1. Elementy składowe i struktura robotów
Manipulatory przemysłowe są zbudowane z członów połączonych przegubami w
otwarty łańcuch kinematyczny. Przeguby te są zazwyczaj obrotowe (rotacyjne) lub
pryzmatyczne (liniowe). Przeguby obrotowe są podobne do zawiasów i umo\
liwiają obrót
jednego członu względem drugiego. Przeguby pryzmatyczne umo\
liwiają ruch liniowy
jednego członu względem drugiego. Będziemy u\
ywać oznaczenia (R) dla przegubu
obrotowego i oznaczenia (P) dla przegubu pryzmatycznego, jak to pokazano na rys. 1. Ka\
dy
przegub reprezentuje wzajemne połączenie dwóch członów, oznaczonych l1 oraz li+1. Oś
obrotu przegubu obrotowego lub oś, wzdłu\
której następuje przemieszczenie w przegubie
pryzmatycznym, oznaczymy przez zi, dla przegubu łączącego człony i, i+1. Zmienna
przegubowa, oznaczona jako �1 dla przegubu obrotowego i jako d, dla przegubu
pryzmatycznego, reprezentuje względne przemieszczenie sąsiednich członów.
Przeguby manipulatora mogą być napędzane elektrycznie, hydraulicznie lub
pneumatycznie. Liczba przegubów determinuje liczbę stopni swobody manipulatora. Zwykle
manipulator powinien mieć co najmniej sześć niezale\
nych stopni swobody: trzy do
pozycjonowania i trzy do orientowania. Przy liczbie stopni swobody mniejszej ni\
sześć
manipulator nie mo\
e osiągnąć ka\
dego punktu w przestrzeni z zadaną orientacją. Niektóre
zadania, takie jak sięganie wokół lub za przeszkodę, wymagają więcej ni\
sześciu stopni
swobody. Wraz ze wzrostem liczby stopni swobody manipulatora gwałtownie rośnie stopień
trudności jego sterowania. Manipulator mający więcej ni\
sześć stopni swobody jest
nazywany manipulatorem kinematycznie redundantnym.
Na rys. 1. Przedstawiono sposób symbolicznego przedstawiania obrotowych
przegubów robota, natomiast na rys. 2  przegubów pryzmatycznych.
Rys. 1. Graficzna reprezentacja przegubów obrotowych robota
Rys. 2. Graficzna reprezentacja przegubów pryzmatycznych robota
Przestrzeń robocza manipulatora jest całkowitym obszarem, do którego sięga jego
końcówka robocza przy pełnych zakresach wszystkich mo\
liwych ruchów manipulatora. Jest
ona ograniczona przez geometrię manipulatora, jak te\
przez mechaniczne ograniczenia
zakresów ruchów w poszczególnych przegubach. Na przykład zakres ruchu przegubu
obrotowego mo\
e być ograniczony do mniej ni\
360�. W przestrzeni roboczej często
wyró\
nia się przestrzeń roboczą osiągalną i przestrzeń roboczą pełnej sprawności. Przestrzeń
robocza osiągalna jest całkowitym zbiorem punktów osiągalnych przez manipulator, podczas
gdy przestrzeń robocza pełnej sprawności składa się z tych punktów, które manipulator mo\
e
osiągnąć z wyznaczoną orientacją końcówki roboczej. Oczywiście przestrzeń robocza pełnej
sprawności jest podzbiorem przestrzeni roboczej osiągalnej.
1.1. Ogólna klasyfikacja kinematyki
Manipulatory przemysłowe są co prawda urządzeniami ogólnego przeznaczenia,
jednak w praktyce zwykle projektuje się je z myślą o pewnej klasie zastosowań, jak np.
spawanie, przenoszenie materiałów lub monta\
. Rodzaj zastosowania w du\
ym stopniu
warunkuje wybór ró\
nych parametrów konstrukcyjnych manipulatora, w tym tak\
e jego
strukturę kinematyczną. Przykładowo monta\
płytek drukowanych jest zadaniem
odpowiednim dla tzw. manipulatorów typu SCARA, podczas gdy tzw. manipulator sferyczny
mo\
e lepiej obsługiwać prasę wykrawającą.
Do klasyfikacji manipulatorów mo\
na stosować ró\
ne kryteria, takie jak ich
geometria, struktura kinematyczna, rodzaj zastosowania, dla którego manipulator został
zaprojektowany, sposób sterowania itp. W tym rozdziale przedstawimy głównie klasyfikację
manipulatorów na podstawie ich geometrii. Dzisiejsze manipulatory mają przewa\
nie sześć
lub mniej stopni swobody. Zwykle są one klasyfikowane kinematycznie, biorąc pod uwagę
ramię lub pierwsze trzy stopnie swobody; kiść jest opisywana osobno. Większość
manipulatorów nale\
y do jednej z pięciu grup typów geometrii: stawowy (RRR), sferyczny
(RRP), SCARA (RRP), cylindryczny (RPP) lub kartezjański, (PPP).
