Temat wykładu:
Funkcje. Granica funkcji.
Pochodna
Kody kolorów:
\
ółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
kursywa  komentarz
*  materiał nadobowiązkowy
1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Zagadnienia 1/2
1. Przypomnienie: funkcja,
argument, wartość, dziedzina,
zbiór wartości, miejsce zerowe,
wykres, monotoniczność,
ekstremum (globalne)
2
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Zagadnienia 2/2
2. Granica funkcji
3. Pochodna funkcji w punkcie
4. Wzory na pochodne funkcji
elementarnych, reguły
ró\
niczkowania
3
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przypomnienie
4
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
PrzyporzÄ…dkowanie
Zapis
x y
czytamy:
wielkości oznaczonej symbolem x
przyporządkowana jest wielkość
oznaczona symbolem y.
5
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia
W zapisie:
x y
liczby x, y nazywamy zmiennymi:
x  zmienna niezale\
na
y  zmienna zale\
na
6
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Oznaczenia i terminologia cd.
Zapis
g : x y
lub
g
x y
oznacza przyporzÄ…dkowanie
nazwane literÄ… g.
7
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia cd.
Zapis
g : X Y
oznacza, \
e g przyporzÄ…dkowuje
elementom zbioru X elementy
zbioru Y.
8
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja  wprowadzenie
Przyporządkowanie, które spełnia
pewne warunki określone
w definicji nazywamy funkcjÄ….
9
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Definicja funkcji
Niech X ‚" R, Y ‚" R.
Funkcją f określoną na zbiorze X
o wartościach ze zbioru Y
nazywamy przyporzÄ…dkowanie
ka\
dej liczbie
dokładnie
x " X
jednej liczby y "Y .
Ozn.:
f : X Y
10
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja  terminologia
f
f : X Y x çÅ‚çÅ‚ y = f (x)
çÅ‚ y
x  argument funkcji,
x " X
X  dziedzina funkcji
Ustalenie:
D, Df  oznaczenie dziedziny
funkcji f, D ‚" R
11
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja  terminologia cd.
f
f : X Y x çÅ‚çÅ‚ y = f (x)
çÅ‚ y
y = f (x)  wartość funkcji
{ y "Y : istnieje x "X takie,\
e y = f(x) }=YW
YW  zbiór wartości funkcji
YW ‚" Y
Y  przeciwdziedzina funkcji
12
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja  sposoby przedstawienia
13
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja  sposoby przedstawienia
tabelka wykres
Y
x x1 x2 x3
y y1 y2 y3 y1
0 x1 X
wzór
2
x
graf
g(x) =
x1 y1
x - 1
y2
x2
y3
x3
X
Y
14
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wykres funkcji
Wykres funkcji rysujemy
w układzie współrzędnych
kartezjańskich XOY.
Układ tworzą osie liczbowe:

pozioma
OX - oś odciętych

pionowa
OY - oś rzędnych
15
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Definicja wykresu funkcji
Jeśli funkcja f : X Y dana jest
wzorem , to wykresem
y = f ( x )
funkcji w układzie XOY jest zbiór
wszystkich punktów
o współrzędnych (x, y) takich, \
e
x jest argumentem funkcji,
a y jest wartością funkcji dla
argumentu x (y = f(x)).
16
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wykres funkcji
Y y = f (x)
wartości
O
X
argumenty
17
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wykres funkcji  umowa
Na wykresie funkcji:
punkt zaznaczony kropkÄ… nale\
y
do wykresu,
punkt zaznaczony pustym kółkiem
nie nale\
y do wykresu.
18
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wykres funkcji  umowa
y = f (x)
Y
O
X
19
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wykres funkcji  umowa cd.
Gdy na rysunku wykres nie jest
zakończony ani kropką, ani
pustym kółkiem oznacza to, \
e
biegnie dalej.
20
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wykres funkcji  umowa cd.
biegnie dalej
y = f (x)
Y
O
X
biegnie dalej
21
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dziedzina funkcji - umowa
22
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dziedzina funkcji - umowa
Jeśli funkcja dana jest wzorem, to
do jej dziedziny nale\
Ä… wszystkie
liczby, dla których wzór funkcyjny
ma sens.
Przykład. Wyznacz dziedzinę
funkcji danej wzorem
x + 1
f (x) =
x - 1
23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dziedzina funkcji na wykresie
Odczytaj dziedzinÄ™ funkcji y = f (x)
z wykresu.
24
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dziedzina funkcji na wykresie cd.
Y
y = f (x)
a O
X
b
(
D = a ; b *#
25
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wykres funkcji  zadanie
Posługując się wykresem funkcji
y = f (x) zaznacz zbiór wartości.
Zapisz zbiór wartości w postaci
przedziału lub sumy przedziałów.
26
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wykres funkcji  zadanie
y = f (x)
Y
d
O
X
c
YW = (c ; d*#
27
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność funkcji
28
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja rosnÄ…ca  idea
Funkcja f : X Y jest rosnÄ…ca
w przedziale ( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li
większemu argumentowi
z przedziału ( )
a ; b
przyporządkowuje większą
wartość.
