Temat wykładu:
Całka nieoznaczona
Kody kolorów:
\
ółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
kursywa  komentarz
*  materiał nadobowiązkowy
1
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Zagadnienia
1. Terminologia i oznaczenia
2. Wzory na całki znanych funkcji
3. Reguły całkowania
4. Przykłady
2
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Idea ró\
niczkowania funkcji
Było:
dana szukana
funkcja pochodna
f f '
ró\
niczkowanie funkcji
(wyznaczanie pochodnej)
Przykład. f (x) = x2, f '(x) = 2x
3
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Idea całkowania funkcji
Teraz:
dana szukana
pochodna funkcja
f ' f
całkowanie funkcji
Przykład. f '(x) = 2x, f (x) = x2
4
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Oznaczenia
Dla poprzedniego przykładu:
dana: f '(x) = 2x, szukana: f (x) = x2
nowy zapis:
dana: g(x) = 2x, szukana: G (x) = x2
5
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Terminologia
dana szukana
g G
funkcja
funkcja
pierwotna
G taka, \
e G' = g
całkowanie funkcji
6
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład
Mo\
na zgadnąć, jaki jest wzór funkcji,
której pochodna dana jest wzorem
g'(x) = 2x.
7
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład
Mo\
na zgadnąć, jaki jest wzór funkcji,
której pochodna dana jest wzorem
g'(x) = 2x.
g (x) = x2
g (x) = x2 + 1
g (x) = x2 - 3,5, itp.
8
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład
Mo\
na zgadnąć, jaki jest wzór funkcji,
której pochodna dana jest wzorem
g'(x) = 2x.
g (x) = x2
g (x) = x2 + 1 funkcja pierwotna
g (x) = x2 - 3,5, itp.
Wynik nie jest jednoznaczny, mo\
na
podać wiele takich funkcji.
9
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Terminologia
RodzinÄ™ funkcji pierwotnych mo\
na
zapisać wzorem x2 + c, c " R.
"
"
"
TÄ™ rodzinÄ™ funkcji pierwotnych
nazywamy całką nieoznaczoną funkcji
g(x)=2x.
10
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Oznaczenia
Zadanie całkowania funkcji:
g(x) G(x), gdzie G'(x)=g(x)
Zapisujemy: g(x) dx = G(x) + c, c " R
+"
funkcja rodzina funkcji
podcałkowa pierwotnych
Czytamy: całka z funkcji g od x po dx
Sprawdzamy: G'(x) = g(x)
11
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 1
Odgadnij i zapisz całkę nieoznaczoną
funkcji f(x) = 2x + 1.
12
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 1 cd.
+"(2x +1)dx = x2 + x + c, c " R
spr.: (x2 + x +c)2 = 2x +1
13
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 2
Odgadnij
(3x2 + 2x)dx
+"
14
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 2 cd.
(3x2 + 2x)dx = x3 + x2 + c, c " R
+"
spr.: (x3 + x2 + c)2 = 3x2 + 2x
15
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
Odgadnij całki. Sprawdz
wyniki.
2
a)
+"3x a dx =
2
b)
+"3x a da =
16
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady cd.
Odgadnij całki. Sprawdz
wyniki.
2
a)
+"3x a dx = x3a + c, c " R
3
2
b)
+"3x a da = 2 x2a2 + c, c " R
17
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Wzory
18
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Wzory
Całka funkcji stałej
+"1 dx = +"dx = x + c, c " R
spr. : (x + c)2 = 1
19
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Wzory cd.
Całka funkcji potęgowej
1
xÄ… dx = xÄ…+1 + c, c " R, Ä… " R -{ - 1 }
+"
Ä… + 1
20
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
21
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
1
x dx = x1 dx = x2 + c, c " R
+" +"
2
1
x2 dx = x3 + c, c " R
+"
3
1
x3 dx = x4 + c, c " R
+"
4
1
1 3
1 2
2 2 2
x dx = x1+ + c = x + c, c " R
+"
1
1 + 3
2
22
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
1 1
x-3 dx = x-3+1 + c = - + c, c " R
+"
- 3 + 1 2x2
23
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Wzory cd.
1
x-1 dx = dx = ln x + c, c " R
+" +"
x
24
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Wzory cd.
Całka funkcji wykładniczej
1
x x
+"a dx = ln a a + c, c " R
25
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
26
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
1
x
+"5 dx = ln 5 5x + c, c " R
1
x x x
+"e dx = ln e e + c = e + c, c " R
27
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Reguły całkowania
f ( x) dx, a  stała, a " R
+"a Å" f ( x) dx = a Å"+"
Krótszy zapis:
f ,
a  stała, a " R
+"a Å" f = a Å"+"
Jeśli funkcja podcałkowa ma postać iloczynu
stałej a i funkcji f(x), to stałą a mo\
na wyłączyć
przed znak całki.
