Å„Å‚
ALGEBRA LINIOWA 1
ôÅ‚
x + y + z = 5
òÅ‚
2x - y = 3
Lista zadań 2003/2004
a) ; b) 2x + 2y + z = 3 ;
3x + y = 2 ôÅ‚
ół
3x + 2y + z = 1
Å„Å‚
4. Układy równań liniowych ńł
ôÅ‚ y + z + t = 4
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + z = 4
òÅ‚ òÅ‚
x + z + t = -1
"
ć% Zadanie 4.1 [9.1] c) 2x - 3y + 5z = -5 ; d) .
ôÅ‚ ôÅ‚ x + y + t = 2
ół ôÅ‚
ôÅ‚
-x + 2y - z = 2
ół
Dla jakich wartości parametru p " R podane układy równań są układami
x + y + z = -2
Cramera:
Å„Å‚
ôÅ‚ !
2px + 4y - pz = 4
òÅ‚
ć% Zadanie 4.5 [5.1#]
(p + 1)x - py = 1
a) ; b) 2x + y + pz = 1 ;
2x + (p - 1)y = 3p ôÅ‚ Znalez
ć rzędy podanych macierzy wskazując niezerowe minory maksymalnych
ół
(4 + 2p)x + 6y + pz = 3
stopni:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
1 3 5 2 3 -1 1
ôÅ‚ x - y - z - t = px
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ 4 -2
px + 3y + pz = 0 ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
òÅ‚ òÅ‚
a) ; b) 2 2 1 c) 4 2 0 5 ;
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-x + y - z - t = py
-8 4
c) -px + 2z = 3 ; d) ?
-1 0 3 0 4 -2 -3
ôÅ‚ ôÅ‚ -x - y + z - t = pz
ół ôÅ‚
ôÅ‚
x + 2y + pz = p îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ół
-x - y - z + t = pt îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 0 0
1 2 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 5 1 0 1 6 1 2 1 -1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1
ïÅ‚ -2
śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ć% Zadanie 4.2 [9.2]
d) ïÅ‚ śł e) ïÅ‚ 1 0 1 7 1 0 1 śł f) ïÅ‚ 4 3 3 0 0 śł .
ðÅ‚ 4 5 4 ûÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
KorzystajÄ…c ze wzoru Cramera znalez
ć rozwiÄ…zania podanych ukÅ‚adów rów- ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 8 1 0 1 9 1 0 0 0 7 5
1 3 4
nań:
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 6
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + 2y + 3z = 1 x + 2y + 3z = 14
òÅ‚ òÅ‚
5x - 2y = 6 ć% Zadanie 4.6 [5.2#]
a) ; b) 2x + 3y + z = 3 ; c) 4x + 3y - z = 7 .
3x + y = 4 ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
WykonujÄ…c operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych ma-
3x + y + 2z = 2 x - y + z = 2
cierzy obliczyć ich rzędy:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ć% Zadanie 4.3 [9.3] 3 1 6 2 1
1 -3 2 1 2 -2 1 -3 1 -5
ïÅ‚ śł
2 1 4 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z podanych układów równań:
a) 2 1 -1 3 1 ; b) 45 15 30 -60 75 ; c) ïÅ‚ śł ;
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Å„Å‚ Å„Å‚ ðÅ‚ 3 1 3 1 3 ûÅ‚
4 -5 3 5 6 5 3 2 -8 7
ôÅ‚ 3x + 7y + 2z + 4t = 0 ôÅ‚ x + 3y + 3z + 3t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
2 1 2 1 4
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2y + z = 0 3x + y + 3z + 3t = 1 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
a) ; b) ; 1 1 1 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ x + 4y + z = 1 3x + 3y + z + 3t = 1 -4 1 1 1 1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
1 2 3 4 3 2 2 1 0 0 0
ół ół
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
5x + 3y + 2z = 0 3x + 3y + 3z + t = 1 1 -4 1 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
5 6 7 8 5 3 2 2 1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
d) ïÅ‚ śł ; e) ïÅ‚ 1 1 -4 1 1 śł ; f*) ïÅ‚ śł .
