Matematyka II
( Zarządzanie i Inżynieria Produkcji)
Macierze, wyznaczniki,
układy równań liniowych
dr inż. Anna Szadkowska
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
A
ódz
2012
Macierze, wyznaczniki, układy równań
Definicja (macierzy).
Niech Każdą funkcję
D {(i,k) :i 1,2,...,m k 1,2,...,n}. f
odwzorowującą zbiór w zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych)
D
nazywamy macierzą prostokątną o wymiarach m przy czym liczby
n,
f (i, k) aik ,
i 1,2,...m, k 1,2,3,...,n,
gdzie nazywamy elementami
tej macierzy.
Macierze będziemy oznaczać pojedynczymi , dużymi literami A, B,C,...
i zapisywać
a11 a12 a1k a1n
a21 a22 a2k a2n
A lub A [aik ]m n lub A [aik ].
ai1 ai2 aik ain
am1 am2 amk amn
A
a1 k [ a i1 ai2 ... a ik ... a ] i ty wiersz macierzy
in
a2k
aik k ta kolumna macierzy A
amk
Szczególne przypadki macierzy:
1) Jeżeli m n, to macierz A nazywamy macierzą kwadratową,
n
przy czym liczbę nazywamy stopniem macierzy, a o elementach
a11, a22 , a33 , ... , ann
mówimy, że tworzą główną przekątną macierzy.
A,
2) Macierz kwadratową w której poniżej głównej przekątnej są
same zera nazywamy macierzą trójkątną górną. Definicja macierzy
trójkątnej dolnej jest analogiczna.
3) Macierz, która jest jednocześnie trójkątna górna i trójkątna dolna
nazywamy macierzą diagonalną.
n
4) Macierz kwadratową stopnia , której wszystkie elementy stojące
na głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są zerami
In.
nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy zazwyczaj literą
Przykłady macierzy jednostkowych:
1 0 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
I1 [1], I2 , I3 0 1 0 , I4 ,...
0 1 0 0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
5) Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywamy
O.
macierzą zerową i oznaczamy literą
A
A
6) Macierz, która powstaje z macierzy poprzez zamianę jej
wierszy na kolumny z zachowaniem ich kolejności nazywamy
macierzą transponowaną do macierzy i oznaczamy
A
AT.
7) Macierz A nazywamy macierzą symetryczną, jeżeli spełnia
warunek
AT A.
1 5
1 12 3
Przykład. Jeżeli to AT .
A 12 2 ,
5 2 4
3 4
Działania na macierzach:
1) Równość macierzy:
def
[aik ]m n [bik ]m n (aik bik , i 1, 2, 3,...,m; k 1, 2, 3,...,n.)
2) Suma i różnica macierzy:
def
[aik ]m n [bik ]m n [aik bik ]m n
t R :
3) Mnożenie macierzy przez liczbę
def
t [aik ]m n [t aik ]m n
Przykład.
1 4 1 2 2 8 1 2 1 6
2 2 5 3 5 4 10 3 5 1 5
3 6 4 7 6 12 4 7 2 19
4) Mnożenie macierzy przez macierz:
Iloczynem macierzy A [aij ]m s i B [ ] nazywamy macierz
bjk s n
C [cik ] ,
m n której elementy są określone wzorami
s
cik ai1 b1k ai2 b2k ... ais bsk aij bjk
j 1
i 1, 2,...,m , k 1, 2,...,n.
gdzie
A B.
Warunek wykonalności mnożenia
A
Liczba kolumn macierzy musi być równa liczbie wierszy
macierzy
B.
Przykład.
3 2 4 1 0 3 4 2 ( 3) 3 1 2 0 3 0 2 1 6 3 2
2 1 3 0 1 ( 2) 4 1 ( 3) ( 2) 1 1 0 ( 2) 0 1 1 11 2 1
Uwaga.
A B B A
Jeżeli działanie jest wykonalne, to działanie nie musi być
A B
wykonalne, a nawet wtedy, gdy można wykonać mnożenie oraz
B A wynikiem tego mnożenia nie musi być ta sama macierz.
Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Własności działań na macierzach:
A B B A, (A B) C A (B C), (A B) C A (B C),
A O A, O A O, A O O,
A (B C) A B A C, (A B) C A C B C,
(AT )T A, (A B)T AT BT , ( A)T AT ( R),
(A B)T BT AT .
Uwaga.
Niech natomiast niech będą macierzami
A [aik ]m n Im, In
jednostkowymi wymiarów odpowiednio m n .
i
Wtedy
Im A A In A.
Definicja (wyznacznika macierzy).
A
Wyznacznikiem (inne oznaczenie ) macierzy kwadratowej
det A
n
A
stopnia nazywamy liczbę przyporządkowaną macierzy A
w następujący sposób:
1) Jeżeli to
det A a11 a11.
n 1,
n 1,
2) Jeżeli to
a11 a12 ... a1k ... a1n
a21 a22 ... a2k ... a2n
... ... ... ... ... ...
det A
ak1 ak 2 ... akk ... akn
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... ank ... ann
n
( 1)1 1 a11 W11 ( 1)1 2 a12 W12 ... ( 1)1 n a1n W1n ( 1)1 k a1k W1k ,
k 1
W1k , dla k 1, 2, 3,...,n,
gdzie oznacza wyznacznik macierzy
powstały z macierzy A przez pominięcie pierwszego wiersza
i tej kolumny.
k
Metody obliczania wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego
a) Z definicji mamy
a11 a12
( 1)1 1a11 a22 ( 1)1 2 a12 a21 a11 a22 a12 a21
a21 a22
2 1
2 3 ( 1) 4 10
4 3
b) Z definicji mamy
a11 a12 a13
a22 a23 a21 a23 a21 a22
a21 a22 a23 ( 1)1 1a11 ( 1)1 2 a12 ( 1)1 3 a13
a32 a33 a31 a33 a31 a32
a31 a32 a33
Metoda Sarussa (tylko do liczenia wyznaczników stopnia trzeciego):
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a21a32a13 a31a12a23 (a13a22a31 a23a32a11 a33a12a21)
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Definicja.
Podwyznacznikiem czyli minorem wyznacznika
a11 a12 a1k a1n
a21 a22 a2k a2n
W
ai1 ai2 aik ain
an1 an2 ank ann
aik
n 1,
odpowiadającym elementowi nazywamy wyznacznik stopnia
i
który powstaje z danego wyznacznika przez pominięcie tego
Wik.
k
wiersza oraz tej kolumny. Oznaczać go będziemy symbolem
Definicja.
ozn
Iloczyn nazywamy dopełnieniem algebraicznym
( 1)i k Wik Wik
aik.
elementu
Uwaga. Stopień macierzy nazywamy także stopniem wyznacznika
tej macierzy.
a11 a12 ... a1k ... a1n
Własności wyznaczników:
a21 a22 ... a2k ... a2n
Własność 1.
... ... ... ... ... ...
W
Dla dowolnego wyznacznika
ai1 ai2 ... aik ... ain
zachodzą równości:
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... ank ... ann
n
* * *
(*) W ai1 Wi1 ai2 Wi* ... ain Win ail Wil
2
l 1
n
* *
(**) W a1k W1* a2k W2* ... ank Wnk alk Wlk
k k
l 1
i
Równość (*) nosi nazwę rozwinięcia Laplace a względem tego
wiersza, natomiast równość (**) nosi nazwę rozwinięcia
k
Laplace a względem tej kolumny.
Przykład.
5 0 3 0
5 3 0
0 2 7 0
* * * *
W 0 W12 2 W22 0 W32 0 W42 2 ( 1)2 2 4 0 1 2 3 ( 1)3 9 54
4 0 0 1
3 0 3
3 0 0 3
Własność 2.
det A det AT
Własność 3. Jeżeli w wyznaczniku przestawimy dwa dowolne wiersze
(kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną.
Własność 4. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny)
wyznacznika są zerami, to wyznacznik ten jest równy zero.
