îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2
1 2 0 -8 1 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
A = B = C = D = 0 1 0
-3 0 4 12 3 -1 2
5 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 1 0 2 0 1
3 -1 1 0 0 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 -1 0 -2 0 1 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
E = 2 -3 F = G = H = 0 1 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1 4 0 1 0 -3 0
2 0 1 3 -5 1
6 3 0 1 2 0 0 1
1
A + B, 2A - 3B, A, 3C, A · B, B · C, D · E, E · C, AT , CT , DT + D, DT · H.
2
A + C, 2C - ET , H · F, HT · D, (F · G) · H, CT · HT .
1 n 1 m cos Ä… - sin Ä… cos ² - sin ²
a) · ; b) · ;
0 1 0 1 sin Ä… cos Ä… sin ² cos ²
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 0 3 3 0 1 3
0 1 0 2 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
c) 2 -3 0 · 2 2 ; d) 5 0 · ;
1 3 5 7 9
3 -5 1 0 3 3 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 1 -1 7 -2 3 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 0 0 1 1 0 0 -5 -3 -4 4 11 0 3 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
f) · ; g) · .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1 3 0 0 1 -1 5 1 4 -3 5 4 3 0
0 0 3 1 0 0 -1 1 -16 -11 -15 14 22 2 9 8
3 5 n n
1 -2 4 -1 2 -1 cos Ä… - sin Ä…
a) ; b) ; c) ; d) ;
3 -4 5 -2 3 -2 sin Ä… cos Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚3 îÅ‚ Å‚Å‚n
1 1 1 . . . 1 1 1 0 0 . . . 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 1 . . . 1 0 1 1 0 . . . 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
e) 0 0 0 . . . 1 ; f) 0 0 1 1 . . . 0 0 ;
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 . . . 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚T
1 -2 2
3 0 2 0 -2 0 -3
ïÅ‚ śł
2 -1 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
g) 2 · 0 1 2 1 · + 0 6 -3 .
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 1 -2
2 3 0 0 -3 -2 0
2 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚-1 îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 2 0 1 -2
T
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 0 1 2 -1 -2 0 -3 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
· + .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-1 2 0 0 -1 1 0 6 -3 1 0
0 0 0 1 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
3 -4 5 1 2 2
ïÅ‚ śł
2 3 1 1 -1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
a) , b) 2 -3 1 , c) 2 1 -2 , d) .
ðÅ‚ ûÅ‚
4 3 1 -1 1 -1
3 -5 -1 2 -2 1
1 -1 -1 1
1 5 1 4 1 2 0 2
a) · ; b) · ;
0 3 0 1 4 3 5 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 0 3 4 0 -2 3
0 1 0 2 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
c) 4 -3 0 · 2 -1 ; d) 0 0 · ;
1 3 -5 3 2
3 -2 1 0 3 -3 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 1 -1 1 -2 3 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 0 0 1 1 0 0 -5 -3 -4 4 1 0 3 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
f) · ; g) · .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1 3 0 0 1 -1 5 1 4 -3 5 4 3 0
0 0 3 1 0 0 -1 1 4 0 0 1 2 2 5 0
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4 . . . n - 1 n
1 1 1 . . . 1 1 1 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
0 1 2 3 . . . n - 2 n - 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 1 . . . 1 0 0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 1 2 . . . n - 3 n - 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚
a) 0 0 1 . . . 1 , b) 0 0 1 . . . 0 , c) .śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 0 . . . 1 2
0 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 1
0 0 0 0 . . . 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 1 2 3 -1 2
2 1 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a) · AT = , b) 1 2 4 · X = 3 -1
1 0 1 0
3 2 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1
T 1 2 1 1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
A - CT A B2, A = 1 3 , B = , C =
3 4 0 5 1
-2 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚T
0 0 2 1 0 2 T
1 1 0 0 1 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a) X 0 2 0 = 2 0 1 , b) X = .
0 2 0 1 0 1 1 0
2 0 0 1 1 1
(ABC)T = CT BT AT ,
A B C
(A Ä… B)2 = A2 Ä… 2AB + B2,
A B
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 3 1 2 3 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a) 2 4 0 · X = -5 , b) -1 0 2 · X = 3 3 .
5 -1 1 1 3 3 3 4 6
A
1 2 1 2
· A = A · .
0 1 0 1
1 -2 -3 0
a) X - iXT = , b) X · XT - X2 = .
-3 2 1 -1
1 -1
A =
0 2
A2 - 3A + 2I = 0
1
A-1 = (3I - A) ,
2
I
A A - AT .
2
P P = P.
 P A
P Q = P + AP - P AP
P Q = I - aP
a
a = 1 Q-1 = I + P.