1.1.1. Konfiguracja stawowa (RRR)
Manipulator stawowy jest nazywany równie\
manipulatorem obrotowym lub mani-
pulatorem antropomorficznym. W grupie tej mo\
na wyró\
nić dwa rozwiązania konstrukcyjne.
Pierwsze z nich to manipulator z łokciem (ang. elbow manipulator), którego przykładem jest
przedstawiony na rys. 3 manipulator PUMA.
Rys. 3. Manipulator UNIMATE PUMA 500
Budowę manipulatora z łokciem oraz związane z nim określenia przedstawiono rys. 4,
a na rys. 5 zilustrowano jego przestrzeń roboczą.
Rys. 4. Struktura manipulatora z łokciem
Rys. 5. Przestrzeń robocza manipulatora z łokciem: a) widok z boku, b) widok z góry
Drugie zaś rozwiązanie konstrukcyjne jest strukturą z równoległobokiem i polega ono
na połączeniu kolejnych stopni swobody, tak jak to ma miejsce w modelu T3 735 firmy
Cincinnati Milacron, pokazanym na rys. 6. W tej konstrukcji oś z2 jest równoległa do osi z1, a
obie osie z1 i z2 są prostopadłe do osi Z0.
Konfiguracja manipulatora z łokciem zapewnia stosunkowo du\
o swobody ruchu w
dość zwartej przestrzeni. Natomiast struktura z równoległobokiem, chocia\
najczęściej mniej
zwinna ni\
manipulator z łokciem, ma rónie\
wiele zalet, które czynią ją atrakcyjną i
popularną. Najwa\
niejszą cechą konfiguracji z równoległobokiem jest to, \
e silnik trzeciej osi
jest umieszczony na członie l. Poniewa\
cały cię\
ar silnika obcią\
a człon 1, człony 2 i 3 mogą
być l\
ejsze, a przez to do ich napędzania mogą być u\
yte silniki o mniejszej mocy. Równie\

dynamika manipulatorów równoległobocznych jest prostsza ni\
manipulatorów z łokciem, co
w efekcie daje prostsze sterowanie.
Rys. 6. Manipulator T3 735 firmy Cincinnati Milacron
1.1.2. Konfiguracja sferyczna (RRP)
Jeśli w manipulatorze o konfiguracji stawowej trzeci przegub zastąpimy przegubem
pryzmatycznym, to otrzymamy konfigurację sferyczną pokazaną na rys. 7, a manipulator o tej
konfiguracji będziemy nazywać manipulatorem sferycznym.
Rys. 7. Konfiguracja manipulatora sferycznego
Nazwa tej konfiguracji wywodzi się stąd, \
e współrzędne sferyczne, określające
poło\
enie końcówki roboczej względem układu współrzędnych o początku w przecięciu osi z1
i z2, są takie same, jak trzy pierwsze zmienne przegubowe. Przykładem manipulatora o takiej
konfiguracji jest manipulator Stanforda (rys. 8), którego przestrzeń roboczą przedstawiono na
rys. 9.
Rys. 8. Manipulator Stanforda jako przykład manipulatora sferycznego
Rys. 9. Przestrzeń robocza manipulatora sferycznego
1.1.3. Konfiguracja SCARA (RRP)
Manipulator SCARA (z ang. Selective Compliant Articulated Robot for Assembly czyli
stawowy robot monta\
owy selektywnie podatny) jest ostatnio coraz bardziej popularny. Jak
sama nazwa wskazuje, robot ten został zaprojektowany z myślą o zadaniach monta\
owych.
Chocia\
konfiguracja SCARA ma strukturę RRP, jednak ró\
ni się zdecydowanie od
konfiguracji sferycznej zarówno wyglądem, jak i obszarem zastosowań. W przeciwieństwie
do manipulatora sferycznego Stanforda, forda, który ma osie z0, z1, z2 wzajemnie prostopadłe,
manipulator SCARA ma osie z0, z1, z2 równoległe. Rysunek 10 przedstawia manipulator tego
typu o nazwie AdeptOne, a rys. 11 jego strukturę schematyczną. Przestrzeń robocza
manipulatora SCARA jest zobrazowana na rys.12.
