Józef Szymczak
Politechnika Opolska
MACIERZE I WYZNACZNIKI (notatki z wykładu)
I. Macierze.
Niech N1 = {1,2,3,...,m}, N2 = {1,2,3,...,n}. Iloczyn kartezjański tych zbiorów oznaczamy symbolem
N1 × N2 i definiujemy w nastÄ™pujÄ…cy sposób: N1 × N2 = {(i, j) : i " N1, j " N2}. Odwzorowanie iloczynu
kartezjaÅ„skiego N1 × N2 na pewien zbiór A nazywamy macierzÄ… i zapisujemy jÄ… w postaci prostokÄ…tnej tablicy
składającej się z m wierszy i n kolumn:
a11 a12 ... a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
a21 a22 ... a2 n śł
ïÅ‚ śł
.
A =
ïÅ‚ śł
. . ... .
ïÅ‚ śł
am ... amn ûÅ‚
ðÅ‚am1 2
Elementami macierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone bądz
funkcje.
Macierz możemy też zapisać w skróconej formie:
A = [aij ]m×n ,
gdzie indeks m × n oznacza wymiar (typ) macierzy. Zapis aij oznacza element macierzy należący do i-tego
wiersza oraz j-tej kolumny. Jeśli m = n , to mówimy, że macierz jest macierzą kwadratową n-tego stopnia.
Definicja 1. Dwie macierze są równe gdy mają ten sam wymiar i na tych samych miejscach te
same elementy, tzn.:
A = B Ô! aij = bij dla każdej pary (i, j) " N1 × N2 .
Przykłady macierzy:
A1×n = [a11 a12 ... a1n]  macierz wierszowa (majÄ…ca jeden wiersz i n kolumn);
a11
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a śł
21
ïÅ‚ śł
Am×1 =  macierz kolumnowa (majÄ…ca jednÄ… kolumnÄ™ i m wierszy);
ïÅ‚ śł
...
ïÅ‚ śł
ðÅ‚am1ûÅ‚
0 0 ... 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 0 ... 0śł
Åš =  macierz zerowa wymiaru m × n ,
ïÅ‚ śł
. . ... .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚0 0 ... 0śłm×n
ûÅ‚
Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, której elementy poza główną przekątną są zerami:
a11 0 ... 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 a ... 0 .
22
ïÅ‚ śł
. . ... .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 ... a
ðÅ‚ nn ûÅ‚
Główną przekątną tej macierzy stanowią elementy o równych indeksach pierwszym i drugim.
Macierz jednostkowa to macierz diagonalna, która na głównej przekątnej ma same jedynki. Oznaczamy ją
symbolem In, gdzie indeks n oznacza stopień tej macierzy:
1 0 ... 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 ... 0 śł
Å„Å‚
. ëÅ‚ 1 dla i=j , i, j = 1,2,..., n öÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
a =
ïÅ‚ śł
òÅ‚
ij
I =
ìÅ‚ ÷Å‚
n
ół0 dla i `" j
ïÅ‚ śł íÅ‚ Å‚Å‚
. . ... .
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 ... 1 ûÅ‚
Macierz transponowana do macierzy A wymiaru m×n to macierz wymiaru n×m, która powstaje z danej
macierzy przez zamianę wierszy z kolumnami (bez zmiany ich kolejności). Oznaczamy ją symbolem AT . Na
przykład:
a d
îÅ‚ Å‚Å‚
a b c
Å‚Å‚
ïÅ‚b śł
jeÅ›li A=îÅ‚ , to AT = e .
ïÅ‚d e f śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚c f ûÅ‚
Jeżeli spełniona jest równość A = AT , to macierz A jest kwadratową macierzą symetryczną (w takiej
macierzy mamy aij = a ). Na przykład:
ji
1
îÅ‚ -2 5 1
Å‚Å‚ îÅ‚ -2 5
Å‚Å‚
.
ïÅ‚-2 śł , T ïÅ‚-2 śł
A = 0 4 A = 0 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
5 4 3 5 4 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
T
Zachodzi oczywista równość: (AT ) = A .
Jeśli dla macierzy A zachodzi równość AT = -A, to mówimy, że A jest macierzą antysymetryczną.
II. Działania na macierzach.
Dodawanie macierzy jest określone tylko dla macierzy tego samego wymiaru:
.
