Macierze i wyznaczniki


Macierze
Definicja (macierzy)
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru w k , gdzie w, k N , nazywamy prostokątną tablicę złożoną
z w k liczb rzeczywistych (zespolonych) aij dla i = 1,2,K, w , j = 1,2,K, k ustawionych w w wierszach i k
kolumnach:
a11 a12 K a1k
ł
ęa a22 K a2k ś
21
ę ś
ę M M M M ś
ę ś
aw2 K awk
aw1
Oznaczenie macierzy:
duże litery np. A, B, X lub A , B , X
wk wk wk
[aij ]lub [aij]
wk
UWAGA: Rozważa się także, macierze, których elementami są funkcje.
Definicja (równości macierzy)
Macierze [aij] , [bij] są równe
mn pq
wtedy i tylko wtedy, gdy
Mają ten sam wymiar ( m = p i n = q) oraz aij = bij , dla każdego 1 Ł i Ł m , 1 Ł j Ł n
Definicja (rodzaje macierzy)
0 0 L 0
ł
ę0 0 L 0ś
ę ś
1. Macierz zerowa 0 =
wk
ę ś
M M M
ę0 0 L 0ś

2. Macierz kwadratowa  macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn( w = k )
Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny tworzą główną przekątną
macierzy
Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej
3. Macierz trójkątna dolna  macierz kwadratowa stopnia w ł 2, w której wszystkie elementy nad
główną przekątną są równe 0
a11 0 0 L 0
ł
ęa a22 0 L 0 ś
21
ę ś
ę ś
a31 a32 a33 L
ę ś
M M M M M
ę ś
ęaw1 aw2 aw3 L aww ś

4. Macierz trójkątna górna  macierz kwadratowa stopnia w ł 2 w której wszystkie elementy pod
główną przekątną są równe 0
5. Macierz diagonalna  macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy pod główną przekątną i
nad główną przekątną są równe 0
a11 0 0 L 0
ł
ę ś
0 a22 0 L 0
ę ś
ę 0 0 a33 L
ś
ę ś
M M M M M
ę ś
ę
0 0 0 L aww ś

1
6. Macierz jednostkowa  macierz diagonalna, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są
równe 1. Oznaczenie: I, I
n
1 0 0 L 0
ł
ę0 1 0 L 0ś
ę ś
ę ś
I= 0 0 1 L
ęM M M M Mś
ę ś
ę0 0 0 L 1ś

Działania na macierzach
Definicja (suma macierzy)
Niech A , B , będą macierzami tego samego wymiaru
A+B=
a11 a12 K a1k b11 b12 K b1k a11 + b11 a12 + b12 K a1k + b1k
ł ł ł
ęa a22 K a2k ś ęb b22 K ab2k ś ęa + b21 a22 + b22 K a2k + b2k ś
21 21 21
ę ś ę ś ę ś
= + =
ę M M M M M M M M ś ę M M M M ś
ś ę
ę ś ę ś ę ś
aw2 K awk bw1 bw2 K bwk aw1 + bw1 aw2 + bw2 K awk + bwk
aw1
Definicja (iloczyn macierzy przez liczbę)
Niech A , będzie macierzą wymiaru w k oraz niech b będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną.
a11 a12 K a1k b a11 b a12 K b a1k
ł ł
ęa a22 K a2k ś ęb a21 b a22 K b a2k ś
21
ę ś ę ś
b A = b =
ę M M M M ś ę M M M M ś
ę ś ę ś
aw2 K awk b aw1 b aw2 K b awk
aw1
Definicja (iloczyn macierzy)
Niech macierz A będzie wymiaru p k a macierz B wymiaru k n .
(Niech liczba kolumn pierwszej macierzy będzie równa liczbie wierszy drugiej macierzy)
a11 a12 K a1k
ł b11 b12 K b1n
ł
ęa a22 K a2k ś
ęb b22 K a2n ś
21
21
ę ś
ę ś
A B =
ę ś
M M M M ę ś
M M M M
ę
ś
ap2 K apk ś ę
bk K bkn
ęap1 ś
bk1 2

a11b11 + a12b21 +L + a1kbk1 a11b12 + a12b22 + L+ a1kbk 2 K a11b1n + a12b2n + L+ a1kbkn
ł
ę
a21b11 + a22b21 + L+ a2kbk1 a21b12 + a22b22 +L + a2kbk 2 K a21b1n + a22b2n +L + a2kbkn ś
ę ś
=
ę ś
M M M M
ę ś
ęa b11 + ap2b21 + L+ apkbk1 ap1b12 + ap2b22 + L+ apkbk K ap1b1n + ap2b2n + L+ apkbkn ś
p1 2