Rys. 10. Widok robota AdeptOne jako przykład manipulatora typu SCARA
Rys. 11. Konfiguracja manipulatora SCARA
Rys. 12. Przestrzeń robocza manipulatora SCARA
1.1.4. Konfiguracja cylindryczna (RPP)
Konfiguracja manipulatora cylindrycznego jest przedstawiona na rys 1-5. Pierwszy
przegub jest obrotowy i wykonuje obrót wokół podstawy, podczas gdy przeguby drugi i trzeci
są pryzmatyczne. Jak sugeruje nazwa, zmienne przegubowe są zarazem współrzędnymi
cylindrycznymi końcówki roboczej względem podstawy.
Na rysunku 13 jest pokazana jest struktura schematyczna takiego robota, na rys. 14
przykładowy robot cylindryczny  GMF M-100, a na rys. 15 jego przestrzeń robocza.
Rys. 13. Konfiguracja manipulatora cylindrycznego
Rys. 14. Robot cylindryczny  GMF M-100
Rys. 15. Przestrzeń robocza manipulatora cylindrycznego
1.1.5. Konfiguracja kartezjańska (PPP)
Manipulator, którego trzy pierwsze przeguby są pryzmatyczne, jest nazywany
manipulatorem kartezjańskim. Jego konfigurację przedstawiono na rys. 16, a przestrzeń
roboczą na rys. 17. Dla manipulatora kartezjańskiego zmienne przegubowe są współrzędnymi
kartezjańskimi końcówki roboczej względem podstawy. Jak mo\
na oczekiwać, opis
kinematyki tego manipulatora jest najprostszy spośród wszystkich konfiguracji. Konfiguracje
kartezjańskie są korzystne w zastosowaniach do monta\
u na blacie stołu oraz do transportu
materiałów lub ładunków (jako robot portalowy).
y
z
l2
l1
l3
x
Rys. 16. Konfiguracja manipulatora kartezjańskiego
Rys. 17. Przestrzeń robocza manipulatora kartezjańskiego
1.1.6. Kiść i końcówka robocza
Pojęcie kiści manipulatora odnosi się do przegubów między ramieniem a dłonią.
Przeguby kiści są prawie zawsze obrotowe. Coraz więcej manipulatorów projektuje się z
kiścią sferyczna, w której osie przegubów przecinają się w jednym punkcie. Manipulatory
Cincinnati Milacron T3 (rys 6) oraz stanfordzki (rys. 8) mają kiście sferyczne o trzech
stopniach swobody.
Na rysunku 18 schematycznie przedstawiono kiść sferyczną. Taka konstrukcja kiści
znacznie upraszcza analizę kinematyki manipulatora oraz ułatwia efektywne rozłączenie
pozycjonowania i orientowania obiektu. Zatem typowy manipulator będzie miał trzy stopnie
swobody określające poło\
enie, które są związane z trzema lub więcej przegubami ramienia.
Liczba stopni swobody określających orientację będzie wtedy zale\
ała od stopni swobody
kiści. W zale\
ności od rodzaju zastosowania dobiera się kiść z jednym, dwoma lub trzema
stopniami swobody. Na przykład robot AdeptOne (rys. 10) ma cztery stopnie swobody; jego
kiść ma tylko obrót wokół ostatniej osi z. Manipulator Cincinnati Milacron T3 735 ma pięć
stopni swobody  kiść ma pochylanie i obrót, ale nie ma ruchu skręcania. Manipulator PUMA
z pełną kiścią o trzech stopniach swobody ma sześć stopni swobody.
Rys. 18. Struktura kiści sferycznej z zaznaczonymi tzw. kątami RPY
Mówi się, \
e robot jest tak dobry, jak dobra jest jego dłoń lub końcówka robocza.
Ramię i kiść, tworzące robota, są u\
ywane przede wszystkim do pozycjonowania końcówki
roboczej i narzędzia, którym robot operuje. Wybór końcówki roboczej lub narzędzia zale\
y
od aktualnie wykonywanej pracy. Najprostszym typem końcówki roboczej jest chwytak,
którego dwa rodzaje pokazano na rys. 19 i rys. 20.
Rys .19. Chwytak szczękowy równoległy
Rys .20. Chwytak z dwoma palcami
Chwytak taki mo\
e wykonywać tylko dwie operacje: otwierania i zamykania.
Wystarczy to do przenoszenia materiałów, operowania częściami lub chwytania prostych
narzędzi, nie nadaje się jednak do realizacji innych zadań, takich jak spawanie, monta\
,
gratowanie itp. Dlatego du\
o prac badawczych jest poświęconych projektowaniu specjalnych
końcówek roboczych oraz narzędzi, które mo\
na szybko zmieniać stosownie do wymagań
wykonywanego zadania. Prowadzi się te\
wiele badań nad rozwojem sztucznej dłoni
antropomorficznej, a więc podobnej do dłoni człowieka. Takie dłonie są opracowywane
zarówno dla zastosowań w protetyce, jak i do wykorzystania w wytwarzaniu. Poniewa\

skoncentrujemy się na analizie i sterowaniu samego manipulatora, a nie na jego szczególnych
zastosowaniach czy końcówkach roboczych, więc nie będziemy dalej omawiać rozwiązań
budowy tych końcówek ani problemów chwytania i manipulacji.
2. Zagadnienia kinematyki prostej i odwrotnej
2.1. Wprowadzenie
Typowy przykład zastosowania manipulatora przemysłowego jest pokazany na rys.
21.
Rys. 21. Robot o sześciu stopniach swobody z narzędziem szlifierskim
Na powy\
szym rysunku manipulator o sześciu stopniach swobody przedstawiono z
narzędziem do gratowania, którym robot usuwa określoną warstwę metalu z powierzchni.
Rozwa\
ając niniejszy przykład skoncentrujemy się na pytaniu: Jakie są podstawowe
zagadnienia do rozwiązania i co musimy wiedzieć w celu zaprogramowania robota do
wykonania opisanego wy\
ej zadania ?
Uzyskanie odpowiedzi na to pytanie dla pełnego manipulatora o sześciu stopniach
swobody jest zadaniem wysoce zło\
onym i niezasadnym do przedstawienia w tym miejscu.
Mo\
emy jednak wykorzystać prosty manipulator płaski o dwóch członach do przedstawienia
głównych zagadnień oraz do wstępnego przeglądu tego tematu.
Rozwa\
my zatem robota o dwóch członach, przedstawionego na rys. 22. Na końcu
manipulatora jest zamontowane narzędzie w rodzaju tarczy szlifierskiej lub tnącej. Załó\
my,
\
e chcemy przemieścić manipulator z jego pozycji bazowej A do poło\
enia B, od którego
robot powinien śledzić kontur powierzchni S a\
do punktu C, ze stałą prędkością i z
utrzymaniem określonej wartości siły docisku F prostopadłej do powierzchni. Przy takim
postępowaniu robot będzie ciął lub szlifował powierzchnię zgodnie z ustalonym powy\
ej
opisem.
Rys. 22. Przykład zastosowanie dwuczłonowego robota płaskiego
2.2. Problem 1  zadanie kinematyki prostej
Pierwszym napotkanym problemem jest opisanie pozycji narzędzia oraz lokalizacji
punktów A i B (a najprawdopodobniej równie\
całej powierzchni S) we wspólnym układzie
współrzędnych. Ró\
ne układy współrzędnych oraz związki między nimi przedstawiono w
dalszym cyklu wykładów.
Najczęściej manipulator rozpoznaje swoją pozycję za pomocą czujników
wewnętrznych (tzn. enkoderów pozycji), które są umieszczone na przegubach l i 2 w celu
bezpośredniego pomiaru kątów (zmiennych przegubowych) �1 i �2. Potrzebujemy zatem
wyrazić pozycje A i B w zale\
ności od tych kątów. Prowadzi to do tzw. zadania kinematyki
prostej, którego istotą jest określenie pozycji i orientacji końcówki roboczej lub narzędzia w
zale\
ności od zmiennych przegubowych.
Przyjęło się ustalać stały układ współrzędnych, nazywany układem odniesienia lub
układem bazowym, względem którego rozpatruje się wszystkie obiekty łącznie z
manipulatorem. W naszym przykładzie przyjmijmy układ bazowy O0x0z0 le\
ący w podstawie
robota, jak to pokazano na rys. 23.
Rys. 23. Układ współrzędnych w dwuczłonowym robocie płaskim
W układzie tym współrzędne (x, y) narzędzia są wyra\
one wzorami
x = a1 cos�1 + a2 cos(�1 + �2) (1)
y = a1 sin�1 + a2 sin(�1 + �2) (2)
Z kolei orientacja układu narzędzia względem układu bazowego jest opisana cosinusami
kierunkowymi osi .x2 i y2 względem osi x0 i y0, czyli
i2 " i0 = 1 � 1 � cos(�1 + �2) = cos(�1 + �2) (3)
i2 " j0 = 1 � 1 � cos[90 - (�1 + �2)] = sin(�1 + �2) (4)
j2 " i0 = 1 � 1 � cos[90 + (�1 + �2)] = -sin(�1 + �2) (5)
j2 " j0 = 1 � 1 � cos(�1 + �2) = cos(�1 + �2) (6)
Zale\
ności te mo\
emy przedstawić w postaci macierzy orientacji
i2i0 j2i0 cos(�1 +�2 ) - sin(�1 +�2 )
�ł łł �ł łł
= (7)
�łi j0 j2 j0 śł �łsin(� +�2 ) cos(�1 +�2 ) śł
�ł 2 �ł �ł 1 �ł
gdzie i0, j0 są standardowymi ortonormalnymi wektorami jednostkowymi w bazowym
układzie współrzędnych, i2, j2 są standardowymi ortonormalnymi wektorami jednostkowymi
w układzie współrzędnych narzędzia.