29
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja rosnÄ…ca  definicja
Mówimy, \
e funkcja f : X Y
jest rosnÄ…ca w przedziale
( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li
[ x1 < x2 Ò! f(x1) < f(x2) ]
"
x1, x2"(a ; b)
30
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja malejÄ…ca  idea
Mówimy, \
e funkcja f : X Y
jest malejÄ…ca w przedziale
( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li wiÄ™kszemu
argumentowi z przedziału ( )
a ; b
przyporzÄ…dkowuje mniejszÄ…
wartość.
31
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja malejÄ…ca - definicja
Mówimy, \
e funkcja f : X Y
jest malejÄ…ca w przedziale
( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li
[ x1 < x2 Ò! f(x1) > f(x2) ]
"
x1, x2"(a ; b)
32
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Funkcja stała
Mówimy, \
e funkcja f : X Y
jest stała w przedziale
( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li w tym
przedziale jej wartości nie
zmieniajÄ… siÄ™.
33
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność funkcji
Badanie monotoniczności funkcji
polega na ustaleniu, w jakich
przedziałach dziedziny funkcja
rośnie, w jakich maleje, w jakich
jest stała.
34
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Opisz monotoniczność funkcji
y = g(x) na podstawie wykresu.
35
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
Przesuwamy siÄ™ po wykresie w
kierunku rosnących argumentów x ...
36
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1
... dopóki wykres wznosi się do
góry.
37
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1
Taki przebieg wykresu oznacza, \
e
x " (- " ; a1
dla
funkcja jest
rosnÄ…ca.
38
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1 a2
Teraz przesuwamy siÄ™ po wykresie
w kierunku rosnących argumentów
x, dopóki wykres opada w dół.
39
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1 a2
f ( x ) dla x " a1 ; a2
40
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1 a2
f ( x ) Ä™! dla x " a2 ; + ")
41
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Odp.:
f(x) Ä™! dla x "(- "; a1 , x " a2 ; + ")
f (x ) dla x " a1 ; a2
42
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Ekstrema globalne funkcji
43
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Ekstrema globalne funkcji
" minimum globalne (wartość
najmniejsza w dziedzinie)
" maksimum globalne (wartość
największa w dziedzinie)
44
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Minimum globalne  idea
Funkcja f : X Y ma minimum
x " X
globalne w punkcie,
jeśli
0
wartość f (x0) jest najmniejsza ze
wszystkich wartości funkcji
w dziedzinie.
45
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład minimum globalnego
Y
O X
W punkcie x0 = 0 funkcja ma
wartość najmniejszą  minimum
globalne.
46
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Maksimum globalne  idea
Funkcja f : X Y ma maksimum
x " X
globalne w punkcie , jeśli
0
wartość f (x0) jest największa ze
wszystkich wartości funkcji
w dziedzinie.
47
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład maksimum globalnego
Y
O X
W punkcie x0 = 0 funkcja przyjmuje
wartość największą  maksimum
globalne.
48
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 1
Dany jest wzór funkcji
y = f (x) = -2x + 1
dziedzina Df = R
3
zbiór wartości R
2
1 miejsce zerowe x0=0,5
0
f (x)>0 dla x < 0,5
-3 -2 -1 0 1 2 3
f (x)<0 dla x > 0,5
-1
-2
f “! w R
“!
“!
“!
-3
49
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 2
Dany jest wzór funkcji
y = f (x) = x 2 - x - 2
dziedzina Df = R
3
1
zbiór wartości [- 2 ; + "
)
)
[- + "
)
)
[- + "
[- + "
4
2
miejsca zerowe:
1
x1 = -1, x2 = 2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
f “! dla x 0,5
“!
“!
“!
d"
d"
d"
d"
-1
f Ä™! dla x 0,5
Ä™!
Ä™!
Ä™!
e"
e"
e"
e"
-2
minimum
-3
dla xmin=0,5, ymin=-2,25
50
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
51
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Wprowadzenie ...
Niech f : D R , y = f (x )
52
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
0
X
53
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Wprowadzenie ...
Niech f : D R , y = f (x )
Wybieramy punkt x0,
x0 " D lub x0 " D
54
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Rozpatrujemy ciąg argumentów
(xn) dÄ…\
Ä…cy do x0
xn x0
55
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x0
X
56
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x0
X
57
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x2 x0
X
58
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x2 x3 x0
X
59
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x2 x3 x4 ... x0
X
60
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x2 x3 x4 ... x0
X
61
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
y1
x1 x2 x3 x4 ... x0
X
62
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
y4
y3
y2
y1
x1 x2 x3 x4 ... x0
X
63
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Rozpatrujemy ciąg argumentów
(xn) dÄ…\
Ä…cy do x0
xn x0
Rozpatrujemy ciąg wartości
(yn)
inaczej (f (xn)).
64
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Jaka jest granica ciągu wartości
yn ?
f (xn) ?
