Józef Szymczak
UKAADY RÓWNAC LINIOWYCH
(notatki z wykładu)
I. Ogólna postać układu równań liniowych.
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2 ,..., xn , gdzie m, n " N , nazywamy układ
równań następującej postaci:
a11x1 + a12x2 + ...+ a1n xn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a x1 + a22x2 + ...+ a2n xn = b2
ôÅ‚
21
(I) ,
òÅ‚
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚am1x1 + am2x2 + ...+ amn xn = bm
ół
w którym współczynniki aij , bi są liczbami rzeczywistymi. Wszystkie niewiadome (zmienne)
występują w takim układzie w pierwszej potędze.
Rozwiązaniem układu (I) nazywamy ciąg (x1, x2 ,..., xn ) liczb rzeczywistych, które spełniają ten
układ. Jeśli rozwiązanie jest tylko jedno (jeden taki ciąg), to mówimy, że układ jest oznaczony; jeśli
rozwiązań jest więcej, to mówimy że układ jest nieoznaczony; jeżeli nie ma rozwiązania, to mówimy,
że układ jest sprzeczny.
Uwaga. Układ równań liniowych (I) możemy w prosty sposób zapisać w postaci macierzowej.
AÅ" X = B ,
gdzie
x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 ... a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł ïÅ‚b śł
ïÅ‚ śł
a21 a22 ... a2 n
2 2
A =
ïÅ‚ śł, X = ïÅ‚ śł, B = ïÅ‚ śł .
. . ... .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M M
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
am ... amn
ïÅ‚ śł
ðÅ‚am1 2 ûÅ‚
ðÅ‚xn ûÅ‚ ðÅ‚bm ûÅ‚
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań liniowych (I), macierz X to kolumnowa
macierz niewiadomych, macierz B to kolumnowa macierz wyrazów wolnych.
Jeżeli układ równań ma niedużą ilość niewiadomych, to będziemy je najczęściej oznaczać
literami x, y, z, t,& .
2x + y
Å„Å‚ - 3z = 1
ôÅ‚x
Przykładowo układ równań: - 4 y + z - t = 2 zapiszemy w następującej postaci macierzowej
òÅ‚
ôÅ‚2 y + z + t = -1
ół
x
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 - 3 0
îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
1
îÅ‚ Å‚Å‚
y
ïÅ‚1 - 4 1 - 1śł ïÅ‚ śł = ïÅ‚ 2 śł .
Å"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 2 1 1 śł z
ïÅ‚- 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚t ûÅ‚
II. Układ równań liniowych Cramera.
UkÅ‚adem Cramera nazywamy ukÅ‚ad równaÅ„ liniowych AÅ" X = B , w którym macierz główna A
jest macierzÄ… kwadratowÄ… nieosobliwÄ….
W takim układzie mamy zatem tyle samo równań i tyle samo niewiadomych. Układ Cramera ma
dokładnie jedno rozwiązanie. Określone ono jest wzorami Cramera:
det A1 det A2 det An
x1 = , x2 = , ... , xn = ,
det A det A det A
gdzie Aj dla j = 1,2,...,n oznacza macierz otrzymanÄ… z macierzy A przez zamianÄ™ j - tej kolumny na
kolumnę wyrazów wolnych.
---------------------------------------------------------------------------
UkÅ‚ad Cramera postaci AÅ" X = B możemy też rozwiÄ…zać wykorzystujÄ…c macierz odwrotnÄ… do
macierzy głównej A, co określa wzór:
X = A-1 Å" B
---------------------------------------------------------------------------
Przykład 1. Stosując wzory Cramera rozwiązać układ równań:
2x + y + 3z = 1
Å„Å‚
2 1 3
ôÅ‚x - 4 y + z = 2 . Zauważmy, że A = îÅ‚ - 4 1Å‚Å‚ , det A = -8 + 6 -1- 4 = -7 ;
ïÅ‚1 śł
òÅ‚
ïÅ‚0 2 1śł
ôÅ‚2 y + z = 0
ðÅ‚ ûÅ‚
ół
1 1 3
det A1 = det Ax = 2 - 4 1 = -4 + 12 - 2 - 2 = 4 ,
0 2 1
2 1 3 2 1 1
det A2 = det Ay = 1 2 1 = 4 - 1 = 3, det A3 = det Az = 1 - 4 2 = 2 - 8 = -6 .
0 0 1 0 2 0
det Ay 3 3
det Ax 4 4 det Az -6 6
StÄ…d x = = = - , y = = = - , z = = = ,
det A -7 7
det A -7 7
det A -7 7
2x + y = 1
Å„Å‚
Zadanie. Wykorzystując macierz odwrotną, rozwiązać układ równań
òÅ‚x + 3y = 2
ół
III. Twierdzenie Kroneckera-Capelli ego
Oznaczmy symbolem A B rozszerzoną (uzupełnioną) macierz, która powstaje z macierzy A
układu równań liniowych (I) przez dopisanie do niej kolumny wyrazów wolnych (macierz A B ma
wiÄ™c wymiar m × (n +1) ):
îÅ‚ a11 a12 ... a1n b1 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
a21 a22 ... a2 n b2
.
A B =
ïÅ‚ śł
. . ... . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
m1 2
ðÅ‚a am ... amn bm śł
ûÅ‚
Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności układu równań
liniowych (I) jest równość rzędów macierzy A i macierzy A B , czyli spełnienie warunku
r(A) = r(A B) = r .
Z powyższego twierdzenia od razu wynika, że jeżeli r(A) `" r(A B) , to układ (I) jest sprzeczny
(nie ma rozwiÄ…zania).
Przy spełnionym warunku r(A) = r(A B) = r , mogą jeszcze zachodzić dwa przypadki:
a) r = n (rząd jest równy liczbie niewiadomych) wtedy układ jest oznaczony, czyli ma dokładnie
jedno rozwiÄ…zanie,
b) r < n (rząd jest mniejszy niż liczba niewiadomych) wtedy układ jest nieoznaczony, czyli ma
nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od n - r parametrów.
Uwaga 1. Zawsze jest r(A) d" n .
Uwaga 2. Jeżeli wszystkie wyrazy wolne w układzie (I) są równe zero, to taki układ nazywamy
jednorodnym układem równań liniowych.
Układ jednorodny jest zawsze rozwiązalny i może być oznaczony lub nieoznaczony.
W przypadku, gdy jest oznaczony, to ma rozwiÄ…zanie zerowe ( x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 ).
IV. Metoda eliminacji
Metodę eliminacji rozwiązywania układów równań liniowych (metodę eliminacji Gaussa)
omówimy na kilku przykładach. Stosując tę metodę wypisujemy dla danego układu równań liniowych
jego macierz uzupełnioną A B i przy pomocy przekształceń elementarnych wykonywanych tylko na
wierszach przekształcamy ją tak długo, aż otrzymamy w macierzy A pewien maksymalny minor
jednostkowy. Po wykonaniu tych przekształceń otrzymana macierz reprezentuje układ równań
równoważny układowi wyjściowemu i możemy z jej postaci odczytać rozwiązanie lub stwierdzić, że
dany układ jest sprzeczny.
2x
Å„Å‚ - 3y + z + 2u = 1
ôÅ‚x
Przykład 2. Rozwiązać metodą eliminacji następujący układ równań: + 2 y - 3z + u = 2 .
òÅ‚
ôÅ‚3x - y - z + 2u = 4
ół
Wypisujemy macierz uzupełnioną tego układu i będziemy ją przekształcać, stosując
przekształcenia elementarne wykonywane na wierszach.
îÅ‚2 - 3 1 2 1Å‚Å‚ îÅ‚1 - 5 4 1 -1Å‚Å‚ îÅ‚1 - 5 4 1 -1Å‚Å‚ îÅ‚1 - 5 4 1 -1Å‚Å‚
ïÅ‚1 2 - 3 1 2śł H" ïÅ‚1 2 - 3 1 2 śł H" ïÅ‚0 7 - 7 0 3 śł H" ïÅ‚0 7 - 7 0 3 śł H"
ïÅ‚3 -1 -1 2 4śł ïÅ‚3 -1 -1 2 4 śł ïÅ‚0 14 -13 -1 7 śł ïÅ‚0 0 1 -1 1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1
(w1 - w ) (w - w1 , w3 + w1(-3)) (w3 + w (-2)) (w Å" )
2 2 2 2
7
8 15
îÅ‚1 - 5 4 1 -1Å‚Å‚ îÅ‚1 0 -1 1 Å‚Å‚ îÅ‚1 0 0 0 Å‚Å‚
7 7
3 3 10
ïÅ‚0 1 -1 0 7 śł H" ïÅ‚0 1 -1 0 7śł H" ïÅ‚0 1 0 -1 7 śł
ïÅ‚0 0 1 -1 1 śł ïÅ‚0 0 1 -1 1śł ïÅ‚0 0 1 -1 1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
(w1 + w Å" 5) (w1 + w3 , w + w )
2 2 3
W tej ostatniej macierzy mamy już pewien minor jednostkowy (tworzą go pierwsze trzy
kolumny), więc na tym przekształcanie kończymy. Ale jednocześnie widzimy, że rząd macierzy
głównej A jest równy 3, rząd macierzy uzupełnionej A B jest też równy 3, zatem omawiany układ
równań jest rozwiązalny. Ma on 4 niewiadome, a więc jest układem nieoznaczonym mającym
nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (tutaj n - r = 1).