A+B=[aij ]m×n + [bij ]m×n = [aij + bij ]m×n
1 3 2 2 - 1 3 3 2 5
Na przykÅ‚ad îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ .
+ =
ïÅ‚ śł ïÅ‚1 śł
0 1 - 1śł ïÅ‚ 1 0 1 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Dodawanie macierzy ma następujące własności:
- jest działaniem łącznym: A+(B + C) = (A + B) + C ,
- jest działaniem przemiennym: A+B = B + A ,
- elementem neutralnym dodawania macierzy jest macierz zerowa danego wymiaru: A+Åš = A ,
- do każdej macierzy A istnieje macierz przeciwna - A tego samego wymiaru taka, że A+(-A) = Ś .
1 3 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-1 -3 -2 0 0 0
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Na przykład .
+ =
ïÅ‚0 1 -1śł ïÅ‚ śł ïÅ‚0 0 0śł
0 -1 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Mówimy, że ze wzglÄ™du na powyższe wÅ‚asnoÅ›ci zbiór wszystkich macierzy danego wymiaru Mm×n z
działaniem dodawania stanowi grupę przemienną.
Mnożenie macierzy przez liczbę (rzeczywistą lub zespoloną) polega na wymnożeniu przez tę liczbę
każdego elementu macierzy:
k Å" A = k Å"[aij ]m×n = [kaij ]m×n .
Na przykład
2
îÅ‚ - 1 6 10 - 5 30
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
.
5 Å"
ïÅ‚0 4 - 3śł = ïÅ‚ śł
0 20 - 15
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące własności:
1o. Ä… Å" ( A + B) = Ä… Å" A + Ä… Å" B ,
2o. (Ä… + ² )Å" A = Ä… Å" A + ² Å" A ,
3o. (Ä…² )Å" A = Ä… Å"(² Å" A)
,
4o. 1Å"A = A.
i 1-i 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Ćwiczenie 1. Obliczyć 3A - 4B jeśli .
A=ïÅ‚ śł , B= ïÅ‚i
-1śł
ðÅ‚2 i ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Mnożenie macierzy przez macierz.
Działanie to jest wykonalne tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy
drugiej macierzy. W wyniku mnożenia tych macierzy otrzymujemy macierz mającą tyle samo wierszy co
pierwsza macierz i tyle kolumn, ile ma druga macierz:
,
A = [aij ]m×n , B = [bij ]n× p , A Å" B = C = [cij ]m× p
gdzie elementy cij iloczynu wyznaczane są według wzoru:
n
def
cij = Å"bkj = ai1 Å"b1 j + ai2 Å"b2 j + ... + ain Å"bnj ,
"aik
k =1
a więc element cij otrzymujemy sumując iloczyny odpowiednich elementów i-tego wiersza macierzy A i j-tej
kolumny macierzy B.
Przy mnożeniu macierzy wygodnie jest stosować tzw. schemat Falka, sporządzając prostą tabelę.
W lewym dolnym polu tabeli wpisujemy macierz A, a w prawym górnym
polu wpisujemy macierz B. Wynik otrzymujemy w prawym dolnym polu
tabeli, mając zawsze element cij na przedłużeniu i -tego wiersza macierzy A
oraz j -tej kolumny macierzy B.
2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
3
îÅ‚ - 1 2 0
Å‚Å‚
ïÅ‚- śł
Przykład. Pomnóżmy macierze A = 1 4 , B = .
ïÅ‚- 2 - 3 1 4
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
5 1
ðÅ‚ ûÅ‚
StosujÄ…c schemat Falka mamy:
3 - 1 2 0
A Å" B
- 2 - 3 1 4 0
îÅ‚ - 11 7 12
Å‚Å‚
ïÅ‚-11
śł
2 3 0 - 11 7 12 , a wiÄ™c AÅ" B = - 11 2 16 .
ïÅ‚ śł
- 1 4 - 11 - 11 2 16 13 - 8 11 4
ðÅ‚ ûÅ‚
5 1 13 - 8 11 4
3
îÅ‚ - 6 2 3 18 27
Å‚Å‚ , B = îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
PrzykÅ‚ad. Niech A = . Wtedy AÅ" B =
ïÅ‚- 2 4
śł ïÅ‚- 2 - 3
śł ïÅ‚-12 - 18
śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
(sprawdzić). Zauważmy ponadto, że w tym przypadku możemy też wyznaczyć iloczyn BÅ"A. Otrzymamy tutaj
0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
B Å" A = (zauważmy, że iloczyn dwóch niezerowych macierzy może być macierzÄ… zerowÄ…).
