UKA
ADY RÓWNAC
LINIOWYCH
Definicja 1.
Układ równań liniowych to następujący układ:
a11x1 + a12x2 + & + a1mxm = b1
a21x1 + a22x2 + & + a2mxm = b2
(1) & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
an1x1 + an2x2 + & + anmxm = bn
aij, bi  dane
xi  szukane
Rozwiązaniem układu 1 nazywamy każdą  emke liczb które spełniają
każde z równań.
Definicja 2.
Jeżeli wszystkie elementy po prawej są równe zero to jest to układ
nazywamy jednorodnym. W przeciwnym przypadku jest to układ
niejednorodny.
"i=1,2,...,n : b = 0
Definicja 3.
a11 a12 ... a1m
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 ... a2m śł
21
ïłśł
A =
ïłśł
... ... ... ...
ïÅ‚a an2 ... anm śł
ðÅ‚ n1 ûÅ‚
Macierz A nazywamy macierzą współczynników układu (1).
Gdy:
b1
b2
- jest kolumną wyrazów wolnych
...
bn
to:
a11 a12 ... a1m b1
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 ... a2m b2 śł
Macierz U nazywamy macierzÄ…
21
ïłśł
U =
uzupełnioną układu (1)
ïłśł
... ... ... ... ...
ïÅ‚a an2 ... anm bn śł
ðÅ‚ n1 ûÅ‚
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 6 Część 11 - Układy równań liniowych
Uwaga:
Jeżeli:
x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚b śł
x2
2
ïÅ‚ śłb = ïÅ‚ śł to ukÅ‚ad zapisujemy: AÅ" X = b
X =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
... ...
ïÅ‚x śł ïÅ‚b śł
ðÅ‚ m ûÅ‚ ðÅ‚ n ûÅ‚
Definicja 4:
Jeżeli układ (1) posiada nieskończenie wiele rozwiązań to układ nazywamy
nieoznaczonym.
Definicja 5:
Jeżeli układ (1) nie posiada rozwiązań to jest to układ sprzeczny.
Definicja 6:
Jeżeli w układzie (1) ilość niewiadomych jest równa ilości równań to jest to
układ kwadratowy.
Definicja 7:
Układ (1) jest układem Cramera jeżeli:
1o An n
x
2o detA `" 0
Twierdzenie 1.
Jeżeli układ jest układem Cramera to posiada dokładnie 1 rozwiązanie i:
Dx
i
xi =
Dx
- wyznacznik macierzy powstałej z macierzy
i
det A
A przez zastÄ…pienie i-tej kolumny (kolumny
współczynnika przy xi) przez wyrazy wolne
Uwaga
Układ Cramera można rozwiązywać stosując wzór Cramera.
WNIOSEK
1o An m i układ jednorodny nie jest sprzeczny.
AÅ" X = 0
x
Ô! det A = 0
2o An n i układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
AÅ" X = 0
x
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 6 Część 11 - Układy równań liniowych
PRZYKA
AD 1.
2x1 + 3x2 - x3 = 1
x1 - x2 + x3 = 2
3x1 + x2 - 2x3 = 3
2 3 -1
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚1 śł
det A = 4 + 9 -1- 3 - 2 + 6 = 13
A = -1 1
ïłśł
ïłśł
ðÅ‚3 1 -2ûÅ‚
1 3 -1
Dx = 2 -1 1 = 17
1
3 1 2
2 1 -1
Dx = 1 2 1 = -6
2
3 3 2
2 1 1
Dx = 1 -1 2 = 5
3
3 1 3
17
x1 =
13
6
x2 =-
13
3
x3 =
13
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 6 Część 11 - Układy równań liniowych
Twierdzenie 2. Kroneckera-Capelliego
Z:
a11x1 + a12x2 + & + a1mxm = b1
a21x1 + a22x2 + & + a2mxm = b2
& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
an1x1 + an2x2 + & + anmxm = bn
a11 a12 ... a1m
îÅ‚Å‚Å‚ a11 a12 ... a1m b1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 ... a2m śł
ïÅ‚a a22 ... a2m b2 śł
21
21
ïłśł
ïÅ‚ śł
A =
U =
ïłśł
... ... ... ... ïÅ‚ śł
... ... ... ... ...
ïÅ‚a an2 ... anm śł
ïÅ‚a an2 ... anm bn śł
ðÅ‚ n1 ûÅ‚
ðÅ‚ n1 ûÅ‚
T:
Układ ten posiada co najmniej 1 rozwiązanie <=> rzA=rzU
Twierdzenie 3.
a) Układ ten posiada dokładnie 1 rozwiązanie jeżeli rzA=rzU=m gdzie m
jest ilością niewiadomych
b) Jeżeli rzA=rzU=r gdzie rrozwiązań zależnych od m-r parametrów (to znaczy, że m-r
niewiadomych można przyjąć dowolnie).