ðÅ‚ 9 10 11 12 ûÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ 5 2 1 2 1 1 0 śł
c) x + 2y - 4 = 3y + 4z - 6 = 5z + 6s = 7s + 8t = x + y + z + s + t - 2 = 0.
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
1 1 1 -4 1
ðÅ‚ ûÅ‚
13 14 15 16 3 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 -4
ć% Zadanie 4.4 [9.4] 1 0 0 0 0 0 1
Rozwiązać podane układy równań metodą macierzy odwrotnej:
ć% Zadanie 4.7 [5.3#]
"
Num zadań z książki Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, wydanie IX.
eracja

Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy:
Num zadań z książki Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, wydanie VIII.
eracja
!
Numeracja zadań z książki Algebra liniowa 2. Przykłady i zadania, wydanie IV.
1 2
Å„Å‚ Å„Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
4 1 2 5 ôÅ‚ - y + z = -1 x + 2y + 3z + 4t = -1
x
òÅ‚ òÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 2 3 1 5 0 1 3 4 a) 2x + 2y - 2z = 3 ; b) -x + 8y + 11z + 12t = 5 ;
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ół ół
0 4 7 1 2 4 4 7 13
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł 3x + y - z = 2 2x - y - z = -4
a) ïÅ‚ śł ; b) ïÅ‚ śł ;
Å„Å‚
ïÅ‚
ðÅ‚ 1 2 3 4 6 ûÅ‚ 4 1 -2 1 śł
ôÅ‚ - 3y + z - 2s + t = -5
x
ïÅ‚ śł
òÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 -2 -3 5 -3 8 5 5 14
c) 2x - 6y - 4s + t = -10 .
ôÅ‚
-4 -1 2 -1 ół
2z + t = 0
c) A = [aij] jest macierzÄ… wymiaru 5 × 7, gdzie aij = i + j dla 1 i 5, 1 j 7;
ć% Zadanie 4.11 [6.3#]
d) B = [bij] jest macierzÄ… wymiaru 6 × 6, gdzie bij = i2j dla 1 i, j 6.
Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności
ć% Zadanie 4.8 [5.5#]
od parametru rzeczywistego p:
Å„Å‚
Znalez
ć rzędy podanych macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p:
(p + 1)x
ôÅ‚ - y + pz = 1
òÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
(p + 1)x + (2 - p)y = p
1 1 p 1 p 2 p - 1 p - 1 1 1
a) ; b) (3 - p)x + 4y - pz = -4 ;
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ôÅ‚
(1 - 3p)x + (p - 1)y = -6
ół
a) 3 p 3 b) 1 -2 7 + p ; c) 1 p2 - 1 1 p - 1 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
px + 3y = -3
Å„Å‚
2p 2 2 1 2 + 2p -3 - p 1 p - 1 p - 1 1
Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + py + pz + pt = 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ px + y + 2z = 1
òÅ‚ òÅ‚
p -p 1 -p p2 4 4 4 4
2x + 2y + pz + pt = 2
1 1 1 p
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
c) x + py + 2z = 1 ; d) ;
ïÅ‚ śł ïÅ‚ -2 2 -2 2 p2 2p 4 4 4
śł ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚ 2x + 2y + 2z + pt = 3
ół ôÅ‚
d) 1 1 p p e) ïÅ‚ śł ; f*) ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚
x + y + 2pz = 1
ół
ðÅ‚ 3 p 3 p ûÅ‚ ðÅ‚ p2 2p 2|p| 4 4 ûÅ‚
2x + 2y + 2z + 2t = 4
1 p p p
p 1 p 1 p2 2p 2|p| 2p 4 Å„Å‚
ôÅ‚
x + (p - 2)y - 2pz = 4
òÅ‚
ć% Zadanie 4.9 [6.1#] e) px + (3 - p)y + 4z = 1 .