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0ûÅ‚
Uwaga. Mnożenie macierzy jest na ogół działaniem nieprzemiennym.
4
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚5śł
Ćwiczenie 2. Obliczyć AÅ"B i BÅ"A jeÅ›li A = [1 2 3] , B = .
ïÅ‚6śł
ðÅ‚ ûÅ‚
JeÅ›li macierz A ma wymiar m×n, wtedy
AÅ" In = Im Å" A = A
(macierz jednostkowa jest elementem neutralnym mnożenia macierzy).
Iloczyn macierzy przy założeniu jego wykonalności ma własność łączności oraz własność rozdzielności
względem dodawania:
(A Å" B)Å" C=A Å"(B Å" C) ,
A Å"(B+C)= A Å" B + A Å" C ,
(A+B)Å" C=A Å" C + B Å" C .
Ćwiczenie 3. Sprawdzić na wybranych przykładach, że zachodzą wzory:
T
(A+B) = AT + BT ,
T
(A Å" B) = BT Å" AT .
Sprawdzić, że macierz A+AT jest symetryczna, a macierz A - AT jest antysymetryczna, w przypadku, gdy
A jest macierzÄ… kwadratowÄ….
III. Wyznacznik macierzy kwadratowej.
Definicja 2. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A (o elementach rzeczywistych lub zespolonych)
nazywamy funkcjÄ™, oznaczonÄ… symbolem detA lub A , przypisujÄ…cÄ… danej macierzy liczbÄ™ (rzeczywistÄ…
lub zespoloną) w następujący sposób:
1o jeśli A = [a11], to detA = a11,
2o jeśli A jest stopnia n e" 2 , to
detA = (-1)1+1a11detA11 + (-1)1+2 a12detA12 + ... + (-1)1+n a1ndetA1n
gdzie A1k oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie 1-go wiersza i k-tej kolumny.
a b a b
îÅ‚ Å‚Å‚
W szczególności, gdy A= , to detA = = ad-bc .
ïÅ‚c dśł
c d
ðÅ‚ ûÅ‚
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
a22 a23 a21 a23 a21 a22
ïÅ‚a21 śł
Gdy A = a22 a23 , to detA = a11 - a12 + a13 .
a32 a33 a31 a33 a31 a32
ïÅ‚a a32 a33 śł
ðÅ‚ 31 ûÅ‚
3 4
Na przykÅ‚ad: a) = 3Å" 5 - (-2) Å" 4 = 23,
- 2 5
4 3 - 2
2 0 1 0 1 2
b) 1 2 0 = 4 Å" - 3 Å" + (-2) Å" = 4 Å"10 - 3 Å" 5 + (-2)(-2) = 40 - 15 + 4 = 29 .
4 5 3 5 3 4
3 4 5
c) Dla wyznacznika stopnia trzeciego, wygodną do obliczeń jest też tzw. metoda Sarrusa.
Definicja 3. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy kwadratowej A stopnia n e" 2
nazywamy liczbÄ™:
Dij = (-1)i+j det Aij ,
gdzie Aij jest macierzą stopnia n-1 powstałą z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej
kolumny.
Jeżeli więc macierz A jest macierzą kwadratową stopnia ne"2, wtedy jej wyznacznik możemy obliczać
według wzoru:
detA = ai1Di1 + ai2Di2 + ...+ ainDin (1)
lub według wzoru:
detA = a1 j D1 j + a2 j D2 j + ...+anj Dnj (2)
Wzór (1) nazywamy rozwinięciem Laplace a wyznacznika względem i-tego wiersza, a wzór (2) rozwinięciem
Laplace a wyznacznika względem j-tej kolumny.
Obliczymy przykładowo wyznacznik stopnia 3 dokonując rozwinięcia Laplace a względem drugiego
wiersza:
4 3 - 2
3 - 2 4 - 2
1 2 0 = 1Å" (-1)2+1 + 2 Å" (-1)2+2 = -23 + 52 = 29 .
4 5 3 5
3 4 5
Własności wyznaczników:
1. detAT = detA .
det(AÅ" B) = detAÅ"detB
2. .