Własność 5. Jeżeli elementy pewnego wiersza (kolumny) są
proporcjonalne (w szczególności równe) do elementów innego
wiersza (kolumny) wyznacznika, to wyznacznik ten jest równy zero.
Własność 6. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny)
pomnożymy przez liczbę t, to wartość wyznacznika też zostanie
t.
pomnożona przez
Własność 7. Jeżeli do elementów pewnego wiersza (kolumny)
dodamy elementy innego wiersza (kolumny) tego wyznacznika
pomnożone przez tę samą liczbę, to wartość wyznacznika się nie
zmieni.
Przykład.
1 3 2 1 3 2
w3 2 w1
1 1
0 1 1 0 1 1 1
3 4
2 3 0 0 3 4
Własność 8.
Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy leżące nad główną
przekątną lub pod główną przekątną są zerami, to wyznacznik
jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej.
Przykład.
2 0 0 0
0 3 0 0
24
3 1 4 0
5 7 6 1
Definicja (macierzy odwrotnej).
A
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej nazywamy taką
macierz 1 ( o ile istnieje), dla której zachodzą równości:
A
1 1 gdzie oznacza macierz jednostkową.
A A A A I, I
Definicja (macierzy osobliwej).
Macierz, której wyznacznik jest równy zero nazywamy macierzą
osobliwą , a każdą inną macierz kwadratową nazywamy macierzą
nieosobliwą.
Twierdzenie. Jeżeli jest macierzą nieosobliwą, to istnieje dokładnie
A
A
jedna macierz odwrotna do macierzy i jest ona określona wzorem
*
[Wik ]T
1
A
W
A, B
Własności macierzy odwrotnych. Jeżeli macierze tego samego
0,
stopnia są odwracalne oraz to
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
det(A ) (det A) , (A ) A, (AT ) (A )T , (A B)-1 B A , (ą A) A .
Przykład.
3 0 2
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
A 2 3 0
1 1 4
3 0 2 3 0 2
w3 2w1
2 3
W det A 2 3 0 2 3 0 ( 1)1 3 2 34 0,
5 1
1 1 4 5 1 0
A
więc jest macierzą nieosobliwą.
3 0 2 0 2 3
( 1)1 1 ( 1)1 2 ( 1)1 3
1 4 1 4 1 1
12 8 1
0 2 3 2 3 0
*
[Wik ] ( 1)2 1 ( 1)2 2 ( 1)2 3 2 10 3
1 4 1 4 1 1
6 4 9
0 2 3 2 3 0
( 1)3 1 ( 1)3 2 ( 1)3 3
3 0 2 0 2 3
12 2 6
Zatem
*
[Wik ]T 8 10 4
1 3 9
6 1 3
17 17 17
12 2 6
1 4 5 2
1
A 8 10 4
34 17 17 17
1 3 9
1 3 9
34 34 34
1
A A I.
Sprawdzimy, że
3 0 2 12 2 6 34 0 0 1 0 0
1 1
1
A A 2 3 0 8 10 4 0 34 0 0 1 0
34 34
1 1 4 1 3 9 0 0 34 0 0 1
1
A A I.
D] Sprawdzić, że
Układy n równań liniowych o n niewiadomych
n n
Rozważmy układ równań liniowych o niewiadomych postaci
a11x1 a12 x2 ... a1nxn b1
a21x1 a22 x2 ... a2nxn b2
(1)
... ... ... ... ... ... ... ... ...
an1x1 an2x2 ... annxn bn
Przyjmijmy oznaczenia:
a11 a12 ... a1n x1 b1
a21 a22 ... a2n x2 b2
(1')A , X , B
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... ann xn bn
Macierz nazywamy macierzą główną układu, macierz
A
X
macierzą (kolumnową) niewiadomych, a macierz macierzą
B
W det A
(kolumnową) wyrazów wolnych. Wyznacznik nazywamy
wyznacznikiem głównym lub charakterystycznym układu (1).
Definicja.
Układ (1) nazywamy układem Cramera, jeżeli det A 0.
Twierdzenie Cramera.
