42
Całka nieoznaczona
Całkowanie jest czynnością odwrotną do różniczkowania. Daje odpowiedz
na pytanie, czego to jest pochod-
na? Całkowanie przypomina wyszukiwanie  pochodzenia funkcji, podczas gdy różniczkowanie polega na znajdowaniu
 potomstwa funkcji.
2
Funkcję F(x) taką, że F (x) = f (x) dla x, w których funkcja f (x) jest określona, nazywamy funkcją pierwotną funk-
cji f (x) . Zauważmy, że jeśli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x) , to funkcja F(x) + C , gdzie C jest stałą, jest też
funkcją pierwotną funkcji f (x) . Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f (x) oznaczamy symbolem f (x) dx
+"
(całka f od x, dx) i nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f (x) .
2
f (x) dx = F(x) + C �! F (x) = f (x)
+"
Wyznaczanie całki nieoznaczonej nazywamy całkowaniem funkcji.
Przykłady.
+"2x dx = x2 + C ;
+"sin x dx = -cos x + C ;
1
5
+"cos(5x) dx = sin(5x) + C .
43
Podstawowe wzory całek
k
1
1. dx = xk+1 + C , k `" -1;
+"x k+1
1
2. dx = ln x + C ;
+" x
x x
1
3. dx = a + C ;
+"a ln a
� x
1
4. dx = e� x + C ;
+"e �
1
5. x)dx = sin(ą x) + C ;
+"cos(ą ą
1
6. x)dx = - cos(ą x) + C ;
+"sin(ą ą
1
7. dx = tgx + C ;
+"
cos2 x
1
8. dx = -ctgx + C ;
+"
sin2 x
dx
x
9. = arcsin + C ;
+" |a|
a2 - x2
dx
1 x
10. = arctg + C
+"
x2 + a2 a a
44
Podstawowe reguły całkowania
1. dx = F(x) + C - w wyniku różniczkowania, a następnie całkowania otrzymujemy tę samą funkcję z dokład-
+"F2 (x)
nością do stałej C.
92
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
2 2
2. ( f (x) dx) = F (x) = f (x) - w wyniku całkowania, a następnie różniczkowania otrzymujemy tę samą funkcję.
+"
3. �" f (x) dx = ą �" f (x) dx - stałą ą można wyłączyć przed znak całki,
+"ą +"
4. f (x) ą g(x)]dx = f (x) dx ą dx - całka sumy (różnicy) jest równa sumie (różnicy) całek.
+"[ +" +"g(x)
5. Jeżeli funkcję podcałkową daje się zapisać w postaci iloczynu funkcji złożonej f [g(x)] i pochodnej funkcji we-
wnętrznej g(x) , to prawdziwy jest wzór
2
f [g(x)]�" g (x) dx = f (t) dt , gdzie t = g(x) ,
+" +"
który opisuje całkowanie przez podstawienie.
6. Jeżeli funkcję podcałkową daje się zapisać w postaci iloczynu jednej funkcji f (x) i pochodnej innej funkcji g(x) , to
prawdziwy jest wzór
2 2
f (x) �" g (x) dx = f (x) �" g(x) - f (x) �" g(x) dx ,
+" +"
który opisuje metodę całkowania przez części.
Przykład 1
5
1
6
+"x dx = x6 + C
k
1
Zastosowaliśmy wzór
k+1
+"x dx = xk+1 + C .
Przykład 2
1 5
4 4 4
4 4
xdx =
5 5
+" +"x dx = x + C = x4 x + C
k
1
Zastosowaliśmy wzór
k+1
+"x dx = xk+1 + C .
Przykład 3
3x
x
+"3 dx = ln 3 + C
x x
1
Zastosowaliśmy wzór
ln a
+"a dx = a + C .
Przykład 4
2x 2x
x x
+"(2 + 3sin x) dx = +"2 dx + 3+"sin xdx = ln 2 + 3(- cos x)+ C = ln 2 - 3cos x + C
Przykład 5
dx x
= arcsin + C
+"
5
5 - x2
dx
x
= arcsin + C
Zastosowaliśmy wzór .
+" |a|
a2 - x2
Przykład 6
Zilustrujemy metodę całkowania przez części.