Wzory (1)-(7) są nazywane równaniami kinematyki prostej. Dla robota o sześciu
stopniach swobody równania te są bardziej skomplikowane i nie da ich się napisać tak łatwo,
jak dla manipulatora dwuczłonowego. Ogólna procedura, którą opiszemy w czasie
póz
niejszych wykładów, ustala układ współrzędnych w ka\
dym przegubie i umo\
liwia
przejście między tymi układami współrzędnych, wykorzystując przekształcenia macierzowe.
Jest ona oparta na konwencji Denavita-Hartenberga. W celu uproszczenia przejścia między
układami współrzędnych zastosujemy współrzędne jednorodne i przekształcenia jednorodne.
2.3. Problem 2  zadanie kinematyki odwrotnej
Teraz, mając dane w przegubach kąty �1 i �2, mo\
emy określić współrzędne x i y
końcówki roboczej. Jednak\
e aby nakazać robotowi ruch do pozycji B, potrzebujemy postąpić
odwrotnie, tzn. znalez
ć zmienne przegubowe �1 i �2 w zale\
ności od współrzędnych x i y w
pozycji B. Jest to tzw. zadanie kinematyki odwrotnej. Innymi słowy, mając współrzędne x i y
w równaniach (2) i (2) kinematyki prostej, chcemy je rozwiązać dla zmiennych
przegubowych. Poniewa\
równania kinematyki prostej są nieliniowe, znalezienie rozwiązania
mo\
e nie być łatwe i w ogólności nie będzie to rozwiązanie jednoznaczne. Na przykład w
przypadku dwuczłonowego mechanizmu płaskiego mo\
e w ogóle nie być rozwiązania, jeśli
dane współrzędne (x, y) są poza zasięgiem manipulatora. Gdy dane współrzędne (x, y)
mieszczą się w zasięgu manipulatora, mogą istnieć dwa rozwiązania, jak to pokazano na rys.
24. Konfiguracje te są określane  łokieć u góry" lub  łokieć u dołu". Mo\
e równie\
istnieć
dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli manipulator musi być całkowicie wyciągnięty w celu
osiągnięcia danego punktu. W pewnym przypadku mo\
e te\
być nieskończenie wiele
rozwiązań.
y0
A
B
A
okieć u góry
x0
A
okieć u dołu
Rys. 24. Rozwiązanie niejednoznaczne kinematyki odwrotnej
Rozwa\
my schemat przedstawiony na rys. 25. Stosując równania cosinusów postaci
c2 = a2 + b2  2ab cos(ł), (8)
mo\
na kąt �2 opisać wzorem
2 2
x2 + y2 - a1 - a2
cos�2 = := D (9)
2a1a2
Teraz mo\
emy przedstawić �2 w postaci
�2 = cos-1(D) (10)
y0
y
a2
c
�2
a1
x0
�1
x
Rys. 25. Wyznaczenie kąta �2 w przegubie drugim dwuczłonowego robota płaskiego
Jednak\
e lepszym sposobem znalezienia kąta �2 jest zauwa\
enie, \
e jeśli cos�2 jest
dany wzorem (9), to sin�2 jest dany odpowiednio wzorem
sin�2 = ą 1- D2 (11)
i stąd mo\
na wyznaczyć
ą 1-D2
�2 = tan-1 (12)
D
Zaletą tego drugiego podejścia jest rozró\
nienie obu konfiguracji  łokieć u góry" i  łokieć u
dołu" przez wybór odpowiedniego znaku w równaniu (12).
Wyznaczenie kąta �1 zrealizujemy w oparciu o rys. 26.
y0
y
a2
c
�2
a1
�ą
��
x0
�1
x
Rys .26. Wyznaczenie kąta �1 w przegubie pierwszym dwuczłonowego robota płaskiego
Jeśli zauwa\
ymy, \
e
�1 = �� - �ą (13)
oraz