3. Jeśli w macierzy kwadratowej przestawimy dwa dowolne wiersze (lub kolumny), to wartość jej wyznacznika
zmieni siÄ™ na przeciwnÄ….
1 3 2 2 2 0
Na przykład 2 2 0 = - 1 3 2 (zamieniono tu miejscami wiersze I oraz II).
0 -1 2 0 -1 2
4. Wspólny czynnik występujący w pewnym wierszu (lub kolumnie) można wyłączyć przed wyznacznik.
1 3 4 1 3 4 1 3 2 1 3 2
Na przykÅ‚ad 2 6 4 = 2 Å" 1 3 2 = 2 Å" 2 Å" 1 3 1 = 1 3 1 .
0 1 2 0 1 2 0 1 1 0 4 4
5. Wyznacznik jest równy zero jeżeli:
a) elementami pewnego wiersza (kolumny) sÄ… same zera,
b) dwa wiersze (dwie kolumny) sÄ… identyczne,
c) dwa wiersze (dwie kolumny) majÄ… odpowiednie elementy proporcjonalne.
2 1 3 1 2 7 - 4 - 3 2
Na przykład 0 0 0 = 0, 4 3 2 = 0, 4 3 - 2 = 0.
1 2 4 1 2 7 8 6 - 4
6. Jeżeli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza dodamy odpowiednie elementy innego wiersza
pomnożone przez liczbę różną od zera, to wartość wyznacznika nie zmieni się (to samo dotyczy kolumn).
2 3 1
2 3 1 2 1 1
2 1
1 1 - 2 = 1 1 - 2 = 1 0 - 2 = (-1) Å" = 1 .
1 0
Na przykład
0 0 - 1 0 0 - 1
2 2 - 5
(w + w (-2)) (k - k1 )
3 2 2
7. Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy znajdujące się pod główną przekątną są równe zero, to wartość
wyznacznika jest równa iloczynowi wyrazów z głównej przekątnej.
2 5 1 7
0 3 2 4
Na przykÅ‚ad = 2 Å" 3 Å" 1 Å" 2 = 12 .
0 0 1 - 8
0 0 0 2
Uwaga. Korzystając z przedstawionych własności wyznaczników, a szczególnie z własności (6), możemy
uprościć ich obliczanie przez uzyskanie w wybranym wierszu (lub kolumnie) możliwie jak największej ilości
zer.
Jeżeli detA = 0, to macierz kwadratową A nazywamy osobliwą. Jeżeli natomiast detA `" 0, to mówimy, że
macierz A jest nieosobliwa.
IV. Macierz odwrotna.
Definicja 4. Niech macierz A będzie kwadratową macierzą nieosobliwą stopnia n. Macierzą odwrotną
do macierzy A nazywamy taką macierz B, która spełnia warunek:
AÅ" B = B Å" A = In .
Macierz odwrotnÄ… do A oznaczamy symbolem A-1.
Istnieje kilka sposobów wyznaczania macierzy odwrotnej. Jeden z nich określa następujący wzór:
T
D11 D12 ... D1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
D21 D22 ... D2 n śł
1
,
-1
ïÅ‚ śł
A =
ïÅ‚ śł
det A . . ... .
ïÅ‚ śł
Dn1 Dn 2 ... Dnn ûÅ‚
ðÅ‚
gdzie elementy Dij oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy A. Aby więc wyznaczyć
macierz odwrotną do A należy utworzyć macierz dopełnień algebraicznych macierzy A, następnie ją
transponować i pomnożyć przez odwrotność wyznacznika macierzy A.
0 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Przykład. Niech A = 2 1 0 . Zauważmy, że detA = -5 . Oznaczmy przez [Dij ] macierz dopełnień
ïÅ‚-1 - 2 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
algebraicznych macierzy A. Mamy zatem:
îÅ‚ 1 0
- -21 0 -21 -12 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
- 2 1 1
ïÅ‚ śł
1
îÅ‚ - 2 - 3 1
Å‚Å‚ îÅ‚ - 3 - 1
Å‚Å‚
ïÅ‚- 1 1 T
ïÅ‚-
śł ïÅ‚-
śł
[Dij ] = -01 1 - -01 -12 śł = 3 1 - 1 , [Dij] = 2 1 2 ,
ïÅ‚ - 2 1 1
śł
ïÅ‚- 1 2 - 2śł ïÅ‚- 3 - 1 - 2śł
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ 1 1 - 0 1 0 1 śł
ïÅ‚ 1 0 2 0 2 1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1
îÅ‚ - 3 -1 0,2 0,6 0,2
Å‚Å‚ îÅ‚-
Å‚Å‚
T
1 1
ïÅ‚- śł ïÅ‚ śł
A-1 = [Dij] = - 2 1 2 = 0,4 - 0,2 - 0,4 .
det A 5
ïÅ‚- 3 -1 - 2śł ïÅ‚ śł
0,6 0,2 0,4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Poprawność obliczeń sprawdzamy wymnażając otrzymaną macierz odwrotną przez macierz A. Powinniśmy
otrzymać macierz jednostkową.
Dla macierzy nieosobliwych drugiego stopnia można łatwo zapamiętać procedurę jej odwracania:
a b d
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ - b
Å‚Å‚
1
jeżeli A = , to A- 1 =
ïÅ‚c dśł det A ïÅ‚- c a śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Dla macierzy nieosobliwych zachodzi równość:
-1
(AÅ" B) = B-1 Å" A-1 .
1 3 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ i B = îÅ‚ Å‚Å‚ .
Sprawdzić tę równość na przykładzie macierzy: A =
ïÅ‚2 1śł ïÅ‚1 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Definicja 5. Przekształceniami elementarnymi macierzy są
1. Pomnożenie dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera.
2. Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn).
3. Dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) elementów innego wiersza (innej kolumny)
pomnożonych przez liczbę różną od zera.
Macierz B otrzymaną z macierzy A przez wykonanie skończonej ilości przekształceń elementarnych
nazywamy macierzą równoważną macierzy A, co zapisujemy symbolicznie: A <" B.
W każdej macierzy A wymiaru m×n możemy wyodrÄ™bnić pewnÄ… liczbÄ™ tzw. minorów, czyli
podwyznaczników stopnia s d" min(m, n). Na przykÅ‚ad w macierzy wymiaru 3×4 możemy wyodrÄ™bnić 4 minory
stopnia trzeciego (wykreślając za każdym razem inną kolumnę), 18 minorów stopnia drugiego i 12 minorów
stopnia pierwszego (są to poszczególne elementy tej macierzy).
a b c d
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚e f g hśł
ïÅ‚ śł
p q r s
ðÅ‚ ûÅ‚
Definicja 6. RzÄ™dem macierzy A wymiaru m×n nazywamy liczbÄ™ równÄ… maksymalnemu ze stopni
minorów danej macierzy różnych od zera.
Rząd macierzy A będziemy zapisywali symbolicznie: r(A) (lub też rank(A) ).
2 3 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 śł
Na przykład jeśli A = 2 5 , to r(A) = 3 , ponieważ det A = 12 `" 0 (jest niezerowy minor stopnia
ïÅ‚0 0 3śł
ðÅ‚ ûÅ‚
trzeciego i nie ma niezerowych minorów wyższego stopnia). A
atwo zauważyć z kolei, że
2 2 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚
2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 0 0 3 2 1 3 2 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
r = 2, r 3 = 1, r[1 2 0 5]= 1, r = 4, r = 1
ïÅ‚0 0 2 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚
ðÅ‚0 1ûÅ‚ ðÅ‚0 0 0 0śł
ûÅ‚
ïÅ‚4śł
ïÅ‚0 0 0 2śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Uwaga. Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy, stąd też macierze równoważne mają ten
sam rzÄ…d.
W celu wyznaczenia rzędu dowolnej macierzy, dogodnie jest przekształcić ją do postaci diagonalnej w
pierwszym najwyższym stopniem minorze. Robimy to za pomocą przekształceń elementarnych, nie
zmieniających rzędu macierzy.
1 2 1 3
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Przykładowo wyznaczmy rząd macierzy A = 2 6 0 3 .
ïÅ‚-1 0 - 3 - 6śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Przekształcając ją, mamy:
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł = śł = ïÅ‚0 śł =
r(A) = r 2 6 0 3 rïÅ‚0 2 - 2 - 3 r 2 - 2 - 3
ïÅ‚-1 0 - 3 - 6śł ïÅ‚0 2 - 2 - 3śł ïÅ‚0 0 0 0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
(w - 2w1, w3 + w1) (w3 - w ) (wykreslamy w3 )
2 2
1 2 1 3 1 0 3 6 1 0 3 6
îÅ‚ Å‚Å‚ = rîÅ‚ Å‚Å‚ = rîÅ‚ Å‚Å‚ = 2 .