2
u = x v = cos x
= xsin x - xdx = xsin x + cos x + C
+"x cos x dx = +"sin
2
u = 1 v = sin x
93
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
Przykład 7
2
u = x v = e-x
-x -x
+"xe dx = u2 = 1 v = -e-x = -xe-x + +"e dx = -xe-x - e-x + C = -e-x (x +1) + C
Przykład 8
Zilustrujemy metodę całkowania przez podstawienie.
2x -1 = t
dt
20 21
1 1 1 1
dx
t dt = �" t + C = (2x +1)21 + C
+"(2x -1)20 dx = 2= = +" 2 2 21 42
1
dx = dt
2
Przykład 9
x2 + 7 = t
1
dt dt
x dx 1
2x = 2 -5
1 1 1 -4
= dx = = dt = (- )t + C = - + C
+" +" +"t 2 4
(x2 + 7)5 = 1 dt t5 2 8(x2 + 7)4
x dx
2
Przykład 10
t2 = x
dx
1 1 1
dt cost + C = - cos x2 + C
+"t sin t2 dt = 2t = = 2 +"sin x dx = - 2 2
1
x dt = dx
2
Przykład 11
3x = t
dt
dx 3= dt
1 1 1
dx
= = = tgt + C = tg3x + C
+" 6 +" 6 6
2cos2 3x 1 cos2 t
dx = dt
3
Przykład 12
x2 + k = x - t
t2 -k
dx dt
x =
= = - = -ln | t | +C = ln x + x2 + k + C
2t
+" +"
t
x2 + k
t2 +k
dx = dt
2t2
Przykład 13
2dx
= 2ln x + 7 + C
+"
x + 7
2
f (x)
dx = ln f (x) + C
Zastosowaliśmy wzór .
+"
f (x)
Przykład 14
x2 -1
dx
+"
x2 +1
Jest to całka z funkcji wymiernej (iloraz wielomianów). Ponieważ stopień licznika pokrywa się ze stopniem mianownika,
więc funkcję pod znakiem całki przedstawiamy w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:
x2 -1 x2 +1- 2 2
= = 1-
x2 +1 x2 +1 x2 +1
Zatem
94
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
x2 -1 2 1
dx = dx = x - 2arctgx + C .
+" +"(1- +1)dx = +"dx - 2+"
x2 +1 x2 x2 +1
dx
1 x
= arctg + C
Przy obliczaniu drugiej całki korzystaliśmy ze wzoru .
+"
x2 + a2 a a
45
Równania ró niczkowe
Definicja.
2
Równanie o niewiadomej y = y(x) postaci F[x, y(x), y (x)] , gdzie F jest funkcją trzech zmiennych określoną i ciągłą na
pewnym obszarze, nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu.
Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu w postaci jawnej (rozwikłanej) nazywa się równanie
2
y (x) = f [x, y(x)] .
Rozwiązaniem ogólnym tego równania nazywa się zbiór funkcji y(x) , z których każda spełnia to równanie. Jest ono
postaci y = y(x, C) , gdzie C " R .
Każdą funkcję postaci y(x, C0 ) , gdzie C0 jest ustaloną stałą spełniającą to równanie, nazywa się rozwiązaniem szcze-
gólnym. Rozwiązanie ogólne jest zbiorem wszystkich rozwiązań szczególnych.
Przykład 15
x +1
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y = .
x2 - x
Rozwiązanie
Równanie to jest równaniem do bezpośredniego całkowania.
x +1
y = dx
+"
x2 - x
Jest to całka z funkcji wymiernej właściwej (st. L < st. M). Ponieważ mianownik jest rozkładalny na iloczyn czynników,
więc dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej na sumę ułamków prostych:
x +1 x +1 A B A(x -1) + Bx (A + B)x - A
= = + = =
x(x
x2 - x -1) x x -1 x(x -1) x(x -1)
Współczynniki A, B wyznaczamy z tożsamości
x +1 = (A + B)x - A
(przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach):
A + B = 1,
ńł
�ł
- A = 1.
ół
Dlatego
x +1 1 2
= - +
x x -1
x2 - x
i ostatecznie
x +1 1 1
y = dx = - dx + 2 dx = -ln | x | +2ln | x -1| +C (- Rozwiązanie ogólne)
+" +" +"
x x -1
x2 - x
Przykład 16
x2 +1
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y = .
x2 -1
Rozwiązanie:
95
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
x2 +1 x2 -1+ 2 2 2
y = dx = dx = dx + dx = (???)
+" +" +"(1+ -1) dx = +" +"
x2 -1 x2 -1 x2 x2 -1
Do drugiej całki stosujemy rozkład funkcji wymiernej właściwej na sumę ułamków prostych.
2 2 A B A(x -1) + B(x +1) (A + B)x + (-A + B)
= = + = =
(x +1)(x -1) x +1 x -1 (x +1)(x -1) (x +1)(x -1)
x2 -1
Współczynniki A, B wyznaczamy z tożsamości
2 = (A + B)x + (-A + B)
(przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach):
ńł A + B = 0,
�ł
ół- A + B = 2.
Dlatego
2 1 1
= - +
x +1 x -1
x2 -1
i ostatecznie
1 1
(???)= - dx + dx = x - ln | x +1| +ln | x -1| +C (- Rozwiązanie ogólne)
+"dx +" +"
x +1 x -1
Przykład 17
x2 +1
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y = .
x2 + 2
Rozwiązanie:
x2 +1 x2 + 2 -1 1 1 1 x
y = dx = dx = dx - dx = x - arctg + C
+" +" +"(1- + 2)dx = +" +"
x2 + 2 x2 + 2 x2 x2 + 2 2 2
dx
1 x
= arctg + C
Do drugiej całki zastosowaliśmy wzór .
+"
x2 + a2 a a
Przykład 18
1
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y = .
x2 - x - 2
Rozwiązanie:
1 1
y = dx = dx
+" +"
(x +1)(x - 2)
x2 - x - 2
Do drugiej całki stosujemy rozkład funkcji wymiernej właściwej na sumę ułamków prostych.
1 A B A(x - 2) + B(x +1) (A + B)x + (-2A + B)
= + = =
(x +1)(x - 2) x +1 x - 2 (x +1)(x - 2) (x +1)(x - 2)
Współczynniki A, B wyznaczamy z tożsamości
1 = (A + B)x + (-2A + B)
(przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach):
ńł A + B = 0,
�ł
ół- 2A + B = 1.
Dlatego
1 1 1
= - +
3(x +1) 3(x - 2)
x2 - x - 2
i ostatecznie
dx dx dx
1 1 1
y = = - + = - ln | x +1| + ln | x - 2 | +C (- Rozwiązanie ogólne)
+" 3+" +" 3 3
x +1 x - 2
x2 - x - 2
96
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
Przykład 19
1
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y = .
x2 - x + 2
Rozwiązanie:
1
1
x -
1 1 x - = t dt 2 t 2
2
2
y = dx = dx = = = arctg + C = arctg + C
+" +" +"
1 7 7
x2 - x + 2 (x - )2 + t2 + 7 7 7 7
dx = dt
2 4 4
dx
1 x
= arctg + C
Do obliczenia całki stosujemy wzór .
+"
x2 + a2 a a
Przykład 20
x4 - x3 + x2 +1
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y = .
x3 + x
Rozwiązanie:
x4 - x3 + x2 +1
y = dx
+"
x3 + x
Ponieważ wielomian występujący w mianowniku ma stopień mniejszy niż wielomian występujący w liczniku, więc w
wyniku dzielenia otrzymamy
x4 - x3 + x2 +1 x +1
= x -1+ .
x3 + x x3 + x
Z kolei
x +1 x +1 A Bx + C
= = + .
