2011-10-22
ALGEBRA MACIERZY
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
1
PRZYKA
AD
Zakład produkcyjny produkuje wyroby w1, w2, w3,
z surowców s1,s2,s3,s4. Normy
zużycia surowców na jednostkę towaru podaje tabela
w1 w2 w2
s1 1 5 0
s2 4 2 1
s3 5 7 3
s4 0 5 2
TakÄ… tablicÄ™ nazywa siÄ™ macierzÄ…
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
2
1
2011-10-22
ð Def.MacierzÄ… liczbowÄ… o m wierszach i n kolumnach (lub typu mxn )nazywamy
prostokÄ…tnÄ… tablicÄ™ zawierajÄ…cÄ… m·n liczb. TablicÄ™ takÄ… zapisujemy w postaciach
następujących:
5ØNÜ11 5ØNÜ12 & 5ØNÜ15Ø[Ü
5ØNÜ21 5ØNÜ22 & 5ØNÜ25Ø[Ü
5Ø4Ü = = 5ØNÜ5ØVÜ5ØWÜ
& & & &
5ØZÜ×5Ø[Ü
5ØNÜ5ØZÜ1 5ØNÜ5ØZÜ2 & 5ØNÜ5ØZÜ5Ø[Ü
a
jk jest elementem macierzy leżącym w j-tym wierszu i k-tej kolumnie
" Jeśli m =n, to macierz A nazywamy macierzą kwadratową stopnia n,
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
3
Przykłady macierzy
1 -ð 3
éð Å‚ð
-ð macierz kwadratowa typu 2x2
Ä™ð3 4 Å›ð
ëð ûð
1 0 ... 0
éð Å‚ð
Ä™ð0 1 ... 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
-ð macierz jednostkow a stopnia n
Ä™ð Å›ð
... ... ... ...
Ä™ð Å›ð
ëð0 0 ... 1ûð
Macierz jednostkowÄ… stopnia n oznaczamy In
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
4
2
2011-10-22
Przykłady macierzy c.d.
0 ... 0
éð Å‚ð
Ä™ð0 ... 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
-ð macierz zerowa dowolnych rozmiarów
Ä™ð Å›ð
... ... ...
Ä™ð Å›ð
ëð0 ... 0ûð
2 0 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð3 -ð1 0 0Å›ð
macierz trójkątna dolna
Ä™ð Å›ð
-ð
Ä™ð Å›ð
4 7 2 0
Ä™ð Å›ð
ëð5 -ð 2 -ð 3 2ûð
główna przekątna
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
5
PRZYKA
ADY MACIERZY C.D.
2 1 -5 1 7
1 0 2 4 11
-5 2 3 -2 0 Macierz symetryczna
1 4 -2 -2 8
7 11 0 8 4
1 2 2 4 5 6
m i a s t a
1 0 10 21 13 6 22
2 10 0 39 14 11 10
3 21 39 0 5 8 4
4 13 14 5 0 5 6
5 6 11 8 5 0 15
6 22 10 4 6 15 0
o d l e g Å‚ o Å› c i
m
i
a
s
t
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
a
6
3
2011-10-22
Działania na macierzach
Def. Dodawanie i odejmowani e macierzy A, B tych samych typ ów :
[ða ]ðÄ…ð[ðb ]ð=ð[ða Ä…ð ]ð=ð A Ä…ð B
b
ij ij ij ij
Dodawanie macierzy jest przemienne i Å‚Ä…czne
Przykład
2 -ð1 0 -ð 2 3 2
éð Å‚ð éð Å‚ð
=ð
Ä™ð1 3 3Å›ð +ð Ä™ð
1 -ð 4 -ð 6Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
7
Działania na macierzach cd.
ð Mnożenie macierzy A przez liczbÄ™ c
c×ðA =ð c×ð[ðaij]ð=ð[ðc×ðaij]ð
PRZYKA
AD
-ð 3 3 3×ð (-ð3) 3×ð3
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
3×ðÄ™ð 0 -ð 4Å›ð =ð 3×ð1 3×ð (-ð4)Å›ð =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
2 -ð 6ûð ëð 3×ð 2 3×ð (-ð6)ûð
ëð
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
8
4
2011-10-22
Działania na macierzach cd.
Def.MacierzÄ… transponowanÄ… do 5Ø4Ü = 5ØNÜ5ØVÜ5ØWÜ 5ØZÜ ×5Ø[Ünazywamy macierz
5Ø4Ü5ØGÜ = 5ØNÜ5ØVÜ5ØWÜ 5Ø[Ü×5ØZÜ.
" Przykład
1 2
éð Å‚ð
T
1 3 5
éð Å‚ð
Ä™ð3
Ä™ð2 4 6Å›ð =ð Ä™ð 4Å›ð
Å›ð
ëð ûð
Ä™ð Å›ð
ëð5 6ûð
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
9
j-ta kolumna
i-ty wiersz
5Ø7Ü5ØRÜ5ØSÜ. Niech 5Ø4Ü = 5ØNÜ5ØVÜ5ØWÜ 5ØZÜ×5Ø[Ü, 5Ø5Ü = 5ØOÜ5ØWÜ5ØXÜ 5Ø[Ü×5Ø_Ü, tj. liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy
B. Wówczas 5Ø4Ü " 5Ø5Ü = 5Ø6Ü = 5ØPÜ5ØVÜ5ØWÜ , gdzie
5ØZÜ×5Ø_Ü
5Ø[Ü
5ØPÜ5ØVÜ5ØWÜ = 5ØNÜ5ØVÜ15ØOÜ15ØWÜ + 5ØNÜ5ØVÜ25ØOÜ25ØWÜ + ï" + 5ØNÜ5ØVÜ5Ø[Ü 5ØOÜ5Ø[Ü5ØWÜ = 5ØNÜ5ØVÜ5ØYÜ5ØOÜ5ØYÜ5ØWÜ ; i=1, 2, & ,m; j=1, 2, & ,r.
5ØYÜ=1
( iloczyn i-tego wiersza przez j-tÄ… kolumnÄ™)
u
Mnożenie macierzy jest łączne ale nieprzemienne. Jeśli AB istnieje, to BA niekoniecznie, a jeśli
nawet istnieją oba iloczyny , to na ogół nie są równe. Zawsze można mnożyd przez siebie
macierze kwadratowe tego samego stopnia
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
10
5
2011-10-22
Mnożenie macierzy - przykład
1 2
éð Å‚ð
3 0 2
éð Å‚ð
Ä™ð3 =ð
Ä™ð2 1 -ð1Å›ð ×ð Ä™ð -ð 2Å›ð
Å›ð
ëð ûð
Ä™ð Å›ð
ëð0 -ð 2ûð
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
11
Def.Wyznacznik macierzy kwadratowej det A, oznaczany jako
określa się następująco:
jeżeli stopień macierzy n=1, to
natomiast dla n>1:
gdzie W1k oznacza wyznacznik macierzy powstałej poprzez usunięcie z macierzy A
wiersza 1 i kolumny k. W ogólnym przypadku wartość wyznacznika W można
wyznaczyć zastępując w powyższej definicji wiersz 1, dowolnym wierszem lub
dowolnÄ… kolumnÄ… macierzy A.
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
12
6
2011-10-22
PRZYKA
ADY
det [5] = 5, det [-3] =-3
Jeśli
a11 a12
éð Å‚ð
A =ð
Ä™ða a22 Å›ð
ëð 21 ûð
a11 a12
det A =ð =ð a11a22 -ð a12a21.
a21 a22
to
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22 =ð a11a22a33 +ð a12a23a31 +ð a13a21a32 -ð a13a22a31 -ð a11a23a32 -ð a12a21a33
a31 a32 a33 a31 a32
+
Jest to tzw.schemat Sarrusa
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
13
WA
ASNOŚCI WYZNACZNIKÓW
det AT =ð det A
1. ,
2. Jeśli A zawiera wiersz(kolumnę) składającą się z samych
zer, to det A=0,
3.Wspólny czynnik elementów dowolnego wiersza(kolumny) można
wyjÄ…c przed znak wyznacznika,
4. Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny), to wyznacznik
zmieni znak,
5.Jeżeli macierz A ma dwa wiersze (kolumny) proporcjonalne,
to det A= 0,
6.Wyznacznik nie ulegnie zmianie, gdy do dowolnego wiersza
(kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez
dowolnÄ… liczbÄ™,
det(A×ð B) =ð det A×ðdet B.
7.
PRZYKA
ADY
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
14
7