RACHUNEK CAA
KOWY
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona
f : I R.
I
Niech oznacza dowolny przedział i
Definicja (funkcji pierwotnej)
I,
Funkcję nazywamy funkcją pierwotną funkcji na przedziale
F f
f
jeżeli pochodna funkcji F jest równa funkcji na tym przedziale,
czyli F'(x) f (x), dla x I.
I a,b lub I a,b) lub I (a,b ,
Jeżeli to przez pochodną
f a b
funkcji w punktach oraz rozumiemy odpowiednio pochodne
F' (a) oraz F' (b).
jednostronne
Twierdzenie
f na
Jeżeli jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji
F
C
I,
przedziale natomiast jest dowolną stałą, to wszystkie funkcje
F(x) C dla x I
postaci i tylko takie funkcje są funkcjami
pierwotnymi funkcji f na przedziale I.
Definicja (całki nieoznaczonej)
I
f
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji na przedziale
I
f
nazywamy całką nieoznaczoną funkcji na przedziale
C
i zapisujemy
f (x)dx F(x) C lub f (x)dx F(x),
F
gdzie oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji f ,
C
dx
jest dowolną stałą, natomiast wskazuje zmienną całkowania.
Definicja
Funkcję, dla której istnieje całka nieoznaczona na pewnym
przedziale nazywamy funkcją całkowalną na tym przedziale.
Twierdzenie (warunek wystarczający całkowalności)
Jeżeli funkcja jest ciągła na pewnym przedziale, to jest funkcją
całkowalną na tym przedziale.
Wyznaczanie całki nieoznaczonej danej funkcji nazywa się
całkowaniem tej funkcji. Całokształt zagadnieo z tym związanych
nosi nazwę rachunku całkowego.
Wzory bezpośrednie rachunku całkowego
1. 0dx C, C const,
1
x
C, gdy 1
2. x dx
1
ln x C, gdy 1,
3. exdx ex C,
ax
4. axdx C, gdy a 0 a 1,
ln a
5. sin xdx cos x C,
6. cos xdx sin x C,
1
7. dx ctgx C,
sin2 x
1
8. dx tgx C,
cos2 x
1
9. dx arctgx C arcctgx C1,
1 x2
1
10. dx arcsin x C arccosx C1,
1 x2
Własności całki nieoznaczonej
Twierdzenie
f I,
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna na przedziale
to
f '(x)dx f (x) C dla x I.
Twierdzenie
I,
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale
to ( f (x)dx)' f (x) dla x I.
Twierdzenie
I,
Jeżeli funkcje oraz g są całkowalne na przedziale to funkcja
f
g
f jest też całkowalna na przedziale I i przy tym
( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx dla x I.
Twierdzenie
I
f k
Jeżeli funkcja jest całkowalna na przedziale i jest pewną
k f
stałą, to funkcja jest też całkowalna na tym przedziale i przy
k f (x)dx k I.
tym f (x)dx dla x
Metody całkowania
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie (lub zamianę
zmiennej))
Jeżeli
I,
1. funkcja jest ciągła na przedziale
f : I R
g : J I J,
2. funkcja jest klasy C 1 na przedziale
to
f (g(x)) g'(x)dx f (t)dt, gdzie t g(x).
Przykład
2
2 x2 1
e2x 1 4xdx etdt (et C) e C,
t 2x2 1 t 2x2 1
2
gdyż t g(x) 2x2 1, g'(x) 4x, f (t) et , f (g(x)) g'(x) e2x 1 4x.
Sposób praktycznego stosowania wzoru na całkowanie przez
podstawienie: t
x
x
C C
e 1
x t x
1 dx 2e .
dx e dx dt et 2dt 2e
x x 2 x
1
dx 2dt
x
Wzory uzyskane przy pomocy całkowania przez podstawienie
f '(x)
dx ln f (x) C, gdy f (x) 0,
f (x)
f '(x)
dx 2 f (x) C, gdy f (x) 0
f (x)
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
f C1
Jeżeli funkcje oraz są klasy na przedziale I , to na tym
g
przedziale prawdziwy jest wzór (zwany wzorem na całkowanie przez
części):
f (x) g'(x)dx f (x) g(x) f '(x) g(x)dx.
g
Dowód Funkcje oraz są klasy
I
f
C1 na przedziale , więc
[ f (x) g(x)]' f '(x) g(x) f (x) g'(x).
x I
I
Całkując obustronnie powyższą równośd na przedziale otrzymamy
f (x) g(x) C [ f '(x) g(x) f (x) g'(x)]dx.
