoległej (gdy element 2-gi jest na pewno zdat-
ny, tzn. R2 = 1), zaÅ› drugi jest systemem 2-elementowym o strukturze szeregowej
(gdy element 2-gi jest na pewno niezdatny, tzn. R2 = 0).
Na tej podstawie składowe formuły (29), posiłkując się zależnościami (4) i (9),
przedstawiają się następująco:
(
R22)= 1-(1- R1)Å"(1- R3) (30)
R((2)= R1 Å" R3 (31)
2)
a stąd niezawodność systemu  2 z 3 przedstawia zależność:
R"(3) = R2(1-(1- R1)Å"(1- R3))+(1- R2)Å" R1 R3 (32)
Å"
2z3"
skÄ…d
R"(3) = R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 - 2Å" R1 R2 R3 (33)
2z3"
Niezawodność systemu typu  2 z 4 o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej  2 z 4
(rys. 14) i o niezawodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3,4). System taki
jest w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej 2 spośród 4 jego elemen-
tów jest w stanie zdatności.
Niezawodność systemu  2 z 4 można wyznaczyć dekomponując system wzglę-
dem elementu czwartego (rys. 14). Uwzględniając ten fakt, formułę (22) można
zapisać w postaci:
(
R"(4) = R4 Å" R43)+(1- R4)Å" R((3) (34)
2z4" 4)
W wyniku dekompozycji systemu  2 z 4 względem czwartego elementu otrzy-
muje siÄ™ podsystemy 3-elementowe. Jeden z nich jest systemem 3-elementowym
o strukturze niezawodnościowej równoległej (gdy element 4-ty jest na pewno zdat-
ny, tzn. R4 = 1), zaÅ› drugi jest systemem 3-elementowym o strukturze typu  2 z 3
(gdy element 4-ty jest na pewno niezdatny, tzn. R4 = 0).
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 19
 2 z 4
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
Rys. 14. Schemat ideowy systemu o strukturze
3 4
niezawodnościowej  2 z 4
Na tej podstawie składowe formuły (34), posiłkując się zależnościami (9), (29) i
(33), przedstawiają się następująco:
(
R43)= 1-(1- R1)Å"(1- R2)Å"(1- R3) (35)
R((3)= R2(1-(1- R1)Å"(1- R3))+(1- R2)Å" R1 R3 (36)
Å"
4)
a stąd niezawodność systemu  2 z 4 przedstawia zależność:
R"(4) = R4(1-(1- R1)Å"(1- R2)Å"(1- R3))+
Å"
2z4"
(37)
+(1-R4)Å"(R2Å"(1-(1-R1)Å"(1-R3))+(1-R2)Å"R1 R3)
skÄ…d
R"(4) = R1 R4 + R2 R4 + R3 R4 - R1 R2 R4 - R1 R3 R4 - R2 R3 R4 +
2z4"
+R1 R2 R3 R4+R1 R2+R2 R3+R1 R3-2Å"R1 R2 R3-
-R1 R2 R4-R2 R3 R4-R1 R3 R4+2Å"R1 R2 R3 R4 (38)
i ostatecznie
R"(4) = R1 R2 + R1 R3 + R1 R4 + R2 R3 + R2 R4 + R3 R4 +
2z4"
-2Å"R1 R2 R3-2Å"R1 R2 R4-2Å"R1 R3 R4-2Å"R2 R3 R4+3Å"R1 R2 R3 R4 (39)
20 Adam Kadziński
Niezawodność systemu typu  3 z 4 o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej  3 z 4
(rys. 15) i o niezawodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3,4). System taki
jest w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej 3 spośród 4 jego elemen-
tów jest w stanie zdatności.
 3 z 4
1 2 3
1 2 4
1 3 4
Rys. 15. Schemat ideowy systemu o strukturze
2 3 4
niezawodnościowej  3 z 4
Niezawodność systemu  3 z 4 wygodnie jest wyznaczać dekomponując system
względem elementu czwartego (ze względu na wyznaczoną wcześniej formułę na
niezawodność systemu typu  2 z 3  formuła (33)). Biorąc to pod uwagę, formu-
łę (22) dla systemu  3 z 4 można zapisać jako:
(
R"(4) = R4 Å" R43)+(1 - R4)Å" R((3) (40)
3z4" 4)
W wyniku dekompozycji systemu  3 z 4 względem czwartego elementu otrzy-
muje siÄ™ podsystemy 3-elementowe. Jeden z nich jest systemem 3-elementowym o
strukturze niezawodnościowej typu  2 z 3 (gdy element 4-ty jest na pewno zdat-
ny, tzn. R4 = 1), zaÅ› drugi jest systemem 3-elementowym o strukturze szeregowej
(gdy element 4-ty jest na pewno niezdatny, tzn. R4 = 0).