ôÅ‚
ół
(1 + p)x + y + 2(2 - p)z = 7
W podanych układach równań liniowych określić (nie rozwiązując ich) liczby
rozwiązań oraz liczby parametrów:
Å„Å‚ Å„Å‚
ć% Zadanie 4.12 [6.6#]
ôÅ‚ x + y + z = 1 ôÅ‚ 2x - y = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚ W wytwórni montuje siÄ™ wyroby A, B, C, D, E z czterech typów detali a, b, c, d.
x + 2y + 3z = 1 x + y = 4
a) ; b) ;
Liczby detali wchodzących w skład poszczególnych wyrobów podane są w ta-
ôÅ‚ 2x + 3y + 4z = 2 ôÅ‚ 4x + 8y = 11
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
beli
3x + 2y + z = 3 x + 4y = 10
Å„Å‚
Å„Å‚
A B C D E
ôÅ‚ 5x - 3y - z = 3
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - y + 2z - t = 1
x
òÅ‚ òÅ‚
a 1 2 0 4 1
2x + y - z = 1
c) ; d) 2x - 3y - z + t = -1 ;
ôÅ‚ - 2y + 2z = -4 ôÅ‚ b 2 1 4 5 1 .
3x
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
x + 7y - t = 4
ół
x - y - 2z = -2 c 1 3 3 5 4
Å„Å‚
d 1 1 2 3 1
ôÅ‚ - 3y + 2z = 7
x
òÅ‚
e) x - t = 2 .
a) Czy można obliczyć, ile ważą wyroby D i E, jeżeli wyroby A, B, C ważą
ôÅ‚
ół
-x - 3y + 2z + 2t = 3
odpowiednio 12, 20 i 19 dag. Podać znalezione wagi.
b) Ile ważą detale a, b, c, jeżeli detal d waży 1 dag?
ć% Zadanie 4.10 [6.2#]
Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametra-
ć% Zadanie 4.13 [9.5]
mi określającymi rozwiązania podanych układów równań liniowych:
Rozwiązać podane układy równań metodą eliminacji Gaussa:
3 4
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ 3x + 2y + z - t = 0 ôÅ‚ 2x + 3y + z - 2s - t = 6
x + y = 1
òÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 3y = 1
òÅ‚ òÅ‚
a) ; b) x + 2y - 3z = -3 ; 5x - y + z + 2t = -4 4x + 7y + 2z - 5s + t = 17
3x + y = 0 ôÅ‚ a) ; b) ;
ół
ôÅ‚
2x + 4y + z = 1 7x + 8y + z - 7t = 6 ôÅ‚ 6x + 5y + 3z - 2s - 9t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ńł ńł ół ół
x - y + z + 2t = 4 2x + 6y + z - 5s - 10t = 12
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + y + z = -1 2x + 3y + 2z = 1
òÅ‚ òÅ‚
Å„Å‚ Å„Å‚
c) x + 2z = -6 ; d) 3x + 4y + 2z = 2 ; 3x + y - 2t = 1 x
ôÅ‚ ôÅ‚ - 3y + z - 2s + t = -5
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
ôÅ‚ ôÅ‚
3y + 2z = 0 4x + 2y + 3z = 3 ôÅ‚ 5x + 2y + 2z - t = 5 ôÅ‚ 2x - 6y - 4s + t = -10
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
Å„Å‚
òÅ‚ òÅ‚
Å„Å‚ x - y - 2t = -5 2z + t = 0
x
ôÅ‚ - 2y + 3s + t = 1
ôÅ‚ c) ; d) .