65
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Jaka jest granica ciągu wartości
yn ?
f (xn) ?
lim f (xn) = ?
n "
66
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Granica funkcji w punkcie x0
Definicja
Niech f : D R , x0  ustalony
(x0 " D lub x0 " D)
punkt, ,
(xn)  dowolny ciąg spełniający
warunki:
1. lim x = x
n
0
n "
xn " D i xn `" x0
2. dla ka\
dego
+
n " N
67
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Granica funkcji w punkcie x0
Je\
eli istnieje granica ciÄ…gu
lim f (x ) = g
wartości funkcji
n
n "
niezale\
na od wyboru ciÄ…gu (xn),
nazywamy jÄ… granicÄ… funkcji f
w punkcie x0 i piszemy
lim f (x) = g
x x0
68
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Granica funkcji w punkcie x0
Jeśli
lim f (x) = + " lub lim f (x) = - "
x x x x
0 0
mówimy, \
e funkcja f ma w
punkcie x0 granicę niewłaściwą.
Ä… "
Ä… "
Ä… "
Ä… "
Uwaga. x0 mo\
e oznaczać
Koniec definicji
69
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
Df = R - { 0 }
3
2 zbiór wartości -{ 0 }
R
1
brak miejsc zerowych
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
granice widoczne
-3
na wykresie
-4
70
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład cd.
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
granica widoczna
3
na wykresie
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
lim = 0
-2
-3 x + "
x
-4
71
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład cd.
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
granica widoczna
3
na wykresie
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
lim" = 0
-2
-3 x -
x
-4
72
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład cd.
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
granica widoczna
3
na wykresie
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
-2
lim = + "
-3
x 0+
x
-4
73
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład cd.
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
granica widoczna
3
na wykresie
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
-2
lim = -"
-
-3
x0
x
-4
74
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
 Pochodna funkcji - idea
75
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Pochodna funkcji - idea
Niech
f : D R, x0 " D,
y = f(x),
Rozpatrujemy:
ciąg argumentów
xn x0
ciąg wartości
f (xn )
f (x )- f (x )
n
0
ciąg ilorazów ró\
nicowych
x - x
n
0
granicÄ™ tego ciÄ…gu ...
76
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Pochodna funkcji  definicja 1/2
Definicja
Niech f : D R , x0 " D,
(xn)  taki ciÄ…g, \
e xn " D dla
+
ka\
dego
oraz
n " N lim xn = x0
n "
Je\
eli istnieje skończona granica
ciągu ilorazów ró\
nicowych
f (xn) - f (x0)
lim
xn x0
xn - x0
77
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Pochodna funkcji  definicja 2/2
niezale\
na od wyboru ciÄ…gu (xn),
to nazywamy jÄ…
pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0
i piszemy
f(xn) - f(x0)
2
f (x0) = lim
xn x0
xn - x0
78
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Pochodna funkcji  komentarz
Z tej definicji oraz twierdzeń
opisujących własności pochodnej
wyprowadza siÄ™ wzory na
pochodne funkcji elementarnych
podane dalej.
79
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Pochodna funkcji  komentarz
Pochodna funkcji jest równie\

pewnÄ… funkcjÄ…. Ni\
ej podano
przykłady zapisu pochodnej.
wzór funkcji wzór pochodnej
2
2
f (x ) = x + 1 f (x ) = 2x
2
g(x ) = ex g (x ) = ex
2
h(x) = 5 h (x ) = 0
80
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Pochodna funkcji - terminologia
Obliczanie pochodnej funkcji f
nazywa się ró\
niczkowaniem
funkcji f.
81
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wzory na pochodne funkcji
f (x) = c
Funkcja stała:
2
f (x ) = 0
Pochodna funkcji stałej:
Konwencja zapisu:
Pochodna funkcji stałej
(c)2 = 0
(1)
82
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wzory na pochodne funkcji cd.
Pochodna funkcji potęgowej
Ä… Ä…-1
( )2 Ä… Å" x
x =
(2)
ą - stała, ą " R
83
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wzory na pochodne funkcji cd.
Pochodna funkcji wykładniczej
(ax )2 = ax Å"lna
(3)
a  stała, a > 0
84
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wzory na pochodne funkcji cd.
Pochodna funkcji logarytmicznej
1
(loga x )2 =
x Å" lna
(4)
a - stała, a > 0, a `" 1
85
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Reguły ró\
niczkowania
2
[a Å" f (x )]2 = a Å" f (x )
(5)
a  stała,
a " R
2 2
[f (x) Ä… g(x)]2 = f (x) Ä… g (x)
(6)
2 2
[ (x)Å" g(x)]2
f = f (x)Å" g(x) + f(x)Å" g (x)
(7)
86
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Reguły ró\
niczkowania
2
2 2
îÅ‚ f (x ) Å‚Å‚ f (x ) Å" g(x ) - f (x ) Å" g (x )
=
ïÅ‚g
(x )śł g2(x )
(8)
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2
{g [f (x )]}2 = g [f (x )]Å" f (x )
(9)
87
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW