MACIERZE I WYZNACZNIKI
Zad.1 Dane sÄ… macierze
1 0
îÅ‚ - 2
Å‚Å‚
2
îÅ‚ -1 0 1 5 3
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 śł
A = B =
ïÅ‚ ïÅ‚5 -1 0śł C = ïÅ‚ 3 2 śł
ðÅ‚- 4 0 3śł ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
ïÅ‚
ðÅ‚4 0 2 śł
ûÅ‚
Wyznaczyć macierze A + B , (A + B)+ C , 5A, A - 3B , 4A + 2C , AÅ" B , B Å" C
Zad. 2 Dane sÄ… macierze
2
Å‚Å‚ îÅ‚ - 9
îÅ‚ -1 0 3 0
Å‚Å‚ îÅ‚ - 2 0
Å‚Å‚
A = B = C =
ïÅ‚3 1 5śł ïÅ‚6 4 śł ïÅ‚1 5 -1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Wyznaczyć o ile istniejÄ… macierze AÅ" B , B Å" C , C Å" A , A Å" C + B Å" C .
Zad. 3 Dla macierzy
0
îÅ‚ - 2 3 3 0 -1
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
4
îÅ‚ - 2 0
Å‚Å‚
ïÅ‚3 ïÅ‚0 śł
A = -1 -1śł B = - 2 1 C =
ïÅ‚0 5 - 2śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ ïÅ‚
ðÅ‚1 2 5 śł ðÅ‚1 2 3 śł
ûÅ‚ ûÅ‚
Wyznaczyć o ile istniejÄ… macierze AT , AÅ" B ,C Å" A , A Å" C + B Å" C , C Å" AT , AT Å"BT
Zad.4 Obliczyć wyznaczniki dla każdej z macierzy
1 0 3 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
3
îÅ‚ - 2 - 2 1 1
Å‚Å‚ îÅ‚ - 4
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
2 12 3 1 9 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚0 śł
ïÅ‚ śł
A = B = 1 2 0 C = 2 5 E =
ïÅ‚1 - 7śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 0 6 5
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚-1 0 1
śł ïÅ‚ -1ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚3 0 śł
ðÅ‚-1 7 - 3 2 ûÅ‚
Zad.5 Wyznaczyć macierze odwrotne do macierzy
2 7 3 1 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 4 1 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 ïÅ‚0
A = B = C = 9 4śł D = 1 2śł
ïÅ‚1 0śł ïÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚- 2 3śł
ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚1 5 3ûÅ‚ ðÅ‚2 2 1ûÅ‚
Zad.6 Wyznaczyć elementy macierzy X , Y spełniające równanie
2 1 1 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ - 2 2 1 2 3
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Y
ïÅ‚3 2śł X = ïÅ‚3 4śł ïÅ‚0 1 śł ïÅ‚5 2śł = ïÅ‚4 5śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Zad.7 Wyznaczyć rzędy macierzy
2 1 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
2 3
îÅ‚ - 4 0 1
Å‚Å‚ îÅ‚ -1 0 2 1
Å‚Å‚
ïÅ‚3 2 1 3śł
ïÅ‚1 ïÅ‚
ïÅ‚ śł
A = 2 0 1śł B = 3 1 1 3 2śł C =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 2 0 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚-1 - 3 -1 1 0ûÅ‚
śł
ïÅ‚2 0 2 1śł
ðÅ‚0 2 1 2ûÅ‚ ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
1
UKA
ADY RÓWNAC
LINIOWYCH
Zad.1 Znajdz
rozwiązanie dla poniższych układów Cramera
x
Å„Å‚ - 2y + 3z = -7 x + 2y x
Å„Å‚ - z = 1
Å„Å‚ - 2y + 3z = -7
x + 7 y = 2
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
1) 3x + y + 4z = 5 3) 3x + y + z = 2 4) 3x + y + 4z = 5
òÅ‚2x - y = 9 2) òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
ół
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 5y + z = 18 x - 5z = 18 2x + 5y + z = 18
ół ół ół
Zad.2 Określ ilość rozwiązań oraz liczbę parametrów dla poniższych układów równań
y + z + 3t = 0
Å„Å‚
x
Å„Å‚ - y + 2z + t = 1
ôÅ‚
x
Å„Å‚ - 2y - z = 5 2x + y - z - 3t = 2
ôÅ‚ ôÅ‚
1) 2) 3x + y + z - t = 2 3)
òÅ‚3x - 6y - 2z = 10 òÅ‚ òÅ‚x - 2y + z + 2t = -1
ół
ôÅ‚ ôÅ‚
5x - y + 5z + t = 4
ół
ôÅ‚
2x + 3y + z + 3t = 1
ół
Zad.3 Rozwiąż układy równań
2x
Å„Å‚ - 3y = 8 x
Å„Å‚ - y - z = 0
3x
Å„Å‚ - y + z = 2
ôÅ‚ ôÅ‚
1) 2) x + y = -1 3) x + 4y + 2z = 0
òÅ‚6x - 2y + 2z = 1 òÅ‚ òÅ‚
ół
ôÅ‚ ôÅ‚
5x - y = 7 3x + 7 y + 3z = 0
ół ół
Zad.4. Rozwiąż układy równań
x + y
Å„Å‚ - 3z = -1 x + 2y + 3z - 4t = 4
Å„Å‚
x
Å„Å‚ - 2y + z + t =1
ôÅ‚2x + y - 2z =1 ôÅ‚
y - z + t = -3
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚x
1) 2) 3) - 2y + z - t = -1.
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
x + y + z = 3 x + 3y - 3t =1
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚x - 2y + z + 5t = 5
ół
ôÅ‚ ôÅ‚
x + 2y - 3z =1 7 y - 3z - t = 3
ół ół
Zad.5 Podaj liczbę rozwiązań układów w zależności od parametru m
x + 3y + 3z = mx mx + y + z = 1
Å„Å‚ Å„Å‚
(2m+1)x + (m-3)y = m+1
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
1) 2) 3x + y + 3z = my 3) x + y - z = m
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
(m+ 2)x - 2y = 2m
ół
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 3y + z = mz x - y + mz = 1
ół ół
2