Zauważmy, że ostatnia macierz, jako równoważna poprzednim, reprezentuje następujący układ
równań liniowych
15
x =
Å„Å‚
7
ôÅ‚
òÅ‚y - u = 10 ,
7
ôÅ‚z - u = 1
ół
który jest równoważny układowi wyjściowemu, czyli ma taki sam zbiór rozwiązań. Mamy tutaj jedną
nadmiarową niewiadomą, której współczynniki nie wchodzą w skład minora jednostkowego jest nią
niewiadoma u. Oznaczymy ją symbolem ą , który będzie stanowił rzeczywisty parametr. Możemy
zatem napisać zbiór rozwiązań w następującej postaci:
15
x =
Å„Å‚
15
7
x
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
7
ôÅ‚y = 10 + Ä…
10
ïÅ‚yśł ïÅ‚ śł
ôÅ‚ + Ä…
7
7
lub też w postaci: X = =
òÅ‚ ïÅ‚zśł ïÅ‚ śł, gdzie Ä… " R.
1 + Ä…
ôÅ‚z = 1 + Ä… ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚ Ä… śł
ôÅ‚u = Ä…, Ä… " R, ðÅ‚uśł ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
ół
Jest tych rozwiązań nieskończenie wiele i zależą one od jednego parametru ą . Sprawdzić poprawność
obliczeń podstawiając otrzymane rozwiązania do wyjściowego układu równań.
x
Å„Å‚ - 3y + z = 3
ôÅ‚x
Przykład 3. Rozwiązać metodą eliminacji następujący układ równań: + 2 y - 3z = 2 .
òÅ‚
ôÅ‚2x - y - 2z = 5
ół
Po wypisaniu macierzy uzupełnionej i przekształceniach elementarnych na niej wykonanych,
otrzymamy:
îÅ‚1 - 3 1 3Å‚Å‚ îÅ‚1 - 3 1 3 Å‚Å‚ îÅ‚1 - 3 1 3 Å‚Å‚
-7 11
3
4 4
ïÅ‚1 śł H" ïÅ‚0 5 - 4 -1 śł H" ïÅ‚0 5 - 4 -1 śł H" îÅ‚1 --5 1 3 Å‚Å‚ îÅ‚1 -5 0 1 Å‚Å‚
2 - 3 2
1
ïÅ‚0 4 1 4śł H" ïÅ‚0 1 śł
ïÅ‚2 -1 - 2 5śł ïÅ‚0 5 - 4 -1śł ïÅ‚0 0 0 0 śł
4 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-1
w - w1 , w + w1 (-2) w3 - w w Å" ( ) w1 - w
2 3 2 2 2
4
W ostatniej macierzy mamy minor jednostkowy stopnia drugiego (pierwsza i trzecia kolumna)
skąd wynika, że r(A) = r(A B) = 2 . Ponieważ są 3 niewiadome w rozwiązywanym układzie, więc ma
on nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (układ nieoznaczony).
Nadmiarową zmienną jest tutaj y, więc oznaczymy ją symbolem ą określającym parametr
rzeczywisty. Mamy więc zbiór rozwiązań odczytanych z ostatniej przekształconej macierzy:
11 7
x = + Ä…
Å„Å‚
4 4
ôÅ‚y = Ä…
òÅ‚
ôÅ‚z = + Ä…, Ä… " R.
1 5
ół 4 4
x
Å„Å‚ - 2y + z = 0
ôÅ‚
Przykład 4. Rozwiązać jednorodny układ równań liniowych: + y + 3z = 0 .
