Temat wykładu:
Ciąg liczbowy. Granica ciągu
Kody kolorów:
\
ółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
kursywa  komentarz
*  materiał nadobowiązkowy
1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Zagadnienia
1. Przykłady ciągów, definicja ciągu
2. Pojęcie granicy ciągu
3. Ciąg zbie\
ny, rozbie\
ny do "
"
"
"
4. Twierdzenia o granicach ciągów
2
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Idea ciągu
3
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
4
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 1. Ciąg ulubieńców:
1. 2. 3.
5
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 2. Ciąg czynności
wykonywanych podczas robienia
deseru:
1. uło\
yć warstwę biszkoptów
2. posypać kakao
3. nało\
yć warstwę kremu
4. posypać kakao
5. uło\
yć warstwę biszkoptów
6. posypać kakao
7. nało\
yć warstwę kremu
6
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 3a. Ciąg kolejnych liczb
pierwszych mniejszych od 10:
1. 2. 3. 4.
2 3 5 7
ciąg liczbowy skończony
7
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 3b. Dwa ró\
ne ciągi liczb
pierwszych mniejszych od 10:
1. 2. 3. 4.
2 3 5 7
1. 2. 3. 4.
2 5 3 7
8
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 4. Ciąg kolejnych liczb
parzystych dodatnich
1. 2. 3. 4. ...
2 4 6 8 ...
ciąg liczbowy nieskończony
9
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wprowadzenie do definicji ciągu
Określenie ciągu:
1. 2. 3. ...
A B C ...
10
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Definicja ciągu (1a)
Jeśli ka\
dej z liczb naturalnych:
1, 2, 3, ...
została przyporządkowana
dokładnie jedna liczba
rzeczywista, to został określony
ciąg (nieskończony) tych liczb
rzeczywistych.
11
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Definicja ciągu (1b)
Jeśli ka\
dej z liczb naturalnych:
1, 2, 3, ..., m
została przyporządkowana
dokładnie jedna liczba
rzeczywista, to został określony
ciąg (skończony) tych liczb
rzeczywistych.
12
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i oznaczenia
1. 2. 3. ...
a1 a2 a3 ...
Je\
eli liczbom naturalnym
1, 2, 3, ...
przyporządkowano liczby
a1, a2, a3, ...
to został określony ciąg, który
oznaczamy: (an ) lub {an }.
13
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i oznaczenia
a1  1-szy wyraz ciągu
a2  2-gi wyraz ciągu
itd.
an  n-ty wyraz ciągu
14
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia na przykładzie
an = n 2+1
indeks wyrazu
an  wyraz ogólny ciągu
Czytamy:
ciąg o wyrazie ogólnym n 2+1
15
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
16
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 1.
1
an =
n
17
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 1.
1
an =
n
n 1 2 3 4 ...
an 0



an 1 1/2 1/3 1/4 ...
18
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 1.
1
an =
n
n 1 2 3 4 ...
an 0



an 1 1/2 1/3 1/4 ...
an 0, gdy n "
"
"
"
19
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 1 - wykres
20
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 1 - wykres
1
n 1 2 3 4
an =
n
an 1 1/2 1/3 1/4
1,5
a
n
1
0,5
0
0 1 2 3 4 5
n
an 0, gdy n "
"
"
"
21
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 2.
an = n
22
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 2.
an = n
n 1 2 3 4 ...
an 1 2 3 4 ...
an ", gdy n "
" "
" "
" "
23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 2 - wykres
n 1 2 3 4
an = n
an 1 2 3 4
5
4
a
n
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
n
an + ", gdy n "
+ " "
+ " "
+ " "
24
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 3.
an = (-1)n+1 �" n
25
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 3 - wykres
n 1 2 3 4
an = (-1)n+1 �" n
an 1 - 2 3 - 4
3
a
n
2
1
0
-1
0 1 2 3 4 5 6
-2
-3
n
-4
an ?
26
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia na przykładzie
Zapis:
an 0
znaczenie:
wyrazy an zbli\
ają się do 0
czytamy:
ciąg (an) dą\
y do 0
27
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia na przykładzie
Zapis:
an 0
znaczenie:
wyrazy an zbli\
ają się do 0
czytamy:
ciąg (an) dą\
y do 0
wartość graniczna, granica
28
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia na przykładzie
Zapis:
an 0
znaczenie:
wyrazy an zbli\
ają się do 0
czytamy:
ciąg (an) dą\
y do 0
lub
granicą ciągu (an) jest liczba 0
29
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Oznaczenia na przykładzie
Zapis:
an 0
czytamy:
granicą ciągu (an) jest liczba 0
limes (łac.)  granica
30
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Oznaczenia na przykładzie
Zapis:
an 0
czytamy:
granicą ciągu (an) jest liczba 0
limes (łac.)  granica
zapis:
liman = 0
n "
31
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica ciągu  oznaczenia
Ogólniej:
an g
czytamy:
granicą ciągu (an) jest liczba g
zapis:
liman = g
n "
32
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica ciągu 
przedstawienie graficzne
33
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Definicja granicy ciągu
*
*
*
Dla danego ciągu (an )
def
liman = g �! an - g < �
" " "
n"
+
�>0 n>k
k"N
34
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów
35
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów
1
(1)
lim = 0
=
=
=
n
n "
"
"
"
(2)
lim c = c, c = const, c " R
= = "
= = "
= = "
n "
"
"
"
36
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i przykłady
Gdy granicą ciągu jest liczba
skończona, to mówimy, \
e ciąg
ma granicę właściwą.