x
x3 + x x(x2 +1) x2 +1
Współczynniki A, B i C wyznaczamy z tożsamości
x +1 = A(x2 +1) + (Bx + C)x
(przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach):
A + B = 0,
ńł
�ł
C = 1,
�ł
�łA = 1
ół
Dlatego
x +1 1 x -1
= -
x
x3 + x x2 +1
i ostatecznie
x4 - x3 + x2 +1 �ł 1 x -1 �ł 1 2x 1
1
y = dx = x -1+ - �łdx = dx - + dx - dx + dx =
�ł �ł
+" +"�ł +"x +"dx +" 2 +" +"
x x
x3 + x �ł x2 +1 x2 +1 x2 +1
łł
1 1
= x2 - x + ln | x | - ln(x2 +1) + arctgx + C
2 2
Przykład 21
3x -1
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y = .
x2 + x +1
Rozwiązanie:
3x -1 2x +1 dx
3 5
y = dx = dx -
+" 2 +" 2 +"
x2 + x +1 x2 + x +1 x2 + x +1
(1) (2)
2
f (x)
dx = ln f (x) + C
W całce (1) w liczniku jest pochodna mianownika; do jej obliczenia korzystamy ze wzoru .
+"
f (x)
97
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
Zatem
2x +1
(1) = dx = ln x2 + x +1 + C1
+"
x2 + x +1
Do całki (2) stosujemy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego.
1
dx dx x + = t dt
2 2t 2 2x+1
2
(2) = = = = = arctg + C2 = arctg + C2
+" +" +"
1 3 3
3 3 3 3
dx = dt
x2 + x +1 (x + )2 + t2 +
2 4 4
Piszemy odpowiedz
:
3x -1 2x +1 2x +1
3 5 2 3 5
dx = ln x2 + x +1 - �" arctg + C = ln x2 + x +1 - arctg + C
+" 2 2 2
3 3
x2 + x +1 3 3
46
Równania ró niczkowe o zmiennych rozdzielonych
2
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci y = g(x)�" h(y) nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielo-
nych. Jeżeli funkcje g(x) i h(y) są ciągłe, przy czym h(y) `" 0 dla każdego y , to całka równania różniczkowego o
zmiennych rozdzielonych dana jest wzorem:
dy
= g(x) dx + C , gdzie C jest dowolna stałą rzeczywistą.
+" +"
h(y)
Przykład 22
Rozwiązać równanie różniczkowe (xy2 + y2)dx + (x2 - x2 y)dy = 0 .
Rozwiązanie:
Jest to równanie, w którym zmienne dają się rozdzielić. Aby rozdzielić zmienne, wystarczy wykonać operacje:
(x +1)y2dx = (y -1)x2dy ,
x +1 y -1
dx = dy .
x2 y2
Po rozdzieleniu zmiennych całkujemy obie strony równania.
x +1 y -1
dx = dy ,
+" +"
x2 y2
1 1
ln x - = ln y + + C .
x y
Przykład 23
Rozwiązać równanie różniczkowe (1+ y2)dx = xydy .
Rozwiązanie:
dx ydy
= ,
x
1+ y2
Po rozdzieleniu zmiennych całkujemy obie strony równania.
dx ydy ydy
1
=
+" +"1+ y2 = 2 +"1+ y2
x
1
ln x + C = ln(1+ y2)
2
98
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
47
Równanie ró niczkowe liniowe
2
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci y + p(x) y = q(x) , gdzie p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi,
nazywamy równaniem liniowym pierwszego rzędu. Jeżeli q(x) a" 0 , to równanie nazywamy liniowym niejednorod-
/
nym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem liniowym jednorodnym.
Przykład 24
2
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y + 2xy = 2x2e-x .
Rozwiązanie.
Etap 1�
� Tworzymy i rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne (RLJ)
�
�
2
dy dy
2 2
y + 2xy = 0 y = = -2xy = -2x �" dx ln y = -x2 + ln C y = Ce-x - RORLJ
dx y
Etap 2�
� Uzmienniamy stałą metodą Lagrange a. Różniczkujemy RORLJ (rozwiązanie ogólne równania liniowego jedno-
�
�
rodnego) przy załażeniu C = C(x) .