28
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
29
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
+"5 dx = 5 Å" +"1 dx = 5 Å" x + c = 5x + c, c " R
1
( - 3x4)dx = (- 3)Å" x4 dx = (- 3)Å" x5 + c =
5
+" +"
3
= - x5 + c, c " R
5
x
e
x x x
1 1 1
dx = e dx = Å"
3 3 3
+" +" +"e dx = e + c, c " R
3
30
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Reguły całkowania cd.
f (x) dx Ä… g(x) dx
+"[f (x) Ä… g(x)]dx = +" +"
Krótszy zapis:
f Ä… g
+"( f Ä… g) = +" +"
Całka z sumy (ró\
nicy) funkcji f(x) i g(x) jest
równa sumie (ró\
nicy) całek z tych fukcji.
31
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
32
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
2
( )
3x2 + 2x - 5 dx =
+" +"3x dx + +"2x dx - +"5 dx =
1 1
= 3 Å" x3 + 2 Å" x2 - 5 Å" x + c = x3 + x2 - 5x + c,
3 2
c " R
x x
1 1
(4e - )dx = dx =
3 x 3 x
+" +"4e dx - +"
x x
1 1 1
= 4 dx = 4e - ln x + c, c " R
3 x 3
+"e dx - +"
33
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Reguły całkowania cd.
Wzór na całkowanie przez części
2 2
f (x)Å" g(x)dx = f (x)Å" g(x)- f (x)Å" g (x)dx
+" +"
Krótszy zapis:
2 2
f Å" g = f Å" g - f Å" g
+" +"
34
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
35
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 1
x
Oblicz
xe dx
+"
Oznaczamy:
x x
UWAGA. Wyra\
enia zapisane na
2
f (x) = e f (x) = e
białych polach wynikają z przyjętego
oznaczenia, natomiast wyra\
enia na
2 barwnych polach trzeba wyznaczyć
g(x) = x g (x) = 1
samodzielnie.
x x x x x
xe dx = e Å" x -
+" +"e Å"1 dx = xe - e + c, c " R
spr.:...
36
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 2
Oblicz
x ln x dx
+"
Oznaczamy:
1
f ( x) = x2 f 2 (x) = x
2
1
g(x) = ln x
2
g (x) =
x
1 1 1
x ln x dx = x2 Å"ln x - x2 Å" dx =
2 2 x
+" +"
1 1 1 1
= x2 ln x - x dx = x2 ln x - x dx =
2 2 2 2
+" +"
1 1 1 1 1
= x2 ln x - Å" x2 + c = x2 ln x - x2 + c, c " R
2 2 2 2 4
spr.:...
37
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Reguły całkowania cd.
Wzór na całkowanie przez podstawienie
2
f [g(x)]Å" g (x)dx = f (t)dt
+" +"
podst.: g(x) = t
38
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykłady
39
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 1
1
Oblicz całkę
dx
+"
x + 3
1
dt = ln | t | + c
+"
t
Stosujemy podstawienie: x+3 = t
Ró\
niczkujemy stronami:(x+3)x' = (t)t'
1·dx = 1·dt
dx = dt
1 1
dx = dt = ln t + c = ln x + 3 + c, c " R
+" +"
x + 3 t
40
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 2
Oblicz całkę 3x+2 dx
+"
2
t dt = t t + c, c " R
3
+"
Stosujemy podstawienie: 3x+2 = t
Ró\
niczkujemy stronami:(3x+2)x' = (t)t'
3·dx = 1·dt
3·dx = dt
1
dx = ·dt
3
41
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
Przykład 2 cd.
1 1
3x + 2 dx = t Å" dt = t dt =
3 3
+" +" +"
1 2 2
= Å" t t + c = (3x + 2) 3x + 2 + c, c " R
3 3 9
42
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
* Reguły całkowania cd.
Wzór na pochodną logarytmiczną
2
f (x)
dx = ln | f (x) | +c, c " R
+"
f (x)
43
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
* Przykład
2x + 3
Oblicz całkę
dx
+"
x2 + 3x
44
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a
* Przykład
W mianowniku występuje wyra\
enie
f (x) = x2 + 3x
natomiast w liczniku jego pochodna
2
f ( x) = 2 x + 3
KorzystajÄ…c ze wzoru na pochodnÄ…
logarytmicznÄ… otrzymujemy
2x + 3
dx = ln x2 + 3x + c, c " R
+"
x2 + 3x
45
A n n a R a j f u r a , M a t e m a t y k a