Na tej podstawie składowe formuły (40) przedstawiają się następująco:
R((3)= R2 Å"(1 -(1 - R1)Å"(1 - R3))+(1 - R2)Å" R1 R3 (41)
4)
R((3)=R1Å"R2Å"R3 (42)
4)
a stąd ostatecznie niezawodność systemu  3 z 4 przedstawia zależność:
R"(4) = R1 R2 R3 + R1 R2 R4 + R1 R3 R4 + R2 R3 R4 - 3 Å" R1 R2 R3 R4 (43)
3z4"
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 21
Niezawodność systemów typu  k z n o identycznej niezawodności elementów
Niech istnieje system n-elementowy o strukturze niezawodnościowej  k z n i o
identycznej niezawodności elementów R1 = R2 = ... = Rn = R. System taki jest w
stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej k spośród n jego elementów tego
systemu jest w stanie zdatności. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia można
wyznaczyć z zależności:
n
n
n-i
ìÅ‚ ÷Å‚ Å"
R"(n) (R, k, n)= Å" Ri(1- R) (44)
k z n" "ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
i
i=k íÅ‚ Å‚Å‚
Dalej, wykorzystując zależność (44) przedstawiono formuły na niezawodność
wybranych systemów o strukturach niezawodnościowych typu  k z n przy założe-
niu identycznej niezawodności ich elementów:
" niezawodność systemu typu  2 z 3 o identycznej niezawodności elementów
3
3
3-i
ìÅ‚ ÷Å‚ Å"
R"(3) (R,2,3)= Å" Ri(1- R) = 3Å" R2 - 2Å" R3 , (45)
2 z 3" "ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
i
i=2 íÅ‚ Å‚Å‚
" niezawodność systemu typu  2 z 4 o identycznej niezawodności elementów
4
4
4-i
ìÅ‚ ÷Å‚ Å"
R"(4) (R,2,4)= Å" Ri(1- R) = 6 Å" R2 - 8Å" R3 + 3Å" R4 , (46)
2 z 4" "ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
i
i=2 íÅ‚ Å‚Å‚
" niezawodność systemu typu  3 z 4 o identycznej niezawodności elementów
4
4
4-i
ìÅ‚ ÷Å‚ Å"
R"(4) (R,3,4)= Å" Ri(1- R) = 4Å" R3 - 3Å" R4 . (47)
3 z 4" "ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
i
i=3 íÅ‚ Å‚Å‚
22 Adam Kadziński
ZASTOSOWANIE OGÓLNEJ FORMUA
Y WYZNACZANIA
NIEZAWODNOÅšCI SYSTEMU
System szczegółowy:
Wydzielamy element 2 i postępujemy według wzoru:
(
Rs3)= R2(R1 Å"1Å" R3)+(1- R2)Å"(R1 Å"" Å" R3)
Å"
(
Rs3)=R1Å"R2Å"R3
System równoległy:
Wydzielamy element 2 i postępujemy według wzoru:
(
Rs3)= R2[1-(1- R1)(1-1)(1- R3)]+(1- R2)Å"[1-(1- R1)(1- ")(1- R3)]
Å"
Rs(3)= R2(1)+(1- R2)[1-(1- R1)(1- R3)]
Å"
Rs(3)=R2+(1-R2)-(1-R1)(1-R2)(1-R3)
Rs(3)=R2+1-R2-(1-R1)(1-R2)(1-R3)
Rs(3)=1-(1-R1)(1-R2)(1-R3)
ZASADA MAKSYMALNEJ WRAŻLIWOŚCI
Zasada maksymalnej wrażliwości wskazuje nam uwagę na elementy dowolnego
systemu, których poprawa niezawodności daje maksymalną zmianę niezawodności
systemu.
Mając system n-elementowy można wyznaczyć jego niezawodność:
Rs(n)= Ri Å" R((n-1)+(1- Ri)R((n-1)
i) i)
R((n-1)(R1 ,R2 ,...,Ri-1 ,1,Ri+1 ,...,Rn)
i)
R((n-1)(R1 ,R2 ,...,Ri-1",Ri+1 ,...,Rn)
,
i)
Mając niezawodność systemu n-elementowego obliczamy wrażliwości po-
szczególnych elementów systemu, przez liczenie kolejnych pochodnych cząstko-
wych
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 23
üÅ‚
"Rs(n)
= R((n-1)- R((n-1)="(1)ôÅ‚
"R1 1) 1) ôÅ‚
..........................................