Definicja (macierz transponowana)
a11 a12 K a1k
ł
ęa a22 K a2k ś
21
ę ś
Niech A = , będzie macierzą wymiaru w k .
ę M M M M ś
ę ś
aw2 K awk
aw1
a11 a21 L aw1
ł
ęa a22 L aw2 ś
12
ę ś
Macierz transponowana AT jest określona następująco: AT =
ę M M M M ś
ę ś
a2k L awk
a1k
2
Własności działań na macierzach
Niech A, B, C - macierze podanego wymiaru, a, b - liczby
1. A + B = B + A
wk wk wk wk
2. (A + B ) + Cwk = B + (A + Cwk )
wk wk wk wk
3. A + 0wk = 0wk + A = A
wk wk wk
4. A + (-A ) = 0
wk wk
5. a (A + B ) = a B + a A
wk wk wk wk
6. (a + b ) A = a A + b A
wk wk wk
7. (a b ) A = a (b A )
wk wk
8. (A B )Ckl = A (B Ckl )
mn nk mn nk
9. A (B + Cnk ) = A B + A Cnk
mn nk mn nk mn
10. (A + B )Cnk = A Cnk + A Cnk
mn mn mn mn
11. A (a B ) = (a A )B = a (A B )
mn nk mn nk mn nk
12. A I = I A = A
mn n m mn mn
13. (A + B )T = (A )T + (B )T
wk wk wk wk
14. (A Bkn )T = (Bkn )T (A )T
wk wk
15. ((A )T )T = A
wk wk
UWAGA:
1. Mnożenie macierzy nie jest przemienne
2. A A A A = An
14424L
4A
3
n
Definicja (wyznacznika)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A jest liczba det A przyporządkowana macierzy kwadratowej A
według następującej reguły:
1. Jeśli A = [a11] jest macierzą stopnia 1, to det A = a11
a11 a12 a13 L a1n
ł
ęa a22 a23 L a2n ś
21
ę ś
ę ś
2. Jeśli A = a31 a32 a33 L a3n jest macierzą stopnia n ł 2 , to
ę ś
M M M M M
ę ś
ęan1 an2 an3 L ann ś

a22 a23 L a2n a21 a23 L a2n
ł ł
ęa a33 L a3n ś ęa a33 L a3n ś
ś ś
det A = (-1)1+1 a11 detę 32 + (-1)1+2 a12 detę 31
ę M M M M ś ę M M L M ś
ę ś ę ś
an L ann an3 L ann
an1 2 an1
a21 a22 L a2(n-1)
a21 a22 L a2n ł
ł
ęa a32 L a3(n-1) ś
ęa a32 L a3n ś
ś
ś
+ (-1)1+3 a13 detę 31 +L+ (-1)1+n a1n detę 31
ę
ę M M L M ś M M L M ś
ę ś
ę ś
an2 L ann
ęa an2 L an(n-1) ś
n1
an1

w skrócie wyznacznik macierzy stopnia n ł 2 określamy następująco:
det A = (-1)1+1a11 det A11 + (-1)1+2 a12 det A12 + L + (-1)1+n a1n det A1n ,
gdzie Aij oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i - tego wiersza i j -tej kolumny.
3
UWAGA
Inne oznaczenie wyznacznika macierzy A
|A|
det[aij ]
a11 a12 K a1n
ł
ęa a22 K a2n ś
21
ę ś
det
ę M M M M ś
ę ś
an2 K ann
an1
a11 a12 K a1n
a21 a22 K a2n