Układ Cramera (1) posiada dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono
określone wzorami
W1 W2 Wn
(2) x1 , x2 ,..., xn ,
W W W
gdzie oznacza wyznacznik otrzymany
Wk , dla k 1, 2, 3,...,n,
z wyznacznika przez zastąpienie tej kolumny kolumną
W det A k
wyrazów wolnych.
Wzory (2) noszą nazwę wzorów Cramera.
Przykład. Rozwiązać układ równań
3 x1 2 x2 x3 4
x1 x3 2
x2 x3 3
3 2 1 3 2 2
k3 k1
2 2
W 1 0 1 1 0 0 ( 1)2 1 4
1 1
0 1 1 0 1 1
4 2 1 3 4 1 3 2 4
W1 2 0 1 0,W2 1 2 1 4,W3 1 0 2 8
3 1 1 0 3 1 0 1 3
W1 0 W2 4 W3 8
x1 0, x2 1,x3 2
W 4 W 4 W 4
Zatem rozważany układ równań liniowych posiada dokładnie jedno
x1 0 i x2 1 i x3 2.
rozwiązanie :
Macierzowa metoda rozwiązywania układów Cramera
Załóżmy, że układ równań liniowych (1) jest układem Cramera.
Przy przyjętych oznaczeniach (1 ) układ (1) można zapisać w postaci
(3)
A X B.
Rozwiązanie układu (1) jest zatem równoważne rozwiązaniu
równania (3).
W celu rozwiązania równania (3) pomóżmy obie jego strony
A ,
lewostronnie przez 1 czyli przez macierz odwrotną do macierzy
A.
1 1 1 1
A A X A B X A B, gdyż A A I.
Przykład.
Rozwiązać metodą macierzową układ równań:
x1 2 x2 3 x3 2
x1 x2 x3 0
x1 x2 1
1 2 3 1 1 3
k2 k1
det A W 1 1 1 1 0 1 1 0
1 1 0 1 0 0
1 2 3 x1 2
Jest to więc układ Cramera.
1 1 1 x2 0
Możemy go zapisać w postaci:
1 1 0 x3 1
*
[Wik ]T
1
X A B,
Zatem 1 gdzie
A
W
1 3 1
1 1 0
* 1
, a stąd
[Wik ] 3 3 1
A 1 3 2
1 2 1
0 1 1
Otrzymujemy więc
1 3 1 2 1
X 1
3 2 0 0 Zatem x1 1 i x2 0 i x3 1.
0 1 1 1 1
Rząd macierzy
Rozważmy macierz
A [aij ]m n.
Definicja (minora macierzy).
Wyznaczniki, jakie można utworzyć z macierzy A nazywamy
minorami tej macierzy.
2 1 7 0
Przykład. Niech
A 9 3 4 1
6 5 8 3
1 7 0
Jeden z minorów stopnia trzeciego macierzy
A:
3 4 1
9 3
Jeden z minorów stopnia drugiego:
5 8 3
6 5
Jeden z minorów stopnia pierwszego: 7
Definicja (rzędu macierzy).
Rzędem macierzy nazywamy najwyższy ze stopni tych minorów
A
macierzy A , które są różne od zera. Dodatkowo przyjmujemy, że
rząd macierzy zerowej jest równy zeru.
R(A).
Rząd macierzy będziemy oznaczać
A
Przykład.
Wyznaczyć rząd macierzy:
2 3 7
A 0 4 3
1)
0 6 0
4 3
Zauważmy, że A 2 ( 1)2 36 0 i jest to różny od zera
6 0
A
wyznacznik macierzy stopnia trzeciego, więc
R(A) 3.
4 3 0 2
2)
B 4 3 0 2
4 3 4 5
Wszystkie minory stopnia trzeciego są równe zeru, gdyż
zawierają dwa jednakowe wiersze, ale istnieje minor stopnia
0 2
R(B) 2.
drugiego różny od zera np. więc
8 0,
4 5
Twierdzenie (własności rzędów).