ôÅ‚ x + y + z + t = 1 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 5x + y + z - 3t = 0 -2x + 6y + 2z + 4s = 10
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - 3y + z + 8s + 2t = 3 ôÅ‚ ôÅ‚
2x
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 2y + z + t = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ -7x - 3y + z + 5t = -4 -2x + 6y + 4z + 4s + t = 10
ôÅ‚
e) ; f) x - 2y + z + 3s - t = 1 .
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
ôÅ‚ 3x + 2y + 3z + 2t = 3 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
4x + y - 2z - 5t = -2 -x + 3y + z + 2s = 5
ôÅ‚ ôÅ‚
y + 3s + 5t = 0
ół ôÅ‚
ôÅ‚
6x + 4y + 3z + 2t = 2
ół
x - 2y + 5s + 8t = -1
ć% Zadanie 4.17 [10.3]
ć% Zadanie 4.14 [9.6]
Dla jakich wartości parametru p podane układy równań mają dokładnie jedno
Stosując  metodę kolumn jednostkowych rozwiązać podane układy Cramera:
rozwiązanie? Określić liczby rozwiązań tych układów w pozostałych przypad-
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ x - 2y + z - t = -4
kach:
ôÅ‚
ôÅ‚ - 2z = 5
ôÅ‚
5x + 2y
òÅ‚ òÅ‚ Å„Å‚ Å„Å‚
2x - y - z + t = 1
ôÅ‚ - z = 1 x + 4y - 2z = -p
ôÅ‚
x + py
a) 3x + y + 2z = 1 ; b) ; òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ x + y + 2z - t = 5
ół ôÅ‚
a) x + 10y - 6z = p ; b) 3x + 5y - pz = 3 .
ôÅ‚
2x + 3y + 2z = 5
ół
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y - z + t = 4 ół ół
2x - y + pz = 0 px + 3py + z = p
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + y + z + t = 0 2x + 3y + 2z - t = 3
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
y + z = 0 2x + y + z + 2s + 3t = 6 ć% Zadanie 4.18 [10.4]
òÅ‚ òÅ‚
c) 2x + y + z + s = 0 ; d) 3x - z + s + t = 3 .
Wykonanie pewnego pojemnika wymaga wykonania czterech czynności: na-
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
y + z + s + t = 4 y + 4s + t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
rysowania formy, wycięcia, złożenia modelu i jego pomalowania. Liczby po-
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x + z + t = 0 2x + y + z - 2s + 5t = 8
szczególnych czynności w kolejnych dniach pracy pewnego pracownika podaje
tabela:
ć% Zadanie 4.15 [10.1]
rysowanie wycinanie składanie malowanie
Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań:
ńł poniedziałek 30 20 10 5
Å„Å‚
ôÅ‚ x - 2y + z = 4
ôÅ‚
wtorek 20 15 15 10
ôÅ‚ ôÅ‚
x + 2y + z + t = 7
òÅ‚ òÅ‚
x + y + z = 1
środa 40 25 20 20
a) ; b) 2x - y - z + 4t = 2 ;
ôÅ‚ - 3y + 5z = 10 ôÅ‚
2x
ôÅ‚ ół
ôÅ‚ czwartek 30 20 20 20
5x + 5y + 2z + 7t = 1
ół
5x - 6y + 8z = 19
Obliczyć czas wykonywania poszczególnych czynności, jeżeli w kolejnych dniach
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ x + 2y + 3z + t = 1 Å‚Ä…czny czas pracy wynosiÅ‚ odpowiednio 2 h 10 min, 2 h 15 min, 3 h 55 min,
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - y + z - 2s + t = 0
x
òÅ‚ òÅ‚
2x + 4y - z + 2t = 2 3 h 30 min.
c) ; d) 3x + 4y - z + s + 3t = 1 .
ôÅ‚ 3x + 6y + 10z + 3t = 3 ôÅ‚
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
x - 8y + 5z - 9s + t = -1
ół
x + y + z + t = 0
ć% Zadanie 4.16 [10.2]
Rozwiązać podane układy równań  metodą kolumn jednostkowych :
5 6