PRZYKA
AD 2.
x  3y - 3z = 9
x - y - z = 4
-x - y - 2z = 4
1
îÅ‚ -2 3 9 1
Å‚Å‚ îÅ‚ -2 3 9 1
Å‚Å‚ îÅ‚ -2 3 9
Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚0 ïÅ‚0
rz 1 -1 1 4śł = rz 1 -2 -5śł = rz 1 -2 -5śł => rzA = rzU = 3
ïłśł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚-1 -1 2 4ûÅ‚ ðÅ‚0 -3 5 13ûÅ‚ ðÅ‚0 0 -1 -2ûÅ‚
ðłśł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
układ ten posiada dokładnie 1 rozwiązanie
x  2y + 3z = 9 x= 7
y - 2z =-5 y=-1
-z =-2 x= 2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 6 Część 11 - Układy równań liniowych
PRZYKA
AD 3.
x + 2y + z = 5
2x + y - z = 4
x - y - 2z =-1
1 2 2 5 1 2 1 5 1 2 1 5
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚2 śł ïÅ‚0 ïÅ‚0
rz 1 -1 4 = rz -3 -3 -6śł = rz -3 -3 -6śł
ïłśł ïłśł ïłśł
ïÅ‚ -1 -2 -1ûÅ‚ ðÅ‚0 -3 -3 -6ûÅ‚ ðÅ‚0 0 0 0
śł ïłśł ïłśł
ðÅ‚1 ûÅ‚
rzA=2 rzU=2
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 1 parametru.
x + 2y + z = 5
- 3y - z =-6
0 = 0
Uwaga
1 niewiadomą można przyjąć dowolnie ale nie zawsze dowolną
niewiadomÄ….
z = Ä…
y = 2 -Ä… Ä… "
z = Ä…
Uwaga
a11x1 + a12x2 + & + a1mxm = b1
a21x1 + a22x2 + & + a2mxm = b2
& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
an1x1 + an2x2 + & + anmxm = bn
a11 a12 ... a1m x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚a a22 ... a2m śł ïÅ‚b śł
x2
21 2
ïÅ‚ śł
ïłśłb = ïÅ‚ śł
A = x =
ïÅ‚ śł
ïłśł ïÅ‚ śł
... ... ... ... ... ...
ïÅ‚x śł
ïÅ‚a an2 ... anm śł ïÅ‚b śł
ðÅ‚ m ûÅ‚
ðÅ‚ n1 ûÅ‚ ðÅ‚ n ûÅ‚
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 6 Część 11 - Układy równań liniowych
Traktujemy A jako macierz odwzorowania A=Mf f:Kn -> Km
1o
AÅ" X = b f X = b
( )
Rozwiązać ten układ to znaczy znalez
ć przeciwobraz b
-1
f b
{ } ( )
( )={X : f X = b}
2o Jądro odwzorowania znajdujemy rozwiązując układ:
AÅ" X = 0
Przykład 4
( 5, , +,Å") ( 4, , +,Å")
f : 5 4
f(x1, x2, x3, x4, x5) = (x1 - 2x2 + x3 - x4 + x5, 2x1 + x2 - x3 + 2x4 - 3x5,
-3x1 - 2x2 - x3 + x4 - 2x5, 2x1 - 5x2 + x3 - 2x4 - 2x5)
Znajdz
jÄ…dro.
Kerf = (x1, x2, x3, x4, x5) = (0,0,0,0)
{ }
x1 - 2x2 + x3 - x4 + x5 = 0
2x1 + x2 - x3 + 2x4 - 3x5 = 0
-3x1 - 2x2 - x3 + x4 - 2x5 = 0
2x1 - 5x2 + x3 - 2x4 - 2x5 = 0
Do rozwiązania tego układu należy zastosować metodę eliminacji Gaussa.
Po przekształceniach otrzymujemy:
x1 - 2x2 + x3 - x4 + x5 = 0
- x2 - x3 = 0
- 8x3 + 4x4 - 5x5 = 0
0 = 0
Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 2 parametrów
1
x1 =-Ä… + ²
4
x2 =-Ä…
x3 = Ä…
Czyli ostatecznie:
5
x4 = 2Ä… + ²
Å„Å‚ 15 üÅ‚
ëÅ‚
4
Kerf = (-Ä… + ² , -Ä…,Ä…, 2Ä… + ² , ² )öÅ‚,Ä…, ² " żł
òÅ‚
ìÅ‚÷Å‚
44
íÅ‚Å‚Å‚
ółþÅ‚
x5 = ²
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 6 Część 11 - Układy równań liniowych