Jeżeli w macierzy:
1) zamienimy wiersze na kolumny,
2) przestawimy dwa wiersze ( kolumny),
3) pomnożymy elementy pewnego wiersza (kolumny) przez tę
samą i różną od zera liczbę,
4) do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy
innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę,
5) pominiemy wiersz (kolumnę) składający się z samych zer,
6) pominiemy jeden z dwóch wierszy (kolumn) o elementach
proporcjonalnych,
to rząd macierzy się nie zmieni.
1 3 2 0 4
Przykład.
1 3 2 0 4
w3 2 w1
3 4 5 1 7 1 3 2 0 4
R R 3 4 5 1 7 R 2
0 0 0 0 0 3 4 5 1 7
2 6 4 0 8
2 6 4 0 8
Układ m równań liniowych o n niewiadomych
Rozważmy układ m
równań liniowych o n niewiadomych postaci:
a11x1 a12x2 ... a1nxn b1
a21x1 a22x2 ... a2nxn b2
(4)
... ... ... ... ... ... ... ... ...
am1x1 am2x2 ... amn xn bm
m
przy czym liczba równań może być mniejsza, równa albo
n.
większa niż liczba niewiadomych
Przyjmijmy oznaczenia:
a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n a21 a22 ... a2n b2
A , C
... ... ... ... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn am1 am2 ... amn bm
Macierz A nazywamy macierzą główną układu (4), natomiast
macierz macierzą rozszerzoną albo uzupełnioną tego układu.
C
Twierdzenie Kroneckera  Capelliego.
Układ równań liniowych (4) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy,
gdy R A) R(C i przy tym:
( ) r
r n,
1) jeżeli to układ (4) ma jedno rozwiązanie,
r n,
2) jeżeli to układ (4) ma nieskończenie wiele rozwiązań, które
n r
zależą od parametrów.
2x1 3x2 x3 5x4 1
Przykład. Rozwiązać układ równań
x1 2x2 3x3 7x4 2
3x1 x2 2x3 2x4 3
2 3 1 5 2 3 1 5
w2 w1 w2 w3
2 3 1 5
R(A) R 1 2 3 7 R 3 1 2 2 R 2
3 1 2 2
3 1 2 2 3 1 2 2
2 3 1 5 1 2 3 1 5 1
w2 w1 w2 w3
2 3 1 5 1
R(C) R 1 2 3 7 2 R 3 1 2 2 3 R 2
3 1 2 2 3
3 1 2 2 3 3 1 2 2 3
R(A) R(B) 2,
więc układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań
n r 4 2
zależnych od 2 parametrów.
x3 u, x4 v, u oraz v
Przyjmijmy gdzie są dowolnymi, chwilowo
ustalonymi liczbami.
2x1 3x2 1 u 5v
2 3
W 7 0
x1 2x2 2 3u 7v
1 2
1 u 5v 3
W1 2 2u 10v 6 9u 21v 8 7u 11v
2 3u 7v 2
2 1 u 5v
W2 4 6u 14v 1 u 5v 3 7u 19v
1 2 3u 7v
Zatem układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań określonych
wzorami:
W1 1 W2 1
x1 (8 7u 11v), x2 (3 7u 19v), x3 u, x4 v,
W 7 W 7
u oraz v
gdzie są dowolnymi, chwilowo ustalonymi liczbami.
Literatura podstawowa:
1. Dobrowolska K., Dyczka W., Jakuszenkow H.: Matematyka dla
studentów studiów technicznych, część 1, 2, HELPMATH,
A
ódz
, 2002.
2. Gurgul H., Suder M.: Matematyka dla kierunków
ekonomicznych, Oficyna a Wolters Kluwer business, Kraków,
2010.
3. Banaś J.: Podstawy matematyki dla ekonomistów, WNT,
Warszawa, 2007.
Literatura uzupełniająca:
1. Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach,
część II, PWN, Warszawa, 2003.
2. Ostoja - Ostaszewski A.: Matematyka w ekonomii, tom 1, 2,
PWN, Warszawa, 1996.
3. Chiang A.: Podstawy ekonomii matematycznej, PWE,
Warszawa, 1994.