2011-11-19
UKA
ADY RÓWNAC
LINIOWYCH
x1 , x2..., xn nazywamy układ
Def.1. Układem m równao liniowych o n niewiadomych
postaci
a11x1 +ð a12x2 +ð... +ð a1nxn =ð b1
a21x1 +ð a22x2 +ð...+ð a2nxn =ð b2
. . . . . . . . . . . . . .
am1x1 +ð am2x2 +ð...+ð amnxn =ð bm ,
aij ,bi
gdzie - dowolne liczby.
Z.KASPERSKI, t.5 1
Z.KASPERSKI, t.5 1
Wprowadz
my oznaczenia:
a11 a12 ... a1n
éð Å‚ð
Ä™ða a22 ... a2n Å›ð
21
Ä™ð Å›ð
A =ð
Ä™ð Å›ð
... ... ... ... - macierz współczynników (macierz główna, macierz
Ä™ð Å›ð
am2 ... amn ûð
ëðam1
układu),
x1
éð Å‚ð
Ä™ðx Å›ð
2
Ä™ð Å›ð
X =ð
Ä™ð Å›ð - wektor niewiadomych,
...
Ä™ð Å›ð
ëðxn ûð
b1
éð Å‚ð
Ä™ðb Å›ð
2
Ä™ð Å›ð
B =ð
Ä™ð Å›ð -wektor wyrazów wolnych.
...
Ä™ðb Å›ð
ëð m ûð
A×ð X =ð B
Układ można zapisad
Z.KASPERSKI, t.5 2
1
2011-11-19
Jeśli
0
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
0
Ä™ð Å›ð
B =ð , to ukÅ‚ad nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku 
Ä™ð Å›ð
...
Ä™ð Å›ð
0
ëð ûð
niejednorodnym.
Def.2. Macierzą uzupełnioną nazywamy macierz
a11 a12 ... a1n b1
éð Å‚ð
Ä™ða a22 ... a2n b2 Å›ð
21
Ä™ð Å›ð
U =ð
Ä™ð Å›ð
... ... ... ... ... .
Ä™ð Å›ð
am2 ... amn bm ûð
ëðam1
Z.KASPERSKI, t.5 3
Układ równao liniowych może:
a. nie posiadad rozwiązania  układ sprzeczny,
b. posiadad dokładnie jeden wektor X będący rozwiązaniem- układ
oznaczony,
c. posiadad nieskooczenie wiele rozwiązao- układ nieoznaczony.
Def.3. Układ n równao z n niewiadomymi
a11x1 +ð a12x2 +ð ... +ð a1nxn =ð b1
a21x1 +ð a22x2 +ð...+ð a2nxn =ð b2
. . . . . . . . . . . . . .
an1x1 +ð an2x2 +ð ... +ð annxn =ð bn ,
którego macierz układu jest macierzą nieosobliwą, nazywamy układem
Cramera.
Z.KASPERSKI, t.5 4
2
2011-11-19
Tw. Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem
X =ð A-ð1B
,
lub wzorami:
det A1 det A2 det An
x1 =ð x2 =ð xn =ð
, , . . . , ,
det A det A det A
gdzie Ai dla i = 1, 2, . . ., n jest macierzą powstałą z A przez zastąpienie i-tej
kolumny wektorem wyrazów wolnych.
PRZYKA
AD.
WNIOSEK: Jeśli układ Cramera jest układem jednorodnym, to jedynym
x1 =ð x2 =ð ... =ð xn =ð 0
rozwiÄ…zaniem jest .
Z.KASPERSKI, t.5 5
UWAGI O METODZIE CRAMERA
Obliczenie wyznacznika stopnia n (rozwinięcie wg jakiegoś wiersza lub kolumny)
wymaga m.in. n! mnożeń i/lub dzieleń
3! =6, 5!= 120, 10!= 3 628 800
16! = 2.092278988x1013
Dla n = 15 (układ nieduży) komputer wykonujący
milion operacji/sek. potrzebowałby 5 812 godzin =
242 doby!!!
WZORY CRAMERA MAJ
JEDYNIE ZNACZENIE TEORETYCZNE
I S
UŻYTECZNE DLA BARDZO MAA
YCH UKA
ADÓW.
Z.KASPERSKI, t.5 6
3
2011-11-19
Dla dowolnych układów zachodzi:
Tw. (Kroneckera- Capellego) . Układ m równan liniowych z n niewiadomymi jest
niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy
R(A) = R(U) = r,
przy czym gdy r = n układ jest oznaczony, natomiast gdy r < n układ jest
nieoznaczony i ma rozwiązania zależne od n  r parametrów.
PODSUMOWANIE:
a. R(A) = R(U) = n - układ oznaczony,
b. R(A) = R(U) < n - układ nieoznaczony,
c. R(A) Ä…ð R(U) - ukÅ‚ad sprzeczny.
PRZYKA
ADY.
Z.KASPERSKI, t.5 7
główna przekątna
Z.KASPERSKI, t.5 8
4
2011-11-19
Z.KASPERSKI, t.5 9
Z.KASPERSKI, t.5 10
5
2011-11-19
Z.KASPERSKI, t.5 11
x1 -ð x2 /2 -ð x3 /2 =ð 0
Z.KASPERSKI, t.5 12
6
2011-11-19
Metoda Gaussa wymaga m.in. n3 mnożeń/dzieleń
Np. 153 =3 375
Z.KASPERSKI, t.5 13
7