Ciąg taki nazywamy zbie\
nym.
Przykłady:
1
a) an =
n
b) bn = 2
37
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
 Ciąg dą\
ący do "
"
"
"
38
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Definicja ciągu dą\
ącego do + "
* "
* "
* "
Dla danego ciągu (an )
def
liman = + " �! an > M
" " "
n"
+
M"R n>k
k"N
39
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Definicja ciągu dą\
ącego do - "
* "
* "
* "
Dla danego ciągu (an )
def
liman = - " �! an < M
" " "
n"
+
M"R n>k
k"N
40
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów
(3)
lim n = + "
= + "
= + "
= + "
n "
"
"
"
(4)
(- ) - "
(- )
(- ) - "
(- ) - "
lim n = - "
=
=
=
n "
"
"
"
41
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i przykłady
Gdy granicą ciągu jest + " lub  ",
+ "  "
+ "  "
+ "  "
to mówimy, \
e ciąg ma granicę
niewłaściwą.
Ciąg taki nazywamy rozbie\
nym
do + " lub  ".
+ "  "
+ "  "
+ "  "
Przykłady:
a) an = n
b) bn = -n
= -
= -
= -
42
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i przykłady
Gdy granica ciągu nie istnieje, to
mówimy, \
e ciąg jest rozbie\
ny.
Przykłady:
n+1
a) an = (- 1) �" n
n
b) bn = (-1)
43
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów
(5)
lim nk = + " , gdy k > 0
n "
(6)
lim kn = + " , gdy k > 1
n "
(7)
lim kn = 0 , gdy k < 1
n "
44
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Twierdzenia o granicach ciągów
*
*
*
Ogólniej:
lim an k = + " , gdy an + " , k > 0 (8)
= + " + " >
= + " + " >
= + " + " >
n "
"
"
"
an
lim k = + " , gdy an + " , k > 1 (9)
= + " + " >
= + " + " >
= + " + " >
n "
"
"
"
an
lim k = 0 , gdy an + " , k < 1 (10)
= + " <
= + " <
= + " <
n "
"
"
"
45
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów
n
1
lim (1+ ) = e
(11)
n
n "
Ogólniej:
an
1
( )
( )
( )
( )
lim 1+ = e , gdy an + "
+ = + "
+ = + "
+ = + "
(12)
an
n "
"
"
"
46
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o ciągach zbie\
nych
liman = a , limbn = b
Je\
eli
oraz a, b
n " n "
są skończone, to:
(13)
lim(an + bn) = a + b
+ = +
+ = +
+ = +
n "
"
"
"
47
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o ciągach zbie\
nych
liman = a , limbn = b
Je\
eli
oraz a, b
n " n "
są skończone, to:
(14)
lim (an - bn) = a - b
- = -
- = -
- = -
n "
"
"
"
48
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o ciągach zbie\
nych
liman = a , limbn = b
Je\
eli
oraz a, b
n " n "
są skończone, to:
(15)
lim (an �" bn) = a �" b
�" = �"
�" = �"
�" = �"
n "
"
"
"
49
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o ciągach zbie\
nych
liman = a , limbn = b
Je\
eli
oraz a, b
n " n "
są skończone, to:
an
a
= , gdy bn `" 0 oraz b `" 0 (16)
lim = `" `"
= `" `"
= `" `"
"
"
"
"
n " +
"
" +
" +
bn b
n " N+
"
"
"
50
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Twierdzenie o trzech ciągach
*
*
*
Je\
eli
lim a = g , lim c = g , an d" bn d" cn,
n n
n " n "
to:
(17)
lim bn = g
n "
51
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Tw. o ciągach rozbie\
nych do "
"
"
"
to
liman = + " , limbn = + " ,
Je\
eli
n " n "
lim(a + bn) = + "
(18)
n
n "
Je\
eli liman = - " , limbn = - " , to
n " n "
lim (an + bn) = - "
(19)
n "
52
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Tw. o ciągach rozbie\
nych do "
"
"
"
Je\
eli liman = + " , limbn = b,
n " n "
lim(an + bn) = + "
b - skończona, to
(20)
n "
Je\
eli liman = - " , limbn = b ,
n " n "
b - skończona, to (21)
lim (an + bn) = - "
n "
53
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Tw. o ciągach rozbie\
nych do "
"
"
"
Je\
eli
a  skończona
lim a = a,
n
n "
i a `" 0 , oraz to (22)
lim bn = ą " ,
n "
znak zgodny z regułą znaków
lim(a �" bn)= ą "
n
n "
Je\
eli
a  skończona,
lim an = a,
n "
an
to lim = 0 (23)
lim bn = ą" ,
n "
n "
bn
54
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW