MACIERZE I WYZNACZNIKI
DEFINICJA. Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporządkowanie każdej
uporządkowanej parze liczb naturalnych , , gdzie 1 , 1 dokładnie jednej
liczby .
Macierz zapisujemy zwykle lub , lub .
Gdy , to macierz jest kwadratowa, a liczba to stopień macierzy.
DEFINICJA. Jeśli oraz , to suma macierzy i to macierz
, gdzie .
DEFINICJA. Jeśli oraz , to różnica macierzy i to macierz
, gdzie .
DEFINICJA. Jeśli , to iloczyn macierzy przez liczbę to macierz
, gdzie .
DEFINICJA. Jeśli oraz , to iloczyn macierzy i to macierz
, gdzie .
UWAGA. Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
DEFINICJA. Macierz transponowana do macierzy to macierz
, gdzie .
DEFINICJA. Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa o elementach
1 0 & 0
1,
0, , to znaczy 0 1 & 0 .
0 0 & 1
WA
ASNOŚĆ. Jeśli jest macierzą kwadratową -tego stopnia, a jest macierzą jednostkową
-tego stopnia, to .
DEFINICJA. Wyznacznik macierzy kwadratowej to liczba det zdefiniowana
następująco:
1. gdy jest macierzą pierwszego stopnia, to det ;
2. gdy jest macierzą -tego stopnia i 2 (zakładamy, że umiemy liczyć wyznaczniki
macierzy stopnia 1), to
det det det 1 det ,
gdzie jest macierzą powstałą z macierzy przez skreślenie  tego wiersza oraz
-tej kolumny.
DEFINICJA. Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku to
taka macierz , że .
DEFINICJA. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy kwadratowej to
liczba 1 det .
TWIERDZENIE. Jeżeli det 0, to .
WA
ASNOŚCI WYZNACZNIKÓW. Zakładamy, że jest macierzą kwadratową stopnia .
1. det det .
2. det (rozwinięcie względem -tego wiersza).
3. det (rozwinięcie względem -tej kolumny).
4. Gdy zawiera wiersz (lub kolumnę) złożoną z samych zer, to det 0.
5. Jeśli macierz powstała z przez zamianę dwóch wierszy (lub kolumn) miejscami,
to det det .
6. Jeśli macierz powstała z przez dodanie do elementów dowolnego wiersza
odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolną stałą, to
det det (podobnie dla kolumn).
DEFINICJA. Minor stopnia macierzy (dla i jednocześnie ) to
wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia powstałej z przez skreślenie odpowiedniej
liczby wierszy i kolumn.
DEFINICJA. Rząd macierzy to najwyższy ze stopni niezerowych minorów tej macierzy.
WA
ASNOŚCI. Rząd macierzy nie zmieni się, gdy
1. do wszystkich elementów dowolnego wiersza dodamy odpowiednie elementy innego
wiersza pomnożone przez dowolną stałą (podobnie dla kolumn);
2. wszystkie elementy dowolnego wiersza (lub kolumny) pomnożymy przez dowolną
stałą różną od zera;
3. skreślimy wiersz (lub kolumnę) złożoną z samych zer;
Ponadto .