Algebra liniowa
Definicja 1.
Niech m i n będą liczbami naturalnymi. Macierzą prostokątną o m wierszach i n
kolumnach, nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb
naturalnych (i,j), gdzie iS
{1,2,& ,m}, jS
{1,2,& ,n}, liczbÄ™ aij.
Twierdzenie 1. (własności działań na macierzach)
1) A+B=B+A
2) (A+B)+C=A+(B+C)
3) A+0=A
4) k(A+B)=kA+kB
5) (AÿB)ÿC=Aÿ (BÿC)
6) Aÿ (B+C)=AÿB+AÿC
7) (A+B) ÿC=AÿC+BÿC
8) Aÿ0=0
9) 0ÿA=0
10) AÿI=IÿA=A
gdzie I oznacza macierz jednostkowÄ… a 0 macierz zerowÄ….
Rozpatrzmy macierz kwadratowÄ… stopnia n:
a11 a12 ... a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 ... a2n śł
21
ïÅ‚ śł
A =
ïÅ‚ śł
... ... ... ...
ïÅ‚ śł
an2 ... ann ûÅ‚
ðÅ‚an1
Z każdego wiersza macierzy A wybieramy po jednym elemencie tak, aby spośród
wybranych elementów żadne dwa nie należały do tej samej kolumny. Otrzymamy w ten
sposób n elementów, z których tworzymy iloczyn:
a1i Å" a2i Å"...Å" ani ,
1 2 n
pisząc jego czynniki w kolejności odpowiadającej numerom wierszy macierzy. Wówczas
drugie wskaz
niki określające numery kolumn tworzą jedną z możliwych permutacji liczb
1,2,& ,n. Jeżeli w dowolnej permutacji podzbioru liczb naturalnych występują liczby nie w
porządku naturalnym, to mówimy, że permutacja zawiera inwersję.
Definicja 2.
Niech k oznacza liczbę inwersji w permutacji i1,i2,& ,in. Wyrażenie
k
"(-1) Å" a1i Å" a2i Å"...Å" ani ,
1 2 n
1
MB
Algebra liniowa
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich możliwych permutacjach i1,i2,& ,in liczb
naturalnych 1,2,& ,n nazywamy wyznacznikiem macierzy A i oznaczamy symbolem detA.
Definicja 3.
Minorem Mij macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy wyznacznik macierzy
powstałej z macierzy A poprzez usunięcie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Definicja 4.
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij, które oznaczamy symbolem Dij,
nazywamy iloczyn (-1)i+j ÿMij.
Twierdzenie 2. (Laplace a)
Wyznacznik równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza
(kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego:
det A = ai1Di1 + ai2Di2 + ... + ain Din , 1 d" i d" n
lub
det A = a1 j D1 j + a2 j D2 j + ... + anj Dnj , 1 d" j d" n.
Twierdzenie 3.(własności wyznaczników)
1) Jeżeli jakikolwiek wiersz (lub kolumna) macierzy składa się z samych zer to jej
wyznacznik jest równy zero,
2) Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej,
3) Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej
wyznacznika,
4) Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy
zeru,
5) Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (danej kolumny) można
wyłączyć przed znak wyznacznika,
6) Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest
równy zero,
7) Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny)
dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
8) det A Å" B = det A Å" det B (twierdzenie Cauchy ego),
9) Suma iloczynów elementów pewnego wiersza (kolumny) i dopełnień
algebraicznych odpowiadających elementom innego wiersza (kolumny) jest równa
zero.
2
MB
Algebra liniowa
a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 ... a2n śł ïÅ‚a a22 ... a2n śł ïÅ‚
a21 a22 ... a2n śł
21 21
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10) detïÅ‚ + detïÅ‚ = detïÅ‚
śł śł śł
ïÅ‚ai1 ai2 ... ain śł ïÅ‚bi1 bi2 ... bin śł ïÅ‚ai1 + bi1 ai2 + bi2 ... ain + bin śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
an2 ... ann ûÅ‚ ðÅ‚an1 an2 ... ann ûÅ‚ ðÅ‚ an1 an2 ... ann ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚an1
Definicja 5.
Układ wektorów u1,u2 ,...,un nazywamy liniowo niezależnym, jeśli równanie:
Ä…1u1 + Ä…2u2 + ... + Ä…nun = 0
spełnione jest tylko w przypadku, gdy ą1 = ą2 = ... = ąn = 0 .
