UKA
ADY RÓWNAC
LINIOWYCH
Definicja
Liniowym układem m równań z n niewiadomymi x1, x2,..., xn , gdzie m,n �� N , nazywamy
układ równań postaci:
a11x1 +� a12x2 +� +� a1nxn =� b1
��
��a x1 +� a22x2 +� +� a2nxn =� b2
��
21
��
��
��am1x1 +� am2x2 +� +� amnxn =� bm
��
gdzie aij ��R, bi ��R dla 1Ł� i Ł� m oraz 1Ł� j Ł� n.
Układ równań można zapisać w postaci macierzowej:
AX =� B
gdzie
a11 a12 a1n x1 b1
�� ł� �� ł� �� ł�
ę�a a22 a2n ś� ę�x ś� ę�b ś�
21 2 2
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
A =� , X =� , B =�
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
ę�a am2 amn ś� ę�x ś� ę�b ś�
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
�� m1 �� �� n �� �� m ��
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań liniowych, macierz X macierzą
(kolumną) niewiadomych, a B macierzą (kolumną) wyrazów wolnych.
Definicja
Układ równań liniowych postaci
AX =� 0
gdzie A jest macierzą wymiaru m��n , natomiast 0 jest macierzą zerową wymiaru m��1,
nazywamy układem jednorodnym.
Układ równań liniowych postaci
AX =� B
w którym B jest macierzą niezerową nazywamy układem niejednorodnym.
Definicja
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdą taką macierz (kolumnę)
*�
�� ł�
x1
ę�x*� ś�
*� 2
ę� ś�
X =�
ę� ś�
M�
ę� ś�
*�
ę� ś�
��xn ��
*� *� *�
tzn. każdy taki zbiór wartości: (�x1 , x2,..., xn)�, który spełnia ten układ równań.
Ze względu na liczbę rozwiązań wyróżnia się następujące układy równań liniowych:
1) układ sprzeczny  zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym (tj. układ nie ma rozwiązań),
2) układ oznaczony  zbiór rozwiązań zawiera dokładnie jeden element (tj. układ ma
dokładnie jedno rozwiązanie),
3) układ nieoznaczony  zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele elementów (tj.
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań)
10
Definicja
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych
AX =� B
w którym A jest macierzą kwadratową nieosobliwą.
Twierdzenie (wzór Cramera)
Układ Cramera AX =� B ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone
wzorem:
det A1
�� ł�
ę�det A2 ś�
1
ę� ś�
X =�
ę� ś�
det A
ę�det An ś�
ę� ś�
�� ��
gdzie n oznacza stopień macierzy A , natomiast Aj dla 1Ł� j Ł� n oznacza macierz A ,
w której j -tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B :
Jednorodny układ Cramera ma tylko rozwiązanie zerowe.
Twierdzenie (metoda macierzy odwrotnej)
Jeżeli układ równań liniowych zapisany w postaci macierzowej AX =� B jest układem
Cramera, to układ ten posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem:
X =� A-�1B
Definicja
Macierzą rozszerzoną macierzy współczynników A nazywamy macierz współczynników
układu uzupełnioną kolumną wyrazów wolnych, postaci:
��a11 a12 K� a1n b1 ł�
ę�a a22 K� a2n b2 ś�
21
ę� ś�
[�A B]�=�
ę� ś�
M� M� O� M� M�
ę� ś�
ę�a an2 K� ann bn ś�
n1
�� ��
Definicja
Dwa układy równań liniowych są równoważne wtedy i tylko wtedy, jeżeli dowolne
rozwiązanie jednego z nich jest również rozwiązaniem drugiego układu.
O RÓWNOWAŻNYM PRZEKSZTAA
CANIU UKA
ADÓW RÓWNAC

Następujące operacje na wierszach macierzy rozszerzonej ��ABł� układu równań liniowych
�� ��
AX =� B przekształcają go na układ równoważny:
1. zamiana między sobą wierszy
2. mnożenie wiersza przez stałą różną od zera
3. dodanie do wszystkich wyrazów ustalonego wiersza odpowiadających im wyrazów
innego wiersza pomnożonych przez stałą
4. skreślenie wiersza złożonego z samych zer
5. skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych
Jedyna operacja jaką możemy wykonać na kolumnach macierzy współczynników A to
przestawienie między sobą dwóch kolumny przy jednoczesnej zamianie niewiadomych.
11
METODA ELIMINACJI GAUSSA
Niech dany będzie układ równań liniowych AX =� B, gdzie A jest macierzą współczynników
kładu, wymiaru m��n . Wówczas układ ten rozwiązujemy następująco:
1. tworzymy macierz rozszerzoną postaci:
niewiadome
x1 x2 xm
Ż� Ż� Ż�
�� a11 a12 a1n b1 ł�
ę�a a22 a2n b2 ś�
21
��
��ABł� =�
�� ��
��
��
ę�a am2 amn bm ś�
m1
����
2. na macierzy rozszerzonej wykonujemy operacje elementarne przekształcając ją do
równoważnej macierzy w postaci schodkowej:
parametry
niewiadome
x '1 x '2 x 'r x 'r+�1 x 'n
Ż� Ż� Ż� Ż� Ż�
��1 0 0 s1r+�1 s1n z1 ł�
ę�0 1
0 s2r+�1 s2n z2 ś�
��
��
��A' B 'ł� =�
�� ��
��
1 sr r+�1 srn zr ś�
ę�0 0
ę�0 0
0 0 0 zr+�1ś�
����
3. odczytujemy rozwiązanie przy czym:
a) jeśli zr+�1 ą� 0, to układ AX =� B jest sprzeczny
b) jeśli zr+�1 =� 0 oraz n =� r , to układ AX =� B jest równoważny układowi Cramera, jest
układem oznaczonym i jego rozwiązanie ma postać: x1 =� z1, x2 =� z2,..., xn =� zn
c) jeśli zr+�1 =� 0 oraz n >� r , to układ AX =� B jest układem nieoznaczonym (ma
nieskończenie wiele rozwiązań), przy czym r spośród zmiennych x1, x2,..., xn
(oznaczanych x'1, x'2,..., x'r ) zależy od pozostałych n -� r zmiennych pełniących rolę
parametrów (oznaczanych x'r+�1, x'r+�2,..., x'n ). Rozwiązanie przyjmuje wówczas postać:
s1r+�1 s1r+�2 s1n �� ł�
x '1 z1 ��ł� x 'r+�1
�� ł� �� ł�
ę�s s2r+�2 s2n ś�
ę�x '2 ś� ę�z ś� ę�x 'r+�2 ś�
2r+�1
2
��
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
=� -�
��
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
ę�s sr
ę�x 'r ś� ę�z ś�
srn ś� ę� ś�
x 'n
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
��
r r+�1 r+�2
�� �� �� r �� �� ��
����
Literatura
1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania.
12