Zatem
f (x) g'(x)dx f (x) g(x) f '(x) g(x)dx C,
co w równoważny sposób
f (x) g'(x)dx f (x) g(x) f '(x) g(x)dx,
można zapisad w postaci
gdyż występuje w całkach nieoznaczonych po obu stronach równości
C
Całkowanie ułamków prostych
I  go rodzaju
ax b t
C
A 1
n n
dx A (ax b) dx adx dt A t dt
(ax b)n a
1
dx dt
a
n 1 n 1
t (ax b)
C C
A A
dla n 1 dla n 1
n 1 n 1
a a
ln t dla n ln ax b dla 1
1 n .
II  go rodzaju
x
t
dx 1 1 k dt
A.
dx
k
2
x
x2 k k k t 1
( )2 1
dx k dt
k
k k x
arctgt C arctg C, gdzie k 0.
k k
k
Zatem
dx k x
arctg C, gdzie k 0.
x2 k k
k
Ax B 2ax b dx
B.
dx A1 dx A2 ,
ax2 bx c ax2 bx c ax2 bx c
A1 oraz A2
gdzie natomiast
b2 4ac 0, a 0, A2 B2 0,
Ax B A1(2ax b) A2.
są tak dobranymi stałymi, że
C.
Ax B
dx, gdzie b2 4ac 0, a 0, A2 B2 0, n N -{1}
(ax2 bx c)n
Wykorzystujemy wzór rekurencyjny
dx 1 x 2n 3
Jn Jn 1, n 2,3,...
(x2 k)n 2k(n 1) (x2 k)n 1 2k(n 1)
Całkowanie dowolnych funkcji wymiernych
Aby scałkowad dowolną funkcję wymierną należy ją przedstawid
w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych, a następnie
scałkowad składniki tego rozkładu.
Całkowanie wybranych funkcji niewymiernych
R(x, p (x), p3(x),..., pn(x))dx, przy czym R
I. Całki typu 2 oznacza funkcję
k
h(x)
wymierną swoich argumentów, natomiast pk (x) dla
ax b
k 2,3,..., n, gdzie h(x) x lub h(x) ax b lub h(x) .
cx d
N
Stosując podstawienie , gdzie
h(x) t
N NWW(2,3,..., n)
sprowadza się rozważane całki do całek z funkcji wymiernych.
dx
II. Całki typu Korzystamy z wzorów:
, gdzie a 0 0.
ax2 bx c
A.
x
t
dx 1 dx 1 kdt x
arcsint C arcsin C, k 0.
k
k x k k
k x2 1 t2
dx kdt
1 ( )2
k
dx x
arcsin C, gdzie k 0.
Zatem
k
k x2
dx
B. x k k
ln x2 C, gdzie 0.
k x2
Ax
III. Całki typu B
dx, gdzie A, a 0 0.
ax2 bx c
Ax B 2ax b dx
dx dx ,
ax2 bx c ax2 bx c ax2 bx c
przy czym są tak dobranymi współczynnikami, że
oraz
Ax B ( 2ax b) .
IV. Metoda współczynników nieoznaczonych
Wn(x) dx
dx Pn 1(x) ax2 bx c , gdzie 0,
ax2 bx c ax2 bx c
Wn - wielomian stopnia n, Pn 1 - wielomian stopnia n 1, dla n N {1}, - stał a
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
R(sin x,cosx)dx, gdzie R
I. jest funkcją wymierną sinusa i cosinusa.
x
A. Stosujemy podstawienie uniwersalne 2 ale mogące
tg t,
czasami prowadzid do całki z takiej funkcji wymiernej, której
obliczenie wymaga długich rachunków. Wtedy
2 1 t2
x dt, 2t cosx
sin x
2arctgt, dx ,
1 t2 1 t2 1 t2
R
B. Jeżeli jest funkcją nieparzystą względem sinusa tzn.
R( sin x,cosx) R(sinx,cosx),
to stosujemy podstawienie
cos x t
.
R
C. Jeżeli jest funkcją nieparzystą względem cosinusa tzn.
R(sinx, cosx) R(sinx,cosx),
to stosujemy podstawienie
sin x t.
D. Jeżeli to stosujemy podstawienie
R( sin x, cosx) R(sinx,cosx),
tgx t.
sin(ax) sin(bx)dx, sin(ax) cos(bx)dx, cos(ax) cos(bx)dx
E. Aby obliczyd całki
korzystamy ze wzorów:
sin sin 2sin cos , cos cos 2cos cos ,
2 2 2 2
cos cos .
2sin sin
2 2
sin x
x2
dx, e dx
Uwaga Niektóre całki funkcji elementarnych np.
x
nie wyrażają się za pomocą skooczonej liczby działao przez funkcje
elementarne.