ôÅ‚
(
"Rsn) ôÅ‚
= R((n-1)- R((n-1)="(i)żł
"Ri i) i) ôÅ‚
..........................................
ôÅ‚
ôÅ‚
"Rs(n)
= R((n-1)- R((n-1)="(n)ôÅ‚
"Rn n) n) þÅ‚
Następnie w oparciu o uzyskane wartości liczbowe szukamy wartości maksy-
malnej z listy wrażliwości:
"=max{"(1),"(2),...,"(i),...,"(n)}
1ZASTOSOWANIE METODY MAX. WRAŻLIWOŚCI
DLA SYSTEMU O STRUKTURZE SZEREGOWEJ
R=R1Å"R2Å"R3
"R
"(1)= =R2Å"R3=0,8Å"0,9=0,72
"R1
"R
"(2)= =R1Å"R3=0,7Å"0,9=0,63
"R2
"R
"(3)= =R1Å"R2=0,7Å"0,8=0,56
"R3
"=max{"(1),"(2),"(3)}="(1)=0,72
1tzn. że elementem o największej wrażliwości jest element 1-szy.
DLA SYSTEMU O STRUKTURZE RÓWNOLEGA
EJ
R=1-(1-R1)(1-R2)(1-R3)
R=1-[(1-R2)(1-R3)-R1(1-R2)(1-R3)]
R=1-[(1-R1)(1-R3)-R2(1-R1)(1-R3)]
R=1-[(1-R1)(1-R2)-R3(1-R1)(1-R2)]
24 Adam Kadziński
"R
"(1)= =(1- R2)(1- R3)=(1- 0,8)(1- 0,9)= 0,2 Å" 0,1 = 0,02
"R1
"R
"(2)= =(1- R1)(1- R3)=(1- 0,7)(1- 0,9)= 0,3Å" 0,1 = 0,03
"R2
"R
"(3)= =(1- R1)(1- R2)=(1- 0,7)(1- 0,8)= 0,3Å" 0,2 = 0,05
"R3
"=max{"(1),"(2),"(3)}="(3)=0,05
1d"id"3
ZASTOSOWANIE METODY MAKSYMALNEJ WRAŻLIWOŚCI DLA
STRUKTURY ZA
OŻONEJ (MOSTKOWEJ)
(5
RM)= R5[(R1 + R3 - R1 Å" R3)(R2 + R4 - R2 Å" R4)]+
+(1-R5)[R1Å"R2+R3Å"R4-R1Å"R2Å"R3Å"R4]
Badamy wrażliwość:
"RM
"(1)= = R5(R2 + R4 - R2 Å" R4)(1- R3)+(1- R5)(R2 - R2 Å" R3 Å" R4)
"R1
"RM
"(2)= = R5(R1 + R3 - R1 Å" R3)(1- R4)+(1- R5)(R1 - R1 Å" R3 Å" R4)
"R2
"RM
"(3)= = R5(R2 + R4 - R2 Å" R4)(1- R1)+(1- R5)(R4 - R1 Å" R2 Å" R4)
"R3
"R
M
"(4)= = R5(R1 + R3 - R1 Å" R3)(1- R2)+(1- R5)(R3 - R1 Å" R2 Å" R3)
"R4
"R
M
"(5)= = R5(R1 + R3 - R1 Å" R3)(R2 + R4 - R2 Å" R4)-(R1 Å" R2 + R3 Å" R4 - R1 Å" R2 Å" R3 Å" R4)
"R5
"=max{"(1),"(2),"(3),"(4),"(5)}
1d"id"5
Gdyby przyjąć, że elementy struktury mostkowej mają wszystkie tę samą nie-
zawodność Ri = R dla i = 1,2,3,4,5 to
"1 ="2 ="3 ="4 = R(R + R - R Å" R)(1- R)+(1- R)(R - R Å" R Å" R)=
 Wybrane zagadnienia strukturalnej niezawodności systemów ... 25
=(R-R2)(2R-R2)+(1-R)(R-R3)=2R2-R3-2R3+R4+R-R3-R2+R4=
= R + R2 - 4R3 + 2R4
"(5)=(R + R - R Å" R)(R + R - R Å" R)-(R Å" R + R Å" R - R Å" R Å" R Å" R)=
=(2R-R2)(2R-R2)-(R2+R2-R4)=4R2-2R3-2R3+R4-2R2+R4=
= 2R2 - 4R3 + 2R4