M M M M
an1 an2 K ann
Przykład
2 - 4 3
ł
ę0
Obliczyć wyznacznik macierzy: 5 3ś
ę ś
ę ś
1 - 2 6
2 - 4 3
5 3 0 3 0 5
0 5 3 = (-1)1+1 2 + (-1)1+2 (-4) + (-1)1+3 3
- 2 6 1 6 1 - 2
1 - 2 6
Obliczenia pomocnicze:
5 3
= (-1)2 5 det[6] + (-1)3 3 det[-2] = 5 6 - 3 (-2) = 30 + 6 = 36
- 2 6
0 3
= (-1)2 0 det[6] + (-1)3 3 det[1] = -3
1 6
0 5
= (-1)2 0 det[-2] + (-1)3 5 det[1] = -5
1 - 2
zatem
2 - 4 3
0 5 3 = 2 36 + (-1) (-4) (-3) + 3 (-5) = 72 -12 -15 = 45
1 - 2 6
Do zapamiętania
a11 a12
= a11 a22 - a12 a21
a21 a22
Do zapamiętania
Tzw. reguła Sarrusa
(dotyczy TYLKO wyznaczników stopnia trzeciego)
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - (a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21)
a31 a32 a33
a11 a12 a13
4
a21 a22 a23
Własności wyznaczników
1. Jeśli w wyznaczniku występuje kolumna (wiersz) zer, to wyznacznik jest równy zero.
2. Jeśli w wyznaczniku występują dwie jednakowe kolumny (wiersze), to wyznacznik jest równy zero
Ogólnie:
Jeśli w wyznaczniku występują dwie  proporcjonalne kolumny (wiersze), to
wyznacznik jest równy zero
3. Jeśli w wyznaczniku przestawione zostaną dwie kolumny (dwa wiersze) to wyznacznik zmieni się na
przeciwny.
4. Jeżeli do elementów pewnej kolumny wyznacznika dodane zostaną odpowiednie elementy innej
kolumny pomnożone przez stałą, to wyznacznik nie zmieni się. Analogicznie dla wierszy
Ogólnie:
Jeżeli do elementów pewnej kolumny wyznacznika dodana zostanie suma odpowiednich
elementów innych kolumn pomnożonych przez stałą, to wyznacznik nie zmieni się.
Analogicznie dla wierszy
5. Zachodzi równość
a11 a12 L b1 j + c1 j L a1n
a21 a22 L b2 j + c2 j L a2n
=
M M M M M M
an1 an2 L bnj + cnj L ann
a11 a12 L b1 j L a1n a11 a12 L c1 j L a1n
a21 a22 L b2 j L a2n a21 a22 L c2 j L a2n
= +
M M M M M M M M M M M M
an1 an2 L bnj L ann an1 an2 L cnj L ann
6. Zachodzi równość
a11 a12 L b a1 j L a1n a11 a12 L a1 j L a1n
a21 a22 L b a2 j L a2n a21 a22 L a2 j L a2n
= b
M M M M M M M M M M M M
an1 an2 L b anj L ann an1 an2 L anj L ann
7. Zachodzi równość
b a11 b a12 L b a1 j L b a1n a11 a12 L a1 j L a1n
b a21 b a22 L b a2 j L b a2n a21 a22 L a2 j L a2n
= bn
M M M M M M M M M M M M
b an1 b an 2 L b anj L b ann an1 an2 L anj L ann
8. Zachodzi równość: det AT =detA
Twierdzenie (rozwinięcie Laplace`a
Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n ł 2 . Niech liczby naturalne i, j będą ustalone
(1 Ł i Ł n ,1 Ł j Ł n ).Wtedy wyznacznik można obliczyć za pomocą jednego ze wzorów:
5
1. det A = (-1)i+1ai1 det Ai1 + (-1)i+2 ai2 det Ai2 + L + (-1)i+n ain det Ain ,
2. det A = (-1)1+ j a1 j det A1 j + (-1)2+ j a2 j det A2 j + L + (-1)n+ j anj det Anj
gdzie Aij oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i - tego wiersza i j -tej kolumny.
UWAGA
1. Wzór 1 nazywamy się rozwinięciem Laplace`a względem i-tego wiersza.
Wzór 2 nazywamy się rozwinięciem Laplace`a względem j-tej kolumny.
2. Liczbę Dij = (-1)i+ j det Aij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy
kwadratowej A .
Definicja (macierzy odwrotnej)
Niech macierz A będzie macierzą kwadratową stopnia n
Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A-1 , która spełnia warunek:
A A-1 = A-1 A = I
n
gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia n
n
Uwaga
1. Jeżeli istnieje macierz odwrotna do macierzy A, to macierz A nazywamy odwracalną i wówczas
det A ą 0 .
2. Macierz odwrotna jest określona jednoznacznie.
Fakt
A-macierz odwracalna det A ą 0
Twierdzenie
Niech A = [aij] - macierz stopnia n i det A ą 0 wtedy:
T
D11 D12 K D1n
ł
ęD D22 K D2n ś
1
21
ę ś
A-1 =
ę ś
det A M M M M
ęD D K D ś
n1 n2 nn
gdzie Dij oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy A
Zadanie
2 1 - 3
ł
ę0
Znalezć A-1 macierzy A = 4 - 2ś
ę ś
ę ś
3 - 5 -1
Odp.
ł
ę- 7 8 5ś
ę- 7
detA=2, A-1 = 3 2ś
2
ę ś
ę- 6 13 4ś
ę ś
2
6


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyklad 2 3 MACIERZE WYZNACZNIK UKLADY ROWNAN
Macierze i wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, lista zadań
macierze i wyznaczniki notatki z wykladu
1 Macierze i wyznaczniki
w macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki
3 Macierze i wyznaczniki
C 01 Macierze i wyznaczniki
Inf macierze wyznaczniki
Macierze wyznaczniki Wykład 3
Macierze, wyznaczniki, układy równań
Zadania macierze wyznacznik wzory Cramera
Wyznaczniki macierzy
9 Wyznacznik macierzy

więcej podobnych podstron