òÅ‚2x
ôÅ‚x + 3y + 2z = 0
ół
1
îÅ‚ - 2 1
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Zauważmy, że macierz główna tego układu A = 2 1 3 ma wyznacznik równy 0. Układ
ïÅ‚1 3 2śł
ðÅ‚ ûÅ‚
równań jest zatem nieoznaczony czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań (gdyby wyznacznik
macierzy głównej był niezerowy, układ byłby oznaczony i miałby tylko jedno rozwiązanie zerowe).
Po wypisaniu macierzy rozszerzonej i przekształceniach elementarnych na niej wykonanych,
otrzymamy:
1 Å‚Å‚ 1 Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ - 2 1 0 îÅ‚ - 2 1 0 1 - 2 1 0
ïÅ‚2 śł H" ïÅ‚0 5 1 0śł H" ïÅ‚0 5 1 0śł H" îÅ‚1 - 7 0 0Å‚Å‚
1 3 0
ïÅ‚0 5 1 0śł
ïÅ‚1 3 2 0śł ïÅ‚0 5 1 0śł ïÅ‚0 0 0 0śł ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
w2 + w1(-2), w3 - w1 w3 - w2 w1 - w2
i z kształtu ostatniej macierzy możemy odczytać rozwiązania, przyjmując jako parametr ą
nadmiarowÄ… niewiadomÄ… y:
x = 7Ä…
Å„Å‚
ôÅ‚y = Ä…
òÅ‚
ôÅ‚z = -5Ä…, Ä… " R
ół
(wśród tych nieskończenie wielu rozwiązań jest też rozwiązanie zerowe).
Zadanie. Zbadać rozwiązalność układu równań w zależności od parametru p.
x
Å„Å‚ - y - 2z = 0
ôÅ‚px + y + z = 2
òÅ‚
ôÅ‚x + py = 2 p
ół
1 - 1 - 2
Zauważmy, że det A = p 1 1 = -1 - 2 p2 + 2 - p = -2 p2 - p + 1.
1 p 0
1
det A = 0 jeżeli - 2 p2 - p + 1 = 0 czyli jeśli p = -1 lub p = . Zatem w przypadku, gdy p `" -1 i
2
1
p `" , układ jest układem Cramera czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie.
2
Sprawdzmy rozwiązalność tego układu w przypadku, gdy p = -1. Mamy wtedy
1 1 Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ - 1 - 2 0 Å‚Å‚ îÅ‚ - 1 - 2 0 1 - 1 - 2 0
ïÅ‚- śł H" ïÅ‚0 0 -1 2 śł H" ïÅ‚0 0 -1 2śł
1 1 1 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚0 0 2 - 2śł ïÅ‚0 0 0 2śł
1 - 1 0 - 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
w2 + w1, w3 - w1 w3 + w2 Å" 2
Ponieważ trzeci wiersz końcowej przekształconej macierzy reprezentuje równanie sprzeczne, zatem w
przypadku gdy p = -1, układ równań jest sprzeczny.
1
Sprawdzmy rozwiązalność tego układu w przypadku, gdy p = . Mamy wtedy
2
îÅ‚ - 1 - 2 0 îÅ‚1 - 1 - 2 0Å‚Å‚ îÅ‚1 - 1 - 2 0Å‚Å‚ îÅ‚1 - 1 - 2 0 Å‚Å‚
Å‚Å‚
1
1
ïÅ‚2 śł H" ïÅ‚1 2 2 4śł H" ïÅ‚0 3 4 4śł H" ïÅ‚0 3 4 4 śł
1 1 2
ïÅ‚1 1 0 1śł
ïÅ‚2 1 0 2śł ïÅ‚0 3 4 2śł ïÅ‚0 0 0 - 2śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
ðÅ‚ ûÅ‚
w2 Å" 2, w3 Å" 2 w2 - w1, w3 - 2w1 w3 - w2
1
Ostatni wiersz końcowej macierzy znów nas informuje, że układ równań przy p = jest sprzeczny.
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4 uklady rownan liniowycht5 uklady rownan liniowychBOiE układy równań liniowychwykład 11 układy równań liniowychukłady rownań liniowych110 Układy równań liniowych7 Układy równań liniowychZestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowychlab8 2 uklady rownan liniowychlab7 uklady rownan liniowychZestaw układy równań liniowych(1)zadania agebra, macierze, wielomiany, układy równań liniowychzadania agebra, macierze, wielomiany, układy równań liniowychUkłady równań liniowych zadaniawięcej podobnych podstron