1 - a
B BC C
a) x + y + 2z = 1 b) - 2x + 3y + 3z = -9 c) x + y + z = 4
3x - y + z = -1 3x - 4y + z = 5 x + z = 5
-x + 3y + 4z = 1 - 5 x + 7y + 2z = -14 2x + 5y + 2z = 5,
d) x1 + 3x2 + x3 = 4 e) 3x1 + x2 - 2x3 = 11
-3x1 + x2 = 4 - 2x1 + x2 + 3x3 = -5
2x1 + 3x2 + x3 = 3, 2x1 + x2 - x3 = 8,
f) x1 - 3x2 - x4 = -1 g) x1 - x2 + x3 - 2x4 + x5 = 0
-x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3 3 x1 + 4x2 - x3 + x4 + 3x5 = 1
2x1 - 6x2 + x3 - x5 = -1 x1 - 8x2 + 5x3 - 9x4 + x5 = -1
-x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 + x5 = 6, 2 x1 - 9x2 + 6x3 + 11x4 + 2x5 = -1
h) 6 x1 - 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 i) 2 x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 2
3 x1 - 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3 6 x1 - 3x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5 = 3
3 x1 - 2x2 - 2x3 + x4 = -7 6 x1 - 3x2 + 4x3 + 8x4 + 13x5 = 9
9 x1 - 6x2 + 3x3 + 3x4 + 2x5 = 2 4 x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 = 1
j) x1 - x2 + 2x3 - x4 + x5 = 0 k) 2x1 + x2 - x3 + x4 - x5 = 1
x1 + 2x2 - x3 + x4 + 2x5 = 1 x1 - 2x2 + x3 - x4 - x5 = -1
x1 + 2x3 - x4 = -1 5x1 - 2x2 - 4x5 = 0
2x + 3y + 2z - t = 3
2x + y + z + 2s + 3t = 6
l) 3x - z + s + t = 3
y + 4s + t = 1
2x + y + z - 2s + 5t = 8
1 3 i 1 - i sin Ä… cos Ä… z -z
, , , ) ,
2 4 2i 1 - cos Ä… sin Ä… z z
1 1 1 0 1 1 a a a 1 i 1 + i
-1 0 1 , 1 0 1 , -a a x , -i 1 0 ,
-1 -1 0 1 1 0 -a -a x 1 - i 0 1
3 1 1 1
1 1 1
1 3 1 1
2Ä„ 2Ä„
1 É É É = cos sin ; ,
3 3
1 1 3 1
1 É2 É
1 1 1 3
0 0 i 0 1 6 9 4 3 8
1 -1 1 -1
0 0 0 0 2 9 0 6 0 0
1 i -1 -i
, 0 0 2 i 0 , 4 2 5 0 7 .
1 1 1 1
cos x - sin x 0 0 0 2 0 7 0 1
1 2 4 8
sin x cos x 2 i 0 8 0 5 0 0
A A-1
A
2 2 2 4x - 2 1 x 2 4x
2 2 2 4 -1 1 -2 -4
= 0, = 0.
3 x + 2 3 6 1 -1 x2 - 2 x + 3
x + 1 4 4 8 -1 1 -2 -4
1 2 3 · · · n 1 2 2 · · · 2
0 0 0 · · · 0 1
-1 0 3 · · · n 2 1 2 · · · 2
0 0 0 · · · 1 0
-1 -2 0 · · · n 2 2 1 · · · 2
, , .
1 0 0 · · · 0 0
-1 -2 -3 · · · 0 2 2 2 · · · 1
 A2 = 8A-1; A3 - A = 0; AT = 4A-1?
îÅ‚ Å‚Å‚
1 3 0
2 4 cos Ä… - sin Ä…
ðÅ‚ ûÅ‚
, , Ä… " R; 1 4 0 .
1 3 sin Ä… cos Ä…
1 1 1
-x a b c 1 1 2 3 1 + x 1 1 1
a -x c b 1 2 - x2 2 3 1 1 + x 1 1
a) ; b) ; c)
b c -x a 2 3 1 5 1 1 1 - z 1
c b a -x 2 3 1 9 - x2 1 1 1 1 - z
A B
a) det (A + B) = det A + det B;
b) det (A) =  det A,  " R
c) det (A2) = det A det(AT ).
1 x1 x2 · · · xn-1
1 1
1 x2 x2 · · · xn-1
2 2
Vn = = (xk - xl).
1d"l1 xn x2 · · · xn-1
n n
1 1 1 · · · 1
1 2 3 . . . n
1 2 4 · · · 2n-1 "
1 22 32 · · · n2 "
1 3 9 · · · 3n-1 = k! ; b) = k! .
a)
k=1 k=1
1 2n 3n · · · nn
1 n n · · · nn-1
A = [aij]
a11 -  a12 · · · a1n
a21 a22 -  · · · a2n
É () = .
an1 an2 . . . ann - 
n