2 2
dC
2
y = e-x - 2Cxe-x .
dx
Wracamy do wyjściowego równania
2
y y
dC
e- x2 - 2Cxe- x2 + 2xCe- x2 = 2x2e- x2
dx
2
dC = 2x2dx C = x3 + K
3
Kładziemy wyliczone C do RORLJ
2 2 2 2
2 2
y = Ce-x = ( x3 + K )e-x = x3e-x + Ke-x - RORLN
3 3
Przykład 25
y
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y + = x2 .
x
Rozwiązanie:
y dy y dy dx C
2 2 y =
y + = - RLJ y = = - = - ln y = - ln x + ln C - RORLJ
x dx x y x x
Uzmienniamy stałą.
Różniczkujemy RORLJ
dC 1 1
2
y = �" - C �"
dx x
x2
Wracamy do wyjściowego równania
2
y
y
dC 1 1 1 1
�" - C �" + C �" �" = x2
dx x
x2 x x
dC = x3dx
1
C = x4 + K
4
Kładziemy wyliczone C do RORLJ
1 1 1 1
y = ( x4 + K ) �" = x3 + K �" - RORLN
4 x 4 x
99
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
Przykład 26
2
Rozwiązać równanie różniczkowe y - 2y = ex - x .
Rozwiązanie:
dy dy
2 2
y - 2y = 0 - RLJ y = = 2y = 2dx ln y = 2x + ln C y = Ce2x - RORLJ
dx y
Uzmienniamy stałą.
Różniczkujemy RORLJ
dC
2
y = e2x + 2Cxe2x
dx
Wracamy do wyjściowego równania
2
y
y
dC 1 1
e2x + 2Cxe2x - 2Ce2x x = ex - x dC = (e-x - xe-2x )dx C = -e-x + xe-2x + e-2x + K
dx 2 4
Kładziemy wyliczone C do RORLJ
1 1 1 1
y = (-e- x + xe-2x + e-2x + K )e2x = x + - ex + Ke2x - RORLN
2 4 2 4
Przykład 27
Rozwiązać równanie różniczkowe dy = (x2 + 2x - 2y)dx .
Rozwiązanie:
dy
= x2 + 2x - 2y
dx
dy dy
2
y = = -2y = -2dx ln y = -2x + ln C y = Ce-2x - RORLJ
dx y
Uzmienniamy stałą.
Różniczkujemy RORLJ
dC
2
y = e-2x - 2Ce-2x
dx
Wracamy do wyjściowego równania
2
y
y
dC
e-2x - 2Ce2x + 2Ce2x = x2 + 2x
dx
dC = (x2 + 2x)e2xdx
2 2
f = x2 + 2x g = e2 x f = x +1 g = e2 x
2 1
C = + 2x)e2xdx = = (x2 + 2x)e2x - + 1)e2xdx = =
1 1
+"(x +"(x
2 2
f = 2x + 2 g = e2 x 2 f = 1 g = e2 x
2 2
1 1 1 2x 1 1 1
1 1 1
= (x2 + 2x)e2x - (x + 1)e2x + dx = (x2 + 2x)e2x - (x +1)e2x + e2x + K = ( x2 - x - )e2x + K
2 2 4
2 2 2 +"e 2 2 4
Kładziemy wyliczone C do RORLJ
1 1 1 1 1 1
y = [( x2 - x - )e2x + K]�" e-2x = x2 - x - + Ke-2x
2 2 4 2 2 4
Przykład 28
Rozwiązać równanie różniczkowe (x +1)dy - [2y + (x +1)4]dx = 0 .
Rozwiązanie:
dy 2
- y = (x + 1)3
dx x + 1
dy 2 dy 2dx
- y = 0 RLJ = ln y = 2ln(x +1) + ln C y = C(x +1)2 - RORLJ
dx x +1 y x +1
Uzmienniamy stałą.
Różniczkujemy RORLJ
dC
2
y = (x + 1)2 + 2C(x +1)
dx
100
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9
Wracamy do wyjściowego równania
2
y y
2
dC
(x + 1)2 + 2C(x +1) - C(x +1)2 = (x +1)3
dx
x + 1
dC = (x +1)dx
1
C = x2 + x + K
2
Kładziemy wyliczone C do RORLJ
1 1
y = ( x2 + x + K )(x + 1)2 = ( x2 + x)(x +1)2 + K(x + 1)2
2 2
101
Stanisław Kowalski: Wykłady z matematyki  Całka nieoznaczona  wykład 9