Układ wektorów u1,u2 ,...,un , który nie jest liniowo niezależnym, nazywamy liniowo
zależnym.
Definicja 6.
Rzędem macierzy nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn macierzy.
LiczbÄ™ tÄ™ oznaczamy symbolem rzA.
Twierdzenie 4.
Maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy jest równa maksymalnej liczbie
liniowo niezależnych wierszy tej macierzy.
Twierdzenie 5.
Rząd macierzy A jest równy stopniowi macierzy jednostkowej występującej w jej postaci
kanonicznej.
Twierdzenie 6.
Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni jej nieosobliwych podmacierzy.
Twierdzenie 7.
RzÄ…d macierzy nie ulega zmianie, gdy:
1) przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy,
2) do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnÄ™)
pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
3) pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) macierzy przez dowolną liczbę różną od
zera,
3
MB
Algebra liniowa
4) usuniemy z macierzy wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer,
5) transponujemy macierz.
Definicja 7.
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące działania:
1) przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy,
2) do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnÄ™)
pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
3) pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) macierzy przez dowolną liczbę różną od
zera.
Twierdzenie 8.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
Definicja 8.
Macierz kwadratowa A-1 stopnia n spełniająca warunek:
AÅ" A-1 = A-1 Å" A = I,
gdzie I jest macierzÄ… jednostkowÄ…, nazywamy macierzÄ… odwrotnÄ… do macierzy
kwadratowej A stopnia n.
Twierdzenie 9.
Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą, to istnieje do niej macierz
odwrotna A-1, przy czym
1
A-1 = Ad .
det A
Symbol Ad oznacza macierz dołączoną, czyli transponowaną macierz dopełnień
algebraicznych.
Twierdzenie 10.
Jeżeli A i B są nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia, to
-1
(A Å" B) = B-1 Å" A-1.
Twierdzenie 11.
Wyznacznik macierzy odwrotnej A-1 jest odwrotnością wyznacznika macierzy A, to jest
1
det A-1 = .
det A
4
MB
Algebra liniowa
Twierdzenie 12.
Macierz odwrotna do macierzy odwrotnej A-1 jest identyczna z danÄ… macierzÄ…, to jest
-1
(A-1) = A.
Twierdzenie 13.
Macierz transponowana macierzy odwrotnej równa jest macierzy odwrotnej do macierzy
transponowanej, to jest
T -1
(A-1) = (AT ) .
Układy równań można podzielić:
1) ze względu na liczbę rozwiązań
a. układy sprzeczne  zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym,
b. układy oznaczone  zbiór rozwiązań jest zbiorem jednoelementowy,
c. układy nieoznaczone  zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele
elementów.
2) ze względu na postać wektora wyrazów wolnych:
a. jednorodne  wektor wyrazów wolnych jest wektorem zerowym,
b. niejednorodne  wektor wyrazów wolnych zawiera elementy niezerowe.
Definicja 9.
Układ n równań liniowych o n niewiadomych Ax=b, w którym macierz A jest macierzą
nieosobliwą nazywamy układem Cramera równań liniowych.
Twierdzenie 14.
Jeżeli wyznacznik detA układu równań liniowych Ax=b jest różny od zera, to układ ten ma
dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami, nazywanymi wzorami Cramera:
det A1 det A2 det An
x1 = , x2 = , ... , xn = .
det A det A det A
gdzie detAj (j=1,2,& ,n) jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A w wyniku
zastąpienia jej j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie 15. (Kroneckera-Capellego)
Układ równań liniowych Ax=b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzA=rzU, przy
czym gdy rzA=rzU=n, to układ jest oznaczony, natomiast jeżeli rzA=rzU=rjest nieoznaczony.
Wniosek. Jeżeli rzA`"rzU, to układ równań jest układem sprzecznym.
5
MB
Algebra liniowa
Definicja 10.
Jeżeli każdemu wektorowi x przestrzeni Rn przyporządkowana jest liczba rzeczywista f(x),
to mówimy, że w przestrzeni Rn dana jest forma f. Jeżeli spełnia ona warunki:
1) dla każdego x,yS
Rn f(x+y)=f(x)+f(y),
2) dla każdego x S
Rn ,kS
R f(kx))=kf(x).
to nazywamy jÄ… formÄ… liniowÄ….
Definicja 11.