= r
ïÅ‚0 2 - 2 - 3śł ïÅ‚0 2 - 2 - 3śł ïÅ‚0 1 -1 -1,5śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
(w1 - w2 ) (w2/2)
1 0
(W ostatniej macierzy, równoważnej poprzednim, pierwszy minor jest niezerowym minorem stopnia
0 1
drugiego, stÄ…d r(A) = 2).
Uwaga.
Wykorzystując przekształcenia elementarne macierzy, możemy w dość prosty sposób wyznaczyć macierz
odwrotną do każdej macierzy nieosobliwej. Należy po prostu po napisaniu danej macierzy dopisać jeszcze obok
niej macierz jednostkowÄ… tego samego stopnia. BÄ™dziemy mieli wiÄ™c blokowÄ… macierz wymiaru n × 2n .
Następnie wykonujemy na takiej macierzy przekształcenia elementarne  tylko na wierszach  postępując w
ten sposób, aby daną macierz doprowadzić do postaci jednostkowej. Wówczas pierwotny blok jednostkowy
przekształci się do macierzy odwrotnej względem wyjściowej macierzy.
przeksztalcenia elementarne
îÅ‚
[A I] Ò!Ò!Ò!Ò!Ò!Ò! ïÅ‚I A- 1Å‚Å‚
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
wykonywane na wierszach
Zadanie. Rozwiązać dane równanie macierzowe:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ 4 3 0 2 öÅ‚T = 2 5
îÅ‚ Å‚Å‚ .
Å" X +
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚3 1śł
ðÅ‚2 1ûÅ‚ ðÅ‚1 1ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozwiązanie: Na początek wykonujemy transponowanie po obu stronach równości i otrzymujemy
4 3 0 2 2 5 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚ Å" X + îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚T = îÅ‚ Å‚Å‚
= . Z kolei przenosimy na prawÄ… stronÄ™ wolnÄ… macierz znajdujÄ…cÄ… siÄ™ po
ïÅ‚2 1śł ïÅ‚1 1śł ïÅ‚3 1śł ïÅ‚5 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
lewej stronie równości i odejmujemy od macierzy znajdującej się z prawej strony:
4 3 2 3 0 2 2 1 4 3 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ Å" X = îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ Å" X = îÅ‚ Å‚Å‚
z niewiadomÄ… macierzÄ… X,
- = . Mamy zatem równanie
ïÅ‚2 1śł ïÅ‚5 1śł ïÅ‚1 1śł ïÅ‚4 0śł ïÅ‚2 1śł ïÅ‚4 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
która jest macierzÄ… wymiaru 2 × 2 i którÄ… w tym przypadku wyliczymy mnożąc obie strony równania przez
macierz odwrotną do macierzy znajdującej się przy X. Mnożenie to należy wykonać z prawej strony po obu
4 3
îÅ‚ Å‚Å‚
stronach równania ze względu na nieprzemienność mnożenia macierzy. Macierzą odwrotną do macierzy
ïÅ‚2 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1
îÅ‚ - 3 0,5 1,5
Å‚Å‚ îÅ‚- Å‚Å‚
1
jest macierz - = .
2 ïÅ‚- 2 4 śł ïÅ‚ śł
1 - 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4 3 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ Å" X = îÅ‚ Å‚Å‚
,
ïÅ‚2 1śł ïÅ‚4 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚- 0,5 1,5 4 3
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ Å" X = îÅ‚- 0,5 1,5 2 1
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Å" Å" ,
ïÅ‚ śł ïÅ‚2 śł ïÅ‚ śł ïÅ‚4 śł
1 - 2 1 1 - 2 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚- 0,5 1,5 2 1 + 6 - 0,5 + 0
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-1
Å‚Å‚
I Å" X = Å" = ,
ïÅ‚ śł ïÅ‚4 śł ïÅ‚ śł
1 - 2 0 2 - 8 1 - 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
5
îÅ‚ - 0,5
Å‚Å‚
X = .
ïÅ‚- 6 1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