Formą dwuliniową nazywamy funkcję przyporządkowującą dwóm wektorem x i y
pewnej przestrzeni Rn liczbę rzeczywistą f(x,y) spełniającą warunki:
1) f jest formą liniową ze względu na x przy ustalonym y,
2) f jest formą liniową ze względu na y przy ustalonym x.
Formę dwuliniową w przestrzeni Rn można zapisać w postaci:
n n
f (x, y) = Å" xi Å" y lub f (x, y) = xT Å" AÅ" y.
""aij j
i=1 j=1
x1 y1 a11 a12 ... a1n
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł ïÅ‚ śł ïÅ‚a a22 ... a2n śł
y2
2 21
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
gdzie: x = , y = , A =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
... ... ... ... ... ...
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
an2 ... ann ûÅ‚
ðÅ‚xn ûÅ‚ ðÅ‚yn ûÅ‚ ðÅ‚an1
Definicja 12.
Formą kwadratową nazywamy formę dwuliniową, w której x=y. Zatem formę
kwadratową można zapisać w postaci:
n n
f (x, x) = Å" xi Å" x lub f (x, x) = xT Å" A Å" x.
""aij j
i=1 j=1
Definicja 13.
Forma kwadratowa xT Å" AÅ" x jest dodatnio (ujemnie) okreÅ›lona w przestrzeni Rn, jeÅ›li
przyjmuje wartości dodatnie (ujemne) dla wszystkich xS
Rn z wyjÄ…tkiem x=0.
Definicja 14.
Forma kwadratowa xT Å" AÅ" x jest dodatnio (ujemnie) półokreÅ›lona w przestrzeni Rn,
jeÅ›li wartoÅ›ci nieujemne (niedodatnie) oraz istniej takie x`"0, dla których xT Å" AÅ" x = 0 .
6
MB
Algebra liniowa
Twierdzenie 16. (Sylvestera  o dodatniej określoności formy kwadratowej)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma kwadratowa xT Å" A Å" x , gdzie A
jest macierzą symetryczną stopnia n, była dodatnio określona, jest spełnienie
następujących warunków:
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12
îÅ‚ Å‚Å‚
det[a11]> 0, detïÅ‚ > 0, detïÅ‚a21 a22 a23 śł > 0, ...,det A > 0.
ïÅ‚ śł
a22 śł
ðÅ‚a21 ûÅ‚
ïÅ‚
31 ûÅ‚
ðÅ‚a a32 a33 śł
Twierdzenie 17. (Sylvestera  o ujemnej określoności formy kwadratowej)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma kwadratowa xT Å" A Å" x , gdzie A
jest macierzą symetryczną stopnia n, była ujemnie określona, jest spełnienie
następujących warunków:
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12
îÅ‚ Å‚Å‚
det[a11]< 0, detïÅ‚ > 0, detïÅ‚a21 a22 a23 śł < 0, ...
ïÅ‚ śł
a22 śł
ðÅ‚a21 ûÅ‚
ïÅ‚
31 ûÅ‚
ðÅ‚a a32 a33 śł
Twierdzenie 18. (Sylvestera  o dodatniej półokreśloności formy kwadratowej)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma kwadratowa xT Å" A Å" x , gdzie A
jest macierzą symetryczną stopnia n, była dodatnio półokreślona, jest spełnienie
następujących warunków:
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12
îÅ‚ Å‚Å‚
det[a11]e" 0, detïÅ‚ e" 0, detïÅ‚a21 a22 a23 śł e" 0, ...,det A = 0.
ïÅ‚ śł
a22 śł
ðÅ‚a21 ûÅ‚
ïÅ‚
31 ûÅ‚
ðÅ‚a a32 a33 śł
Twierdzenie 19. (Sylvestera  o ujemnej półokreśloności formy kwadratowej)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma kwadratowa xT Å" A Å" x , gdzie A
jest macierzą symetryczną stopnia n, była ujemnie półokreślona, jest spełnienie
następujących warunków:
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12
îÅ‚ Å‚Å‚
det[a11]d" 0, detïÅ‚ e" 0, detïÅ‚a21 a22 a23 śł d" 0, ...,det A = 0.
ïÅ‚ śł
a22 śł
ðÅ‚a21 ûÅ‚
ïÅ‚
31 ûÅ‚
ðÅ‚a